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1、初中数学解题技巧与方法漫谈一、话说解题 1、有关解题的概述 1.1 解题的含义 所谓解题,就是“解决问题”,即求出问题的答案,求出的这个答案在数学也称“解”,所以解题就是求出问题的解。小到一个学生算出作业的答案、一个教师讲完一个定理的证明,大到一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术用于工农业实际中产生的良好效益,都叫做解题。 波利亚有一句脍炙人口的名言:“掌握数学就是意味着善于解题”,这样看来,“解题”与“掌握数学”差不多是同意语了。事实上,数学工作者时时刻刻都离不开解题。 解题是数学工作者数学活动的基本形式; 解题是数学工作者数学活动的主要内容; 解题是数学工作者的一个存在目的; 解
2、题是数学工作者的一个兴奋中心。 现行的“问题解决”比起传统意义上的“解题”有了很大发展。传统意义上的“解题”只注重结果,不讲究过程,只要结果和答案,而现代意义上的“问题解决”更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法。 一个学生要完成一道习题,通过翻看答案或在网上查询得到了解决,当然这个答案是对的,但能否认为这个学生解决了问题呢,从“问题解决”的观点来看,答案是否定的。与此平行的,一位教师讲解一条几何定理时,没有任何知识的发生过程,课件一展示,辅助线作好了,证明一给出,也是一个不成功的“解题”。 “问题解决”有着不同的解释,比较典型的观点有以下4种: (1)问题解决是心理活动。指的是人们在日常生
3、活和社会实践中,面临新情境、新课题,发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时,所引起的寻求处理办法的一种活动。 (2)问题解决是一个过程。美国全国数学管理学会把“问题解决”定义为“将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程”。这就是说,问题是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程。 (3)问题解决是一个目的。同样是美国全国数学管理学会认为:“学习数学的主要目1 的在于问题解决”。因而,学习怎样解决问题就成为学习数学的根本原因。此时,问题解决就独立于特殊的问题,独立于一般过程或方法,也独立于数学的具体内容。 (4)问题解决是一种能力。即那种把数学用于各种情况的能力。美国全国数学管理学会
4、把解决问题的能力列于10项基本技能之首。重视问题解决能力的培养、发展问题解决的能力,其目的之一是在这个充满疑问、有时连问题和答案都是不确定的世界里,学习生存的本领。 上述各种看法,在形式上似乎并不一致,但它们有本质上的共同点,即在教学中为学生提供了一个发现、创新的环境与机会,为老师提供了一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。 1.2 目前解题中存在的问题 (1)取消论:认为随着数学内容的学习、数学知识的丰富,解题方法可以自然而然的掌握,解题能力可以自然而然地产生,解题的理论研究纯属多余的标新立异,一些连中小学数学教材习题都不能独立完成的空头理论家,更为这种观点提供了口实。
5、而来自学生的情况却是,许多人学了课本内容不会解题,还有的人解了许多题却说不清解题思路。恐怕教师中也有类似的情况。 解题理论须以解题实践为基础,但是,再丰富的经验也代替不了理论,并且缺乏正确理论指导的实践常会流于盲目。 (2)研究的误区:解题存在一些误区。首先的一个表现是,用现成的例子说明现成的观点,或用现成的观点解释现成的例子。其次,长期徘徊在一招一式的归类上,缺少观点上的提高或实质性的突破。再次,多研究“怎样解”,较少问“为什么这样解”。因此,尽管有丰富的解题资料,却始终未上升为系统的解题理论。 2xzxyyz,40例1. (2011天津10)若实数x、y、z满足,则下列式子,一定成立的是(
