2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案北师大版选修1_120180.wps
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1、44 导数的四则运算法则 对应学生用书P41 导数的加法与减法法则 1 1 已知函数 f(x) ,g(x)x,那么 f(x) ,g(x)1. x x2 问题 1:如何求 h(x)f(x)g(x)的导数? 1 1 1 提示:用定义,由 h(x) x,得 h(xx)h(x) xx xx x xx x x . xxx 则 f(x) lim x0 hxxhx x 1 1 lim 1 1 . x0 ( xxx) x2 问题 2:f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗? 提示:成立 问题 3:f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗? 提示:成立 问题 4:运用上面的结论你能求出(3x2tan xex)吗?
2、 1 提示:可以,(3x2tan xex)6x ex. cos2x 导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和 ( 差 ),即 f(x)g(x)f ( x) g ( x), f(x)g(x)f ( x) g ( x) 导数的乘法与除法法则 已知函数 f(x)x3,g(x)x2,则 f(x)3x2,g(x)2x. 问题 1:f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗? 1 提示:因为f(x)g(x)(x5)5x4, f(x)g(x)3x22x6x3,所以上式不成立 问题 2:f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗? 提示:成立 fx fx 问题 3:gx 成立
3、吗? gx 提示:不成立 fx fxgxfxgx 问题 4:gx 成立吗? gx2 提示:成立 导数的乘法与除法法则 (1)若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f(x)和 g(x),则 f(x)g(x)f ( x)g(x) f(x)g ( x) fx fxgxfxgx gx . g2x (2)kf(x)kf ( x) 1f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x),避免与f(x)g(x) f(x)g(x)混淆 2若 c为常数,则cf(x)cf(x) fx 3 类 比 f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)记 忆 gx fxgxfxgx . gx2 对
4、应学生用书P42 导数公式及运算法则的应用 例 1 求下列函数的导数: x1 (1)f(x)xln x;(2)y ; x1 x x (3)y2x3log3x;(4)yxsin cos . 2 2 思路点拨 观察函数的结构特征,可先对函数式进行合理变形,然后利用导数公式及运 2 算法则求解 1 精解详析 (1)f(x)(xln x)ln xx ln x1. x x1 x1x1 2 (2)法一:y( ) . x1 x12 x12 x12 2 法二:y 1 , x1 x1 2 2 y(1 )( ) x1 x1 2x12x1 2 . x12 x12 1 (3)y(2x3log3x)(2x3)(log3
5、x)6x2 . xln 3 x x 1 (4)yxsin cos x sin x, 2 2 2 1 1 y(x sin x)1 cos x. 2 2 一点通 解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复 杂的求导运算,一般综合了和、差、积、商几种运算,在求导之前应先将函数化简,然后求导, 以减少运算量 1用导数的运算法则推导: 1 (1)(tan x) ; cos2x 1 (2)(cot x) . sin2x sin x sinxcos xsin xcos x cos2xsin2x 解:(1)(tan x)(cos x) cos2x cos2x 1 . cos
6、2x cos x cos xsin xcos xsin x sin2xcos2x (2)(cot x)(sin x) sin2x sin2x 1 . sin2x 2求下列函数的导数 x3 (1)y4cos x3sin x;(2)y ;(3)yxnex. x23 解:(1)y(4cos x3sin x)(4cos x)(3sin x)4sin x3cos x. 3 x3 x3x23x3x23 x232x26x (2)y ( ) x23 x232 x232 x26x3 . x232 (3)y(xnex)(xn)exxn(ex)(nxn1xn)ex. 利用导数解决参数问题 例 2 已知抛物线 yax
7、2bxc通过点(1,1),且在点(2,1)处与直线 yx3 相切, 求 a,b,c的值 思路点拨 题中涉及三个未知量,已知中有三个独立条件,因此,要通过解方程组来确 定 a,b,c的值 精解详析 因为 yax2bxc过点(1,1), 所以 abc1. y2axb,曲线在点(2,1)的切线的斜率为 4ab1. 又曲线过点(2,1),所以 4a2bc1. 由Error!解得Error! 所以 a,b,c的值分别为 3,11,9. 一点通 1由导数的几何意义,结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键 2若已知(x0,y0)处的切线方程为 ykxb,则有 f(x0)k,y0kx0b. x2
8、m2 3若函数 y (m0)在点 xx0处的导数等于 0,那么 x0( ) x Am Bm Cm Dm2 m2 m2 m2 解析:由 y( 1 ,结合题意得 1 0x m2x0m. x x) 20 x2 x20 答案:C 1 4已知曲线 yx31 与曲线 y3 x2在 xx0处的切线互相垂直,则 x0的值为( ) 2 3 3 3 A. B. 3 3 3 9 C. 3 D. 3 1 解析:因为 yx31y3x2,y3 x2yx,由题意得 3x (x0)1,解 20 2 1 3 1 3 9 得 x30 ,即 x0 . 3 3 3 4 答案:D 5若 f(x)为一次函数,且 x2f(x)(2x1)f
9、(x)1,求 f(x)的解析式 解:由于 f(x)为一次函数,则 f(x)必为二次函数, 令 f(x)ax2bxc,则 f(x)2axb, 代入 x2f(x)(2x1)f(x)1 得 x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1. 即(ba)x2(b2c)x(c1)0, Error!解得Error! f(x)2x22x1. 导数与曲线的切线 例 3 已知函数 f(x)x3x16. (1)求曲线 yf(x)在点(2,6)处的切线方程; (2)直线 l为曲线 yf(x)的切线,且经过原点,求直线 l的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y x3 垂直,求切点坐标与切线
10、的方程 4 思路点拨 (1)求出 f(x)在 2 处的导数,即切线斜率,用点斜式写出方程即可 (2)设出切点坐标,进而求出切线斜率,写出切线方程,再利用切线过原点即可求出切点 坐标 (3)设出切点坐标,求出切线斜率,又已知斜率为 4,则可求出切点坐标 精解详析 (1)可判定点(2,6)在曲线 yf(x)上 f(x)(x3x16)3x21, f(x)在点(2,6)处的切线的斜率为 kf(2)13. 切线的方程为 y13(x2)(6),即 y13x32. (2)法一:设切点为(x0,y0), 则直线 l的斜率为 f(x0)3x201, 直线 l的方程为 y(3x201)(xx0)x30x016.
