最新高考数学立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧学生用优秀名师资料.doc
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1、高考数学立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧学生用立体几何知识点and例题讲解 一、知识点 常用结论 1(证明直线与直线的平行的思考途径:(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行. 2(证明直线与平面的平行的思考途径:(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行. 3(证明平面与平面平行的思考途径:(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直. 4(证明直线与直线的垂直的思考途径:(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线与
2、另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 5(证明直线与平面垂直的思考途径:(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6(证明平面与平面的垂直的思考途径:(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直. ababab,1122337.夹角公式 :设a,,b,,则cosa,b=. (,)aaa(,)bbb123123222222aaabbb,123123rrrr|ab,|xxyyzz,121212cos|cos
3、,|,ab,8(异面直线所成角:rr,= 222222|ab,xyzxyz,,,111222rrooab,ab,(其中(090,)为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量) ab,ABm,m9.直线与平面所成角:,(为平面的法向量). ,arcsin,AB|ABm10、空间四点A、B、C、P共面,且 x + y + z = 1 ,OP,xOA,yOB,zOC11.二面角的平面角 ,l,mnmn,mn,或(,为平面,的法向量). ,arccos,arccos,|mn|mn,12.三余弦定理:设AC是内的任一条直线,且BC?AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为,AB与AC所1,成的角为,A
4、O与AC所成的角为(则coscoscos,. 21213.空间两点间的距离公式 若A(,)xyz,B(,)xyz,则111222,222,,,,,()()()xxyyzz|ABABAB,d=. 212121AB,|CDn,CD、,nll,ll,14.异面直线间的距离: (是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,d,1212|ndll,为间的距离). 12,|ABn,A,n,15.点到平面的距离:(为平面的法向量,是经过面的一条斜线,). d,BAB|n,222216.三个向量和的平方公式: ()222abcabcabbcca,,,,,,,,222,,,,,,,abcababbcbccaca
5、2|cos,2|cos,2|cos, llll、,、17. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为,夹角分别为,则有1231232222222222llll,,,,,coscoscos1,,,sinsinsin2,. 123123123(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 1 SS,18. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是、,它们所在平面所成锐二面角的). SS,cos,19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角
6、线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径a66为,外接球的半径为. aa12420. 求点到面的距离的常规方法是什么,(直接法、体积法) 二温馨提示: 1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围及义, ? 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. ? 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是( ? 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是( 三解题思路: 1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化: P 线?线线?面面?面, O a 判定性质 ,线
7、?线线?面面?面, 线面垂直: 线面平行的判定: 线?线线?面面?面,abbaa?,面,?面,abacbcbcOa?,?,?,:a a b O , b c 线面平行的性质: 面面垂直: ,?面,面,?,:babaa?面,面?, 三垂线定理(及逆定理): 面?面,?,:,llaaaPAAOPO?面,为在内射影,面,则,a, a aOAaPOaPOaAO?;?,l 2 abab?面,?面?,oo面?,面?,aa,()二面角:二面角的平面角,30180,la b , 2、三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角,0?,?90? (三垂线定理法:A?作或证AB?于B,作BO?棱于O,连AO,则AO?
8、棱l,?AOB为所 (求。) 2)直线与平面所成的角,0?90? 三类角的求法: o,时,?或0bb, ?找出或作出有关的角。 ?证明其符合定义,并指出所求作的角。 ?计算大小(解直角三角形,或用余弦定理(四)(棱柱和棱锥 (1). 棱柱. S,Cha.?直棱柱侧面积:(为底面周长,是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ChS,ClC?斜棱住侧面积:(是斜棱柱直截面周长,是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展l11开图为平行四边形得出的. b.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体. ,:直四棱柱平行六面体=直平行六面体. 侧面与底面是侧棱垂直底面是底面是正方体正
9、四棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方形底面矩形底面边长相等平行四边形 c.棱柱具有的性质: ?棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面(都是全等的矩形. (3 ?棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. (?过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注:?棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. () (直棱柱不能保证底面是矩形,可如图) ?(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. d.平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分. (注:四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理
10、二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 222推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,,则 . cos,,cos,,cos,1222推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,,则. cos,,cos,,cos,2注:?有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.()(斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形) ?各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.()(应是各侧面都是正方形的直棱柱才行) (?对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.()(只能推出对角线相等,推不出底面为矩形) 棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交,可?棱柱成为直棱柱的一
11、个必要不充分条件是能不相交,若两条边相交,则应是充要条件) (2). 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. 注:?一个三棱锥四个面可以都为直角三角形. V,Sh,3V?一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以. 棱柱棱柱a.?正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面正多边形的中心. 注:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正三角形,侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形. 1hS,Ch?正棱锥的侧面积:
12、(底面周长为,斜高为) C2S底,?棱锥的侧面积与底面积的射影公式:(侧面与底面成的二面角为) S,侧cos,calcos,a,bc,附:以知?,为二面角. a,l,blbS11底cos,a,bS,a,lS,l,b 则?,?,? ?得S,. ,12侧22cos,注:S为任意多边形的面积(可分别求多个三角形面积和的方法). b.棱锥具有的性质:?正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等4 (它叫做正棱锥的斜高). ?正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置
13、: ?棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ?棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ?棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ?棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ?三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心. ?三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ?每个四面体都有外接球,球心0是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径; ?每个四面体都有内切球,球心是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径. I注:i. 各
14、个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.()(各个侧面的等腰三角形不知是否全等) DAbF锥,两条相对棱互相垂直,则第三组相对棱必然垂直. ii. 若一个三棱EacAAB,a,AD,c,AC,b简证:AB?CD,AC?BD BC?AD. 令 ,BCCOHGDB得,已知 ,a,c,b,0,b,a,c,0BC,AC,AB,b,a,AD,c,BC,AD,bc,ac则. ,ac,bc,0BC,AD,0iii. 空间四边形OABC且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. ,oo,AC,BO,AC,
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