最新-高中数学+第三章+空间向量与立体几何+3.1+空间向量及其线性运算+3.2+共面向量定理学案+苏教版选修2-1优秀名师资料.doc
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1、2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理学案 苏教版选修2-13.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理 学习目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.了解共面向量的定义,并能从平面向量中两向量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.4.理解共面向量定理及其应用. 知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念,给出空间向量的概念. 梳理 (1)在空间,把具有_和_的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的_或_
2、. 空间向量也用有向线段表示,有向线段的_表示向量的模,向量a的起点是A,终点?是B,则向量a也可记作AB,其模记为_. (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做_,记为0 单位向量 _的向量称为单位向量 与向量a长度_而方向_的向量,称为a的相反向量,相反向量 记为,a 方向_且模_的向量称为相等向量,_且相等向量 _的有向线段表示同一向量或相等向量 知识点二 空间向量及其线性运算 1.空间向量的线性运算 ?已知空间向量a,b,在空间任取一点O,作OA,a,OB,b,AB,c,与平面向量的运算一样,1 空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为: ?OB,OA,
3、AB,_; ?BA,OA,OB,_,_. ?若在直线上,则,_(?R). POAOP2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律: ?a,b,_; ?(a,b),c,_; ?(a,b),_(?R). 知识点三 共线向量(或平行向量) 1.定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.若向量a与b平行,记作_,规定_与任意向量共线. 2.共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a?0),b与a共线的充要条件是存在实数,使_. 知识点四 共面向量及共面向量定理 当思考1a,b共线时,共面向量定理的理论一定成立吗, 思考2 向量a,b,c共面,表示三个向量的
4、有向线段所在的直线都共面吗, 梳理 共面向量及共面向量定理 共面向量 能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充共面向量定理 要条件是存在有序实数组(x,y),使得_ 2 类型一 空间向量的概念及应用 例1 如图所示,以长方体ABCD,ABCD的八个顶点的两点为始点和终点的向量中: 1111?(1)试写出与AB相等的所有向量; ?(2)试写出AA的相反向量; 1?(3)若AB,AD,2,AA,1,求向量AC的模. 11引申探究 如图,在长方体ABCD,ABCD中,AB,3,AD,2,AA,1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中: ?单位
5、向量共有多少个, ?试写出模为5的所有向量; ?试写出与向量AB相等的所有向量; ?试写出向量AA的所有相反向量. 反思与感悟 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反. 跟踪训练1 给出以下结论: ?两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;?若空间向量a,b满足|a|,|b|,3 ?则a,b;?在正方体ABCD,ABCD中,必有AC,AC;?若空间向量m,n,p满足m,n,n111111,p,则m,p.其中不正确的命题的序号为_. 类型二 空间向量的线性运算
6、 例2 如图,已知长方体ABCDABCD,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量. ?(1)AA,CB; ?(2)AA,AB,BC. 引申探究 ?利用例2题图,化简AA,AB,BC,CA. 反思与感悟 化简向量表达式时,要结合空间图形,分析各向量在图形中的表示,然后利用运算法则,把空间向量转化为平面向量解决,并化简到最简为止. 首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量;若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形,则这些向量的和为0. ?跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中,求证:AC,AB,AD,2AC. 4 类型三 向量共线定理的理解与应用 ?例3 如图所示
7、,在正方体ABCD,ABCD中,E在AD上,且AE,2ED,F在对角线AC1111111112?上,且AF,FC. 13求证:E,F,B三点共线. 反思与感悟 (1)判定共线:判定两向量a,b(b?0)是否共线,即判断是否存在实数,使a,b. (2)求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用若a?b,则a,b(?R). (3)判定或证明三点(如P,A,B)是否共线: ?是否存在实数,使PA,PB; ?对空间任意一点O,是否有OP,OA,tAB; ?对空间任意一点O,是否有OP,xOA,yOB(x,y,1). ?跟踪训练3 如图,在四面体ABCD中,点E,F分别是棱AD,BC的中点,
8、用AB,CD表示向量?. EF类型四 共面向量定理及应用 例4 如图所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连结PA,PB,PC,PD,点E,5 F,G,H分别为?PAB,?PBC,?PCD,?PDA的重心,应用向量共面定理证明:E,F,G,H四点共面. 引申探究 ?本例中增加以下条件:若点O是AC与BD的交点,点M为PC的中点,求证:OM,PD,BC共面. 反思与感悟 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量,对于向量共面的充要条件,不仅会正用,也要能够逆用它求参数的值. 111?跟踪训练4 已知A,B,C三点不共线,平面ABC外一点M,满足
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