最新高考圆锥曲线知识点小结优秀名师资料.doc
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1、2011年高考圆锥曲线知识点小结中小学教育资源交流中心 提供 【知识结构】 一、椭圆: 1(椭圆的定义 F、F|FF|1212 椭圆是平面上到两定点距离之和等于常数(大于)的点的轨迹,定点F、F12叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 F、F|FF|,2c1212 若设动点M到距离之和为2a,则 FF12 (1)当ac0时,动点M的轨迹是椭圆;(2)当a=c0时,动点M的轨迹是线段;(3)当0ab0,ac0,据此可由方程来确定椭圆的位置。 (4)方程的确定:根据条件确定椭圆标准方程时,常用待定系数法和定义法,首先应确定椭圆的中心和焦点位置,然后根据两个独立条件求出a、b的值。 3(直线
2、与椭圆的位置关系 直线与椭圆共有三种位置关系,一般采用判别式法,其步骤是(1)联立方程组;(2)消元化为一元二次方程;(3)判断?的符号。 当?0时,相交;当?=0时,相切;当?0)上任一点M(x,y)到焦点的距离等于到准线00p2的距离且为x+.其它三种不同形式看上表. 0本节学习要求: 1.抛物线方程的确定,先由几何性质确定抛物线的标准方程,再用待定系数法求其方程. 2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样,利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决. 3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法. 注
3、:1.抛物线的焦点弦有很多重要性质,后面结合有关例题作详细研究。 2(圆锥曲线的统一定义 由椭圆、双曲线的第二定义及抛物线的定义可知,平面上动点M到定点F及到定直线1的距离之比等于常数e的点M的轨迹是圆锥曲线(这里点F不在直线1上,e0,其中F是圆锥曲线的一个焦点,1是与F对应的准线,而e即为其离心率。) 当0e1时,轨迹是双曲线。 3(最值问题 2设是抛物线上的动点,则点P到某定点或某定直线的距离p(x,y)y,2px(p,0)00的最大(小)值问题,可利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式建立距离d关于或x0的函数,再求最值,而抛物线的范围则决定了函数的定义域 y0中小学教育资源交流中心
4、 提供 22例1椭圆的一个焦点是(0,2),则k=_。 5x,ky,52255yx2222c,a,b,1,2b,1解 椭圆方程即? ,?由解得a,,,15kk1kk=1。 22xy例2双曲线,1的两个焦点为,点P在双曲线上,若,则点P到PF,PFFF1212916x轴的距离为_。 解法一 设,且由双曲线的对称性不妨设点P在第一象限,则m|PF|,m|PF|,n12222m,n,4c,100n=2a6 ?, ?, 2 ?,?得2mn=64,?mn=32,作PQ?x轴于Q,则在中,Rt,PFF123216mn16|,即点P到x轴的距离为, PQ,105FF512解法二 设,由第二定义可得P(x,y
5、)(x,0,y,0)000022,aa,,?, |PF|,ex,,ex,a|PF|,ex,ex,aPF,PF10020012,cc,222 ?, (ex,a),(ex,a),4c00532222,这里a=3 c=5 ,代入得。 即e,ex,2c,ax,4100352,x1625620,161 ?由双曲线方程得y,,?。 y,00,9255,解法三 设P(x,y)(x,0,y,0),? PF,PF000012?点P在以为直径的圆上,即 FF12中小学教育资源交流中心 提供 22 ?,又点P在双曲线上, x,y,2500256162222?,由?,?消去,得,?。 ?16x,9y,144xy,y,
6、000002552例3过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQy,ax(a,0)11,的长分别是p、q,则等于( ) pq14 A(2a B( C(4a D( 2aa112解 抛物线方程即,记,则F(0,m),而直线PQ的方程可设为x=k(yx,y,ma4a2,m),代入抛物线方程得 x,4my22222 , ky,2(k,2)my,km,0设,则 P(x,y),Q(x,y)11222,,2(k2),,yym,122 而, p,y,m,q,y,mk,122,yym,1222kk2(,2)4(,1)pqyymmmm,,,2,,2, 于是, 1222kk24(k,1)22pq