6、 ). A. x + y + z = 0 B. x + y,2z = 0 C. y + z,2x = 0 D. z + x,2y = 0 下面对本题提供三种解法: 2222xzxyyz,4xxzzxyxzyyz,,,,24解法一:= ,22222xzyxzy,,,44= xxzzxyxzyyz,,,,,24444,2 2xzy,,2=。 ,22xzxyyz,40xzy,,2由,得=0,即x+z,2y=0。 ,故选D。 xzab,,解法二:设,则。 xya,yzb,22xzxyyz,40abab,,40因为,所以, ,2ab,0即,因此a=b,亦即,整理即得x+z,2y=0。 xyyz,,2解法
7、三:构造关于t的一元二次方程。 txztxyyz,,,,0,注意到,故有, xzxyyz,,,txytyz,,,,0,所以txy,,tyz,。 ,122xzxyyz,40因为?=,所以,xyyz, ,整理,可得x+z,2y=0。 (3)考试目的:将解题的研究归结为应付升学考查,解题的规律被简化为“对题型、套解法”,由此产生盲目的“题海战术”、“习题效应”和解题教学新八股。 做摸拟试题 押 题 教得分方法 解 高分低能 题 考 题 教 学 讲类型公试题 猜 题 练公式化步骤 (4)理论与实践脱节:有的同行很会解题,也解了很多题,但没有进行系统的总结,没有上升为理论。请他们谈谈如何解题时,他们只会
8、说:“把题目拿来”。还有的同行很会总结,可解题能力较差,只能在剪刀和糨糊上下功夫,所举的例子没有一个是新的,更没有一个解法是他自己的。 1.3 存在问题的主要原因 (1)解题研究缺乏解题理论指导。 由于看不出理论的有力指导,因此既有取消论,又有盲动;由于缺少理论指导,所3 以观点旧、层次低。 (2)初等数学解题研究缺乏高等数学的指导。 “高等数学的思想与初等数学的技巧相结合”不是才提出来的,波利亚关于怎样解题、克莱茵的高观点下的初等数学这两本书,下是因为体现了高等数学问题的研究经验,才写得那么引人入胜,但在许多情况下这两种结合仍然是貌合神离的两张皮,由于数学竞赛的出现,才开始突破这一封闭而沉闷
9、的局面。 (3)升学压力的干扰 由于升学压力,所以有解题研究的考试目的;由于升学压力,许多杂志不愿或不敢多占篇幅发表高水平的、真正理论研究的文章;为了保证发行数量,不得不违心地登载一些既无新意又无观点的资料。 (4)缺少争鸣气氛 真理越争越明,没有争鸣与再争鸣,没有批评与再批评,只能导致一潭死水。如果在数学方面也开展一些争鸣或批评,整个研究气氛就会健康而活泼起来。 1.4 解题基本功 1.4.1 知识结构 希望提高解题效率的人,都必须下决心、花大气力,努力做到以下要求: (1)熟练掌握数学基础知识的体系。对于中学数学解题来说,应如数家珍地说出教材的概念体系、定理系统、符号系统。还应掌握中学数学
10、竞赛涉及的基础理论。 (2)深刻理解数学概念,掌握数学定理、公式和法则。 (3)熟悉基本的逻辑规则和常见的解题方法,积累数学技巧。 例2. 有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件,共需3.15元;若购甲4件、乙10件、丙1件,共需4.20元。现在购甲、乙、丙各1件共需多少元, 解:设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元/件、y元/件、z元/件,根据题意,有 对于中学生来说,这是一道非常规的方程问题(三元一次不定方程组),解决这个问题需要观察、分析和变形能力,可以有多种方法来解决。 方法1:一般过早都吃过面条,面条中是有佐料的,付钱时只说一碗面条多少钱,没另外单算佐料钱,因此,借助这一生
11、活常识,我们不妨令z=0,解方程组4 373.15,xy,,,这样可求得x=1.05,y=0,所以x + y + z = 1.05,即购甲、乙、丙,4104.20xy,,各1件共需1.05元。 方法2:视(x + y + z)为一个整体,将原方程组变形为 233.15,xyxyz,,,, ,334.20.xyxyz,,,,于是求x + y + z的值转化为消去( x + 3y )。 方法3:视z为常数,原方程组变形为 373.15,xyz,,xz,1.051.5, 解得 ,yz,0.5.4104.20.xyz,,因而有x + y + z=1.05,1.5z + 0.5z + z =1.05.
