最新DOC-高中数学函数知识点总结优秀名师资料.doc
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1、(DOC)-高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 A x|y lgx ,B y|y lgx ,C (x,y)|y lgx ,A、B、C 如:集合 中元素各表示什么, A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,而C表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 如:集合A x|x2,2x,3 0,B x|ax 1 若B A,则实数a的值构成的集合为 1
2、(答: ,1,0, )3 显然,这里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质: (1)集合 a1,a2,an 的所有子集的个数是2n; n 要知道它的来历:若B为A的子集,则对于元素a1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a2, a3,an,都有2种选择,所以,总共有2种选择, 即集合A有2个子集。 当然,我们也要注意到,这2种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况, nn故真子集个数为2,1,非空真子集个数
3、为2,2 nn (2)若A B A B A,A B B; (3)德摩根定律: CU,A B, ,CUA, ,CUB,,CU,A B, ,CUA, ,CUB, 有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) 如:已知关于x的不等式 的取值范围。 ax,5 0的解集为M,若3 M且5 M,求实数ax2,a (?3 M,?a?3,5 023,a a?5,5 052,a5 a 1, ,9,25,)3 ?5 M,? 注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a0) 在(, ,1)上单调递减,在(1,
4、)上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到m,n实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”( ),“且”( )和“非”( ). 若p q为真,当且仅当p、q均为真 若p q为真,当且仅当p、q至少有一个为真若 p为真,当且仅当p为假 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考) A x|x满足条件p,B x|x满足条件q, 若 ;则p是q的充分非必要条件 A_B; 若 ;则p是q的
5、必要非充分条件 A_B; 若 ;则p是q的充要条件 A_B; 若 ;则p是q的既非充分又非必要条件 _; 7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射, (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个。 如:若A 1,2,3,4,B a,b,c;问:A到B的映射有 个,B到A的映射有 个;A到B的函数有 个,若A 1,2,3,则A到B的一一映射有 个。 函数y (x)的图象与直线x a交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么,如何比
6、较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:?表达式相同;?定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型, 例:函数y x4,xlg,x,3,2的定义域是 (答:,0,2, ,2,3, ,3,4,) 函数定义域求法: 分式中的分母不为零; 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 x R,且x k ,k 2 正切函数y tanx 余切函数y cotx ,x R,且x k ,k , 反三角函数的定义域 函数y,arcsinx的定义域是 ,1, 1 ,值域是,函数y,arcco
7、sx的定义域是 ,1, 1 ,值域是 *0, + ,函数y,arctgx的定义域是 R ,值域是.,函数y,arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域, 如:函数f(x)的定义域是a,b,b ,a 0,则函数F(x) f(x),f(,x)的定 (答:a,,a) 义域是_。 复合函数定义域的求法:已知y f(x)的定义域为 m,n ,求y f g(x) 的定义域,可由m g(x) n解出x的范围,即为y f g(x) 的定义域。 1
8、,2 例 若函数y f(x)的定义域为 2 ,则f(log2x)的定义域为 。 1 1,2 x 2 y f(x)2 可知:22x)中有分析:由函数的定义域为;所以y f(log 1 log2x 22。 1 log2x 2 解:依题意知: 2 解之,得 2 x 4 ? f(log2x)的定义域为x| 2 x 4 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 1 例 求函数y=x的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数y=x-2x+5,x -1,2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通
9、用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面 下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂 2 b型:直接用不等式性质2k+x bxb. y 2型,先化简,再用均值不等式x,mx,n x11 例:y 121+x2 x+x x2,m x,n c. y 2型 通常用判别式x,mx,n x2,mx,nd. y 型 x,n 法一:用判别式a. y 法二:用换元法,把分母替换掉 2x2,x,1(x+1),(x+1)+1 1 例:y (x+1),1 2,1 1x,1x,1x,1 4、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 3x,4 例 求函
10、数y=5x,6值域。 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。 ex,12sin ,12sin ,1y y x1,sin ,1,cos 的值域。 例 求函数y=e,1, ex,11,yy x ex 01,ye,1 2sin ,11,yy |sin | | 1,1,sin 2,y 2sin ,1y 2sin ,1 y(1,cos )1,cos 2sin ,ycos 1,y ,x) 1,y,即sin( ,x) 又由sin( ,x) 1 1 解不等式,求出y,就是要求的答案 6、函数单调性法 通常和导数结
11、合,是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=2x,5,log3x,1(2?x?10)的值域 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数y=x+x,1的值域。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例:已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上, y的取值范围x,2 (2)y-2x的取值范围 解:(1)令 d R(d为圆心到直线的距离,R为半径
12、) (2)令y-2x b,即y,2x,b 0,也是直线d d R 例求函数y= y k,则y k(x,2),是一条过(-2,0)的直线.x,2(x,2)2+(x,8)2的值域。 解:原函数可化简得:y=?x-2?+?x+8? 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。 由上图可知:当点P在线段AB上时, y=?x-2?+?x+8?=?AB?=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时, y=?x-2?+?x+8?,?AB?=10 故所求函数的值域为:10,+?) 例求函数y= x2,6x,13+ x2,4x,5 2的值域 2 解:原函数可变形为:y=x,3),(0
13、,2)+(x,2)2,(0,1)2 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和, 由图可知当点P为线段与x轴的交点时, ymin=?AB?=(3,2)2,(2,1)2 =43, 故所求函数的值域为43,+?)。 注:求两距离之和时,要将函数 9 、不等式法 利用基本不等式a+b?2ab,a+b+c?33abc(a,b,c?R, ),求函数的最值,其题型 特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例: 2 x2,(x 0) x 11x2 =x2, 3xx3 =x x (3-2x) 1 (应用公式3
14、者的乘积变成常数)a,b,c3 (应用公式abc ()时,应注意使3者之和变成常数)3 倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 x,2 例 求函数y=x,3的值域 x,3 x,2 0时, 1 yy x,2 0时,y=0 1 0 y 2 2 0 y 12 多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗, 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义
15、域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂 如:f, 2x,1 ex,x,求f(x)., 令t x,1,则t 0 ?x t,1 ?f(t) et2,1,t2,1 ,x2,1,x 0, x?f(x) e 2,1 13. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗, (?反解x;?互换x、y;?注明定义域) 1,x如:求函数f(x) 2 ,x ,1,x 0,的反函数,x 0, 在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题: (2004.全国理)函数y x,1,x 1,(答:f(x) ),x,x 0,
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