11、又直线 l过点(0,0), 0(3x201)(x0)x30x016. 整理得,x308,x02. y0(2)3(2)1626. 5 k3(2)2113. 直线 l 的方程为 y13x,切点坐标为(2,26) 法二:设直线 l 的方程为 ykx,切点为(x0,y0), y00 x30x016 则 k , x00 x0 又kf(x0)3x201, x30x016 3x 1. 02 x0 解之得 x02, y0(2)3(2)1626. k3(2)2113. 直线 l 的方程为 y13x,切点坐标为(2,26) x (3)切线与直线 y 3 垂直, 4 切线的斜率 k4. 设切点坐标为(x0,y0),
12、则 f(x0)3x2014, x01. Error! 或Error! 即切点为(1,14)或(1,18) 切线方程为 y4(x1)14 或 y4(x1)18. 即 y4x18或 y4x14. 一点通 利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程 (1)求曲线 yf(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程: 求导数 yf(x),得斜率 kf(x0); 写出点斜式方程 yf(x0)f(x0)(xx0)并化简 (2)求过点 P(x1,y1)的曲线 yf(x)的切线方程: 设切点坐标为(x0,y0); 求导数 yf(x)得切线斜率 kf(x0); 写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0); 代入
13、 P 的坐标(x1,y1),求出 x0; 代入切线方程并化简 1 6若曲线 f(x) x3ax2x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围为( ) 3 6 1 A( , 1, ) B( ,11, ) 2 1 C( ,10, ) D , ) 2 解析:f(x)x22ax1, f(x)存在垂直于 y 轴的切线, f(x)0 有解,即 x22ax10 有解, (2a)240, a1 或 a 1, 即 a 的取值范围为( ,11, ) 答案:B 7曲线 yx33x26x10的切线中,斜率最小的切线方程为_ 解析:y3x26x63(x1)23,当 x1 时,y取最小值 3. 点(1,14)处的
14、切线斜率最小,切线方程为 y143(x1)即 3xy110. 答案:3xy110 8若函数 f(x)ax22ln x(aR R)在点(1,f(1)处的切线 l 与圆 C:x2y21 相切, 求 a 的值及切线 l 的方程 2 解:依题意有 f(1)a,f( x)2ax , x f(1)2a2. 直线 l 的方程为 ya(2a2)(x1), 即(2a2)xya20.(*) |a2| l 与圆 C 相切, 1, 4a121 1 解得 a1 或 a . 3 1 把 a1 或 a 代入(*)式并整理得切线 l 的方程为 y1 或 4x3y50. 3 1运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时,要
15、认真分析函数式的结构特点, 较复杂的要先化简,再求导,尽量避免使用积或商的求导法则 2求切线方程 (1)求过点 P 的曲线的切线方程时应注意,P 点在曲线上还是在曲线外,两种情况的解法 是不同的 (2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系:一是切点坐标满足曲线方程;二是切 点坐标满足对应切线的方程;三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值 7 十四对应课时跟踪训练十四 x2 1函数 y 的导数是( ) x3 x26x x26x A. B. x32 x3 2x 3x26x C. D. x32 x32 x2 x2x3x2x3 解析:y(x3 ) x32 2xx3x2 x26x . x32 x32
16、 答案:A x 2曲线 y 在点(1,1)处的切线方程为( ) x2 Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 xx2xx2 2 解析:y , x22 x22 2 kf(1) 2. 122 切线方程为:y12(x1),即 y2x1. 答案:A 3若过函数 f(x)ln xax 上的点 P 的切线与直线 2xy0 平行,则实数 a 的取值范 围是( ) A( ,2 B( ,2) C(2, ) D(0, ) 1 解析:设过点 P(x0,y0)的切线与直线 2xy0 平行,因为 f(x) a,故 f(x0) x 1 1 1 a2,得 a2 ,由题意知 x00,所以 a2 2. x0 x0 x0
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