12、这些方法学生当然都能接受。 方法4:作为中学数学老师,差不多都有解析几何的知识,那么就可以居高临下地看出:?,?表示的是两个平面,而求解是确定一个过其交线的平面(求k): x + y + z =k。? ,373.154104.200xyzxyz,,,,写出过?,?交线的平面系,。 ,347103.154.20,,,,xyz整理,得。 ,341,,,7101,,,3令 解得,。从而得?中的k为 ,2,,,1.,k=3.153,4.202=1.05。 由此,得到最为简洁的解法: 方法5:x + y + z =3.153,4.202=1.05。 这正是待定系数法的由来。当然,没有空间知识作指导,要找
13、到这个解法是不轻松的;而有了空间知识,一切都不过是逻辑的必然。 方法6 要确定平面?只要一个点的坐标就够了,故有特殊化方法令y=0,再将方程313.15414.200,?,?,?联立,得三元非齐次方程有非零解,又可得行列式解法。解即11k5 可。 1.4.2 思维能力 解题能力,表现在发现问题、分析问题、解决问题的敏锐洞察力与整体把握,其主要结构是三种基本的数学能力(运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力),核心是能否掌握正确的思维方法,包括逻辑思维与非逻辑思维。其基本要求有: (1)掌握解题的科学程序; (2)掌握数学中各种常用的思维方法,如观察、试验、归纳、演绎、类比、分析、综合、抽象、概括
14、等; (3)掌握解题的基本策略,能“因题制宜”地选择对口的解题思路,使用有效的解题方法,调动精明的解题技巧; (4)具有敏锐的直觉。应该明白,数学解题活动是在纵横交错的数学关系中进行的。在这个过程中,我们只是从一种可能过渡到另一种可能,而并非对每一个数学细节都洞察无遗,也并非总能借助“三段论”的桥梁。 2已知、是实系数二次方程xmxm,,,220的两个实根。问: 例3. xx21(1)m为何值时,=, xx2122(2) m为何值时,有最小值,最小值是多少, xx,12我们有两种思维水平的处理。 水平一:把(1)看成是一元二次方程判别式的应用。 22,,,,,242424120mmmmmm?=
15、。 ,解得m,1m,2,。 12把(2)看成韦达定理或判别式的应用。 21172,222=。 xx,xxxxmmm,,,,24224,12,121244,又由?0,得m?,1或m?2。 2117,22当m?,1时,xx,?; 412,12,44,2117,22xx,当m?2时,?。 428,12,44,6 22两相比较,得的最小值为2。 xx,12水平二:把(1)看成m的应用题,为了解应用题我们列方程,为了寻找方程的等量关系,才用到一元二次方程的判别式等于零。 2?等量关系:?(m)=0;?方程:;?解方程:,。 4220mm,,,m,1m,2,12把(2)看成函数的最值问题,为了求函数的最值
16、,需要寻找函数关系和定义域。为了找函数表达式用到了韦达定理(并非必要),为了寻找函数的定义域,用到方程判别式非负。 2222xxxxmm,,2424?找m的函数关系式:f (m)= =; xx,121212?求函数的定义域:由?=,得; 4120mm,,m,,,12,,,?求最小值: 2412142,,,,当m?,1时,f(m)?f(,1)=; ,2?2时,f(m)?f(2)=422248,,,,。 当m因为f(,1),f(2),故当m=,1时,函数有最小值。f(,1)=2。 比较一下这两种思维水平,所用到的知识是相同的,结果也都正确。但水平一仍停留在感性概括和简单应用的阶段上,而水平二则抽象
17、到较为恰当的程度,由于水平二把两个具体的问题纳入到中学阶段最重要的知识体系“方程与函数”上,利用方程与函数的观点去解决问题,既如鱼得水,又势如破竹。随着学习内容的增加,学习难度的增大,两种思维水平的差距将会逐步拉开。 二、解题方法漫谈 1、数学教师应该熟悉并理解解题表 数学教学离不开解题教学。美籍匈亚利数学家乔治?波利亚一生致力于解题研究,为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,他专门研究了解题的思维过程,并把研究的成果写成怎样解题一书。此书的核心在于他将解题的思维过程分解得到的“怎样解题表”,这表为: 怎样解题表 第一步:你必须弄清问题。 1、已知是什么,未知是什么,确定未
