最新5高中数学学习必备的初中知识技能第5讲+二次函数的最值问题改优秀名师资料.doc
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1、5高中数学学习必备的初中知识技能(第5讲 二次函数的最值问题)改二次函数的最值问题 高一数学组 胡敬之 2二次函数是初中函数的主要内容也是高中学习的重要基yaxbxca,,, (0)础(在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时a,0x2bb4acb,函数在处取得最小值无最大值,当时函数在处取得x,x,a,04a2a2a24acb,最大值无最小值( 4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时函数的最值问x题(同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用( 2一般地,求二次函数在区间m,n上的最值时,可由图象分析yaxbxca,,, (0)得到
2、分两种情况考虑: b1 如果对称轴在m,n上,则要比较的大小得最值; ffmfn(),,2afmfn,2 如果对称轴不在m,n上,则只需比较的大小得最值. ,2【例1】当,22x时,求函数的最大值和最小值( yxx,23分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值( x解:作出函数的图象(当x,1时,当x,2时,( y,4y,5minmax212,x【例2】当时,求函数的最大值和最小值( yxx,,1x,1x,2解:作出函数的图象(当时,当时,( y,1y,5minmax由上述两例可以看到,二次函数在自变量的给
3、定范围内,对应的图象是抛物线上的一x段(那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值( 根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量的范围的图象形状各异(下面给出一x些常见情况: 1 yxx,(2) 【例3】当时,求函数的取值范围( x,02解:作出函数在内的图象( x,0yxxxx,(2)2可以看出:当时,无最大值( x,1y,1miny,1所以,当时,函数的取值范围是( x,0152【例4】当时,求函数的最小值(其中为常数)( txt,,1tyxx,22分析:由于所给的范围随着的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位tx置( 152解:函数的对称轴为(画出其草图
4、( x,1yxx,22152(1) 当对称轴在所给范围左侧(即时: 当时,; t,1xt,ytt,min22(2) 当对称轴在所给范围之间(即时: ttt,,,1101152 当时,; x,1y,,,113min22(3) 当对称轴在所给范围右侧(即时: tt,,11015122 当时,( xt,,1yttt,,,,,(1)(1)3min2221,2tt,3,0,2,综上所述:yt,3,01 ,152,ttt,122,在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量mxx,1623,3054(件)与每件的销售价(
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