7、,(y,m)(y,m),yy,m(y,y),m,m 。 1212122k11p,q1,,4a 故,。 pqpqm当k=0时,易证结论也成立,因而选C。 2例4设抛物线的焦点F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在y,2px(p,0)中小学教育资源交流中心 提供 抛物线的准线上,且BC/x轴,证明直线AC经过坐标原点O。 pp解法一 易知焦点,设直线AB的方程是,代入抛物线方程得 x,my,F(,0)2222 y,2pmy,p,0设,则 A(x,y),B(x,y)11222p2 ,即。 yy,py,212y12yp21 因BC/x轴,且C在准线1上,故点,且,从而,xy,2px,C(,,y
8、)21112p2从而 2yyyp2p,2p112 k,,,, kOCOA2ppyxyy1111,y1222p于是,从而A、O、C三点共线,即直线AC经过原点O。 k,kOCOA解法二 如图,设准线1交x轴于点E,AD?1于D,连AC交EF于点N,由AD/EF/BC, |EN|CN|BF|AD|,|BF|,|EN|, 得,即,? |AD|AC|AB|AB|NF|AF|AF|,|BC|,|NF|, ,即,? |BC|AB|AB|又由抛物线的性质可知,|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,代入?可得|EN|=|NF|,即N为EF的中小学教育资源交流中心 提供 中点,于是N与点O重合,即直线AC经过
9、原点O。 2y2例5设A、B是双曲线x,1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点。 2(1)求直线AB的方程;(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆,为什么, 2y2x,1解 (1)解法一:设AB:y=k(x,1)+2代入,整理得 2222 。? (2,k)x,2k(2,k)x,(2,k),2,0设,则 A(x,y),B(x,y)11222k(2,k)22,k,0 ,且x,x, 1222,k2k(2,k) 因N(1,2)是AB的中点,故,于是,解得k=1,从而所x,x,2,21222,k求直线AB的方程为y=x+1。 解法二:设,代入双曲线方程
10、得 A(x,y),B(x,y)112222,2x,y,2,11 。 ,2(x,x)(x,x),(y,y)(y,y),12121212,2,2x,y,2,22,因N(1,2)为AB的中点,故,将它们代入上式可得x,x,2y,y,41212,从而,于是直线AB的方程为y=x+1。 x,x,y,yk,11212AB2x,2x,3,0 (2)将k=1代入方程?得,解得,。 x,1x,312由y=x+1得,即A(,1,0),B(3,4),而直线CD的方程是yy,0y,4122x,6x,11,01=(x2),即y=3,x,代入双曲线方程并整理得 ? 设C(x,y),D(x,y),则x,x,6,xx,11。
11、 33443434中小学教育资源交流中心 提供 x,x34 解法一:设CD中点为,则,于是,即x,3M(x,y)y,3,x,6000002M(,3,6)。 222 因 |CD|,(x,x),(y,y),2(x,x)3434342 ,2,(x,x),4xx,4103434故。 |MC|,|MD|,210222 又|MA|,|MB|,(x,x),(y,y),2(x,x)3434342 ,2,(x,x),4xx,4103434即A(B(C(D四点与点M的距离相等,从而A、B、C、D四点共圆。 解法二:由,得, x,x,6xx,11x,x,(3,x),(3,x),1234343434,故 yy,(3,
12、x)(3,x),163434yyyy3344k,k,1 ,即AC?AD。 ACADx,1x,1xx,(x,x),1343434由对称性可知,BC?BD,于是A、B、C、D四点共圆。 解法三:以CD为直径的圆的方程是 ,即 (x,x)(x,x),(y,y)(y,y),0343422 。 x,y,(x,x)x,(y,y)y,xx,yy,034343434将x,x,6,xx,11,代入得 x,x,12xx,16343434342222 ,即。 x,y,6x,12y,5,0(x,3),(y,6),40中小学教育资源交流中心 提供 2222 因, (x,3),(y,6),(,1,3),(0,6),401
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