18、知数,条件是否充分, 2、画张图,将已知标上。 7 3、引入适当的符号。 4、把条件的各个部分分开。 第二步:找出已知与未知的联系。 1、能否转化为一个相似的、熟悉的问题, 2、你能否用自己的语言重新叙述这个问题, 3、回到定义去。 4、你能否解决问题的一部分, 5、你是否利用了所有的条件, 第三步:写出你的想法。 1、勇敢地写出你的想法。 2、你能否说出你所写的每一步的理由, 第四步:回顾。 1、你能否一眼就看出结论, 2、你能否用别的方法导出这个结论, 3、你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题, 例4、若直角三角形的两条直角边长为a、b,边长为c,斜边上的高为h,则( ). 111
19、1112222,,,,a,b,2hhA. ab= B. C. D. 222abhabh第一步:弄清问题。 你所要解决的问题是什么, 探索直角三角形两直角边长与斜边上的高长之间的数量关系。 有哪些已知条件, 直角三角形的三边长及斜边上的高。 你能用数学语言叙述题意吗,可以画张图表示吗, 如图1,若直角三角形的两条直角边长为a、b,边长为c,斜边上的高为h,请在所给的四个选择支中选择出你认为正确的数量关系。 弄清问题的过程实际上就是我们所说的审题。审题要审清题目的数量关系,知道该题目讲的是一件什么事,并能找出已知条件,让题目的条件、问题及其关系在头脑中建立起完整的印象,这样为正确分析数量关系和解答
20、问题创造良好的前提条件。审题时,对题中揭示数量关系的关键语句要反复推敲,理解它的真实含义。如果数学老师在通常8 的教学过程中应时时提醒学生尽量这样去做,那么不管学生是否对每一题都审得很清楚,但一定可以在这个过程中培养学生弄清问题,分析已知条件的习惯。 第二步:找出已知与未知的联系。 如何探索直角三角形两直角边长与斜边上的高长之间的数量关系, 知道直角三角形的两条直角边的长,运用勾股定理,可以求出其斜边长,再根据求面积的方法可以用两直角边的长来表示斜边上的高。再将这个关系进行适当的变形,与四个选择支进行对比,即可选出正确的答案。 凡事预则立,不预则废,解决数学问题也不例外。“找出已知与未知的联系
21、”实际上就是拟定解题计划,这一步是成功解决问题的关键。拟定解题计划的过程是在“过去有经验和已有知识”的基础上,探索解题思维的过程。这个过程说白了就是一系列变换问题的过程,将复杂的问题向简单的问题转化,陌生的问题向熟悉的问题转化,最终把需要解决的问题转化为已解决的或容易解决的问题。有了解题计划,就不会落下已知条件,就会考虑解题的优先顺序,有了清晰的目标,就可以通过解题计划的实施来实现解题的目标。 第三步:写出你的想法。 1ab解:一方面,题中直角三角形面积可表示为;另一方面,题中直角三角形的面21c111,chch,ab积又可以表示为,所以有,于是有。 2hab2221c,此式两边平方,得。 2
22、22hab221a,b11111222,,c,a,b,,因为,所以,即。故选C。 22222222abhhabba拟定一个计划,产生一个求解的念头是一件不容易的事,要想解题成功,需要许多已知条件,如已有的知识、良好的思维习惯等等。我们要把来之不易的好计划或好念头付诸实现,在实现过程中发布实施细节并耐心地检查每一个细节,直到每一点都完全清楚,没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。 不难看出,这一步就是写出解题过程。 第四步:回顾。 回顾解题过程不难发现,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息,同时还要提取记忆中的有关知识,来拟定一个成功的解题计划。此题我们在思维策略上是两层解决9 1c问题,首先根
23、据同一三角形的面积关系找到数量关系式,再通过两边平方和等量,hab代换求出符合要求的关系式。 2、熟练掌握一些原理和方法 数学中用于解决问题的原理和方法较多,这里主要介绍分类讨论、极端原理、类比和联想等几种主要的原理和方法。 2.1 分类讨论 说起分类讨论,大家都非常熟悉。为了解决某个问题,将问题中涉及到的所有对象不重不漏地分成若干种情况,然后对其中的每一类情况逐一加以解决,最终达到解决整个问题的目的,这种解题方法称为分类讨论。 利用分类讨论解决问题的过程中,应当遵循下列原则: (1)分类中的每一种情况都是独立的,即分类不重复; (2)一次分类只能按一个标准,即分类标准必须统一; (3)分类讨
24、论要逐级进行,不能越级分类讨论; (4)分类的情形要完整,不能遗漏。 下列问题常用分类讨论的方法来解决: (1)去绝对值符号问题;(2)含有参数的问题;(3)方程与不等式解的讨论问题;(4)图形的位置或形状不确定的问题;(5)特殊情况与一般情况的问题;(6)数论中的分类讨论问题。 xx,3x,2,0例5、解方程。 解析:按绝对值的定义去掉绝对值符号,所以应分类讨论。 2x,3x,2,0(1)当x?0时,原方程变为,解得,。 x,1x,21222,x,3x,2,0x,3x,2,0(2) 当x,0时,原方程变为,即, 317317,,x,解得,(舍去)。 x,4322317,x,1x,2综上,原方
25、程的解为,。 x,3122例6、如图2,已知?ABC中,?B为锐角,过顶点A向边BC或它A的延长线作垂线交BC于D,又过点C向边AB或它的延长线作垂线交ABE10 BDC图22BD2BE于点E。试问:当、是整数时,?ABC是怎样的三角形,并证明你的结论。 DCAB2BD2BE解:令,(m、n为正整数),则有mn,4。 ,n,mABDCm,1,m,1,m,1,m,2,m,3,由此解得,。 ,n,1n,2n,1n,1n3,1当m=n,1时,此时有BD,BC,BE,BA,则?ABC为等边三角形(如图3,1); 211当m=1,n,2时,此时有BD,BC,BE,BA,则?ABC是以?A为直角的等腰直2
26、2角三角形(如图3,2); 130当m=1,n,3时,此时有BD,BC,BE,BA,则?ABC是以?A为的等腰三12022角形(如图3,3); 1当m=2,n,1时,此时有BD,BC,BE,BA,则?ABC是以?C为直角的等腰直角2三角形(如图3,4); 30当m=3,n,1时,此时有BD,BC,BE,BA,则?ABC是以?C为的等腰三角1202形(如图3,5)。 AAAA(E)EEEEADCBBCDBDCBC(D)CDB图3,1图3,4图3,2图3,3图3,5 例7、如图4,?ABC中D为BC边上任意一点,DE?AB,DF?AC,若?ABC的面积是1,证明:?BDF、?CDE、和平行四边形A
27、FDE的面积中至少有一个不小A4F于。 S39ES1S2S解:记?BDF、?CDE、和平行四边形AFDE的面积分别为S、S和。 BDC312图4BD,x设(0,x,1),易知?BDF?DCE?BCA,于是有 BCDC,1,x。 BC2222,由?ABC的面积是1可知:S,1,x,1,x,2x1,x,。 S,x,S,1,x13211 2141,若0,x?时,; 1S,2339,22,11111412,若,x?时,?; ,21,2,,2,Sxxx,,,333242349,,2224,若,x?1时,。 S,1339,4综上,?BDF、?CDE、和平行四边形AFDE的面积中至少有一个不小于。 92.2
28、 极端原理 在某些数学问题中,给出的各个元素的地位是不一样的,其中某些“极端”元素常常优于其他元素,这样的“极端”元素恰好给我们解题提供了方便,为了顺利地解决问题,有时需要研究这样的“极端”元素。通过研究极端元素的性质,使问题获得解决。这种解决问题的方法叫做极端原理。 利用极端原理解决问题常用到下列命题: (1)在有限个实数中,一定有一个最大数,也有一个最小数; (2)在一组正整数中,不论这组正整数是有限个还是无限个,都一定有一个最小数; (3)有限个点或有限条线段构成的几何图形必有最大边和最小边、最大角和最小角、最大面积和最小面积、最大距离和最小距离。 解题时,正确找出这些极端元素是用极端性
29、原理解决问题的关键。 例8、袋内有100个球,其中有红球28个,绿球20个,黄球12个,蓝球20个,白球10个,黑球10个。从袋中任意摸出球来,如果要使一次性摸出的球中,至少有15个同色的球,那么从袋中摸出的球的个数至少有( )个。 A. 100 B. 75 C. 68 D. 77 解:从“最糟糕”(极端)情形入手,黄球、白球和黑球都不足15个,先将它们全部都摸出来,这样就摸出了32个。剩下的黄球、白球和黑球都有被摸出的机会,但这三种球首先要各摸出14个,这样又摸出了42个。这样总共就摸出了74个球,只要再从剩下的26个球任意摸出一个球来,就能确保有15个同色的球。也就是说至少要摸出75个球,
30、才能确保有15个同色的球。故选B。 2.3 类比 已知问题A与问题B有某些类似之处,猜想问题B的某个结论或某种解法也适合问12 题A,从而将这个结论移植于问题A或用类似的方法解决问题A,这种解决问题的思维形式叫做类比。不难看出,类比是建立在已有知识结构基础上的,因此,数学知识结构是类比的基础。 ,,111axbyc,例9、(2007杭州15)三个同学对问题“若方程组的解是,,222,axbycaxbyc,,,325,x,3,111, 求方程组的解。”提出各自的想法。 甲说:这个题目好,3ax,2by,5cy,4,222,像条件不够,不能求解”; 乙说:“它们的系数都有一定的规律,可以试试”;丙
31、说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替代的方法来解决”。参考他们的讨论,你认为这个题目的解应该是 。 分析:参考丙的想法,将后一个方程组转化为前一个方程组的形式,通过类比可使问题获解。 32,axbyc,,111,32,55yx解:根据丙的想法,有,令m=,n=,则此方程组变为,5325,axbyc,,222,55,3,x,3,ambnc,,axbyc,,m,3,x,5,5111111,它与同解,所以,即,解得。 ,2ambnc,,axbyc,,y,10n,4222222,y,4,5,x,5,故填。 ,y,10,2.4 联想 联想就是根据问题之间的相似性、接近程度以及可
32、比性开展由此及彼的想像,从而将某个已知的结论和方法的全部或部分移植到所研究的新问题,联想是解决问题的一种基本思想方法,在解决问题的过程中,常与上面讲的类比相结合。 联想是知识间的迁移和猜想,重要的是整体、局部的洞察力,敏锐的直觉和独特的构造,要达到这样高的解题境界,必须掌握一般的思维规律,并能灵活运用一些典型的方法技巧进行探索与尝试、选择与组合。 32x,2x,x,1例10、把分式化为整式部分与分式部分的和。 x,213 分析:解决这个问题时,我们可以联想到将一个假分数改写成一个整数与真分数的311,1,1,和的形式,如。由此不难想到当一个分式的分子的次数高于分母的次数时,222就可以将这个分
33、式改写成一个整式与一个分式的和的形式。 解:因为 2x,4x,932x,2x,2x,x,132x,2x2,4x,x 2,4x,8x9x,19x,18,1732x,2x,x,1172,x,4x,9,所以。 x,2x,23、解题讲求深入浅出 例11、二元一次方程组一章的检测题: 关于x、y的二元一次方程(a,1)x+(a+2)y+5,2a=0 ?。 ?当a=1时;得方程?;当a=,2时, 得方程?。求?组成的方程组的解。 ?将求得的解代入方程?的左边,得到什么结果? 由此可得什么结论? 并验证你的结论。 阅卷结束后发现,不少学生解答如下: 解:(1) 当a=1时,得方程?:3y+3=0; 当a=,
34、2时,得方程?:,3x+9=0。 3y,3,0,x,3,将这两个方程组成方程组,得,解这个方程组,得。 ,3x,9,0y,1,(2)将x=3,y=,1代入方程?的左边,得 3(a,1),(a+2) +5,2a =3a,3,a,2+5,2a =(3a,a,2a)+(,3,2+5)=0。 至此,学生的解答结束了。但(2)中还有3个“,”没解决,而这3个“,”有老师也为难,这里先解决3个“,”。 第一个“,”:得到?式左边的值为0; 第二个“,”:当a为任意两个不同的值代入?中,得到两个二元一次方程,这两14 x,3,个方程的公共解一定是,它也是?的解。 ,y,1,第三个“,”:取a=m代入?,得方
35、程(m,1)x+(m+2)y+5,2m=0 ?。 取=(?)代入?,得方程(n,1)x+(n+2)y+5,2n=0 ?。 annmmxmym,,,12520,,,将?、?组成一个方程组,得(,)。 ,nxnyn,,,12520.,,?,?,得, mnxmnymn,,,,,220,即。因为,所以?。 mnxmnymn,,,2xy,,2mn,,mxmym,,,1225,x,3,,,将?或?与?组成一个方程组,比如解得。 ,y,1xy,,2.,第三个“,”对学生有些难度,但题目给学生提供了思考问题的方法,取特殊值法,验证的时候只是一般化,此问实际就是从特殊到一般的探究。老师为难的问题是为什么x,3,
36、方程组(,)的解也是,下面来具体分析。 ,y,1,xx,axbyc,,011111设方程组有唯一的解。 ,yy,axbyc,,0,21222,xx,0从形的角度看与表示两条直线,而表示这两条axbyc,,axbyc,,1111121222yy,0,xy,直线的交点坐标。即axbyc,,与axbyc,,是经过点两条直线。但经过点,001111121222xy,的直线有无数条,怎么来表示过这一点的所有直线呢,我们说,对于任意的实数,00maxbynaxbymcnc,,,m、n(不同时为0),方程,即,1111212212manaxmbnbymcnc,,,xy,表示过点的所有直线,简称为过点,112
37、111221200xy,的直线束。 ,00再来分析方程?。 axyxy,,2250将它重新整理,得。 ,xy,,20,x,3,x,3,而方程组的解是,因此也一定是方程?的解,所以方,y,1y,1xy,250,15 程?表示过点的所有直线,即过点的直线束。 3,1,3,1,,例12、小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数,从中随机抽取2张,并将它们上面的数相加。重复这样做,每次所得的和都是5,6,7,8中的一个数,并且这4个数都能取到。猜猜看,小丽在4张同样的纸片上各写了什么数。 首先从和的个数来入手研究。 (1)设a、b、c、d为小丽所写的四个正整数,那么按要求取卡片你能写出多少个和, a+b
38、、a+c、a+d、b+c、b+d、c+d共计六个和。 (2)“每次所得的和都是5,6,7,8中的一个数”,这说明只能得到四个和,这又是为什么, 六个和中有重复的。 显然,这两问蕴含了简单的抽屉原理:6个苹果放入4个抽屉里,至少有一个抽屉里装有两个或更多的苹果。 (3)六个和中为什么有重复的, 、这四个数中有相同的数。 abcd其次,利用分类讨论研究a、b、c、d中有几个数相同。 若四个数全相同,则只能有一个和,故不合要求; 若有三个数相同,则只会出现两个相同的和,同样不合题意。 因此,小丽所写的四个数中,只能有两个数相同。 最后,利用分类讨论求解。 对于已设卡片上的四个正整数a、b、c、d,不
39、妨再设a?b?c?d。 情形1:两个较小的数相同。即这四个数为a、a、c、d,且a,c,d,于是四个和为2a、a+c、a+d、c+d,此时容易证明2a,a+c,a+d,c+d,所以有2a,5,a+c,6,a+d,7,c+d,8,这样a,2.5,不合要求; 情形2:中间的两个数相同。即这四个数为a、c、c、d,且a,c,d,于是四个和为a+c、a+d、2c,c+d,此时又有: i)若a+c,a+d,2c,c+d,则有a+c,5,a+d,6,2c,7,c+d,8,这样求出的值同样不合要求; ii)若a+c,2c,a+d,c+d,所以有a+c,5,2c,6,a+d,7,c+d,8,这样求得a=2,c
40、=3,d=5; 16 情形3:较大的两个数相同。即这四个数为a、b、c、c,且a,b,c,于是四个和为a+b、a+c、b+c,2c,此时容易证明a+b,a+c,b+c,2c,因而有a+b,5,a+c,6,b+c,7,2c,8,解得a=2,b=3,c=4。 最后得出卡片上的四个正整数为2,3,3,5;或2,3,4,4。 4、 解题思路应该自然顺畅 解决数学问题,解题思路应该自然得体,每一个细节要让别人看得清楚、想得明白,容易接受,特别是在教学中给学生讲述解题思路时更应该如此。 例13、已知a、b、c为实数,ac,0,且a+3b+5c,0。 232证明:一元二次方程有大于而小于1的根。 ax,bx
41、,c,052335证法一:因为a?0,且a+b+c,0,所以b+c,a。 2552,当x,1时, 令y,ax,bx,c13,23,5,。 ,y,a,b,c,2a,3b,5ca,c1333333235524550,3当x,时,。 yabcaaaa,,,2555555555,3,23,545,50,因此, yyaca,,12,3355,324550354550,2,。 aac,35535545,5045,503,23,52a注意到,0,,0,,0,,0,,0,ac355355,0。 32ax,bx,c,0yy所以,0。因此一元二次方程有大于而小于1的根。 125此题是2005年全国初中联赛B卷第1
42、题,上述证法1是竞赛组给出的参考解答,我个人认为这样证明比较麻烦,让人看起来有些费解。先是17 11中如何将要减去,这一点不容,y,a,b,c,2a,3b,5c2a,3b,5c133易想到;其次,对于函数f (x),若a,b(或a,b),且f (a) f(b),0,则f(x),0在区间(a , b)上必有零根,这实际上介值定理的推论零根定理,用于初中数学方面的问题毕竟不多。这个参考答案虽然严谨,但思路不顺畅,也不太贴近学生实际,更不具有普遍性,因此不值得提倡。下面笔者给出一种证法,供大家参考: 22证法2:因为ac,0,所以,0,所以一元二次方程有两个相b,4acax,bx,c,0bc异的实数
43、根。设其两根为,则有+,,,。 ,xxxxxx111222aabc35由a+b+c,0,得+ +,0。 3,5,22aa所以 +,0(,)。 2,,3x,x5xx1212c2因为ac,0,所以,0,故方程的两根异号,不妨设,0ax,bx,c,0xxx112a,。 x22,3x1由(,)式解得。 x,23,5x13至此,我们只需证明,1即可,下面给出三种证法: x25i)反证法 因为,0,所以、均为正数。 x2,3x3,5x1112,3x1,1若,即,所以?,即, x,1,5,3x,3,22,3x3,5x21113,5x13,2所以,0,这与x,0矛盾,故x,1。 x,1215,32,3x331
44、10,3,若,即,亦即,故得,这是x,10,15x,3,15x2113,5x5513x不可能的,因此,。 2518 3综上,,1。 x25ii)差值法 ,2,3x2,3x,3,5x2,3,5,3x1111。 ,1,x,1,23,5x3,5x3,5x111注意到,0,所以,0,,0。 x,2,3,5,3x3,5x111,2,3,5,3x1于是,0,亦即,1,0,所以,1。 xx223,5x12,3x10,15x,3,15x310,33111。 ,x,2,3,5x553,5x53,5x511110,310,3由,0知,0,而,0,所以,0。 x,53,5x11,53,5x1333,0,所以,。综上
45、,1。 即xxx,222555iii)商值法 35因为,,且,0,所以,,于是,。 x,3x,5x3x5x111112,3x1所以0,,故有,1,即,1。 x2,3x3,5x2113,5x12,3x2,3x10,15x335111x,,,。 253,5x53,5x33,15x11110,15x331易证,1,即,1,所以,。 xx,223,15x5513因此,x,1。 25三、如何研究习题 有了前面的解题表,我们知道如何去解一个数学问题。对于一个数学问题,在考试时,我们只要把它正确解答出来就行了,不管它有多少种解法,但在平常研究问题时,这样就不够了,我们不仅要把它解出来,而且还要研究它有多少种解法,把各种解法研究结束之后,再回过头来看看研究这个问题对自己有什么启发,这样才能真正提高个人19 解题能力。 2422例14、(2012湖北随州16题)设, , 且, 则a,2a,1,0b,2b,1,01,ab,0522,abb3a1,,,, 。 ,a,b本题给出一个以为未知数的一元二次方程、一个以为未知数的一元四次方程(双a二次方程, 但可以转化为二次方程)和一个约束条件,要求一个比较复杂的代数式的值,用来考查有关一元二方程、实数的性质及运算、方程的解的合理性等数学知识和能力, 同时还考查了数学转化(换
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