最新[指南]高中数学解题基础方法大全优秀名师资料.doc
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1、指南高中数学解题基础方法大全高中数学解题基本方法大全第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 二、 换元法 三、 待定系数法 四、 定义法 五、 数学归纳法 六、 参数法 七、 反证法 八、 消去法 九、 分析与综合法 十、 特殊与一般法 十一、 类比与归纳法 十二、 观察与实验法 第二章 高中数学常用的数学思想 一、 数形结合思想 二、 分类讨论思想 三、 函数与方程思想 四、 转化(化归)思想 第三章 高考热点问题和解题策略 ?常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ?数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;?数学思维方法:观察与分析、概
2、括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等; ?常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。 “知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,。第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。 何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解
3、,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a,b) ,a ,2ab,b , 可得到各种基本配方形式,如: a ,b ,(a,b) ,2ab,(a,b) ,2ab; a ,ab,b ,(a,b) ,ab,(a,b) ,3ab,(a, ) ,( b) ;a ,b ,c ,ab,bc,ca, (a,b) ,(b,c) ,(c,a) a ,b ,c ,(a,b,c) ,2(ab,bc,ca),(a,b,c) ,2(ab,bc,ca), 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:1,sin2,1,2sincos,(sin,cos) ; 二、换
4、元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元
5、、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4 ,2 ,2?0,先变形为设2 ,t(t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y, , 的值域时,易发现x?0,1,设x,sin ,?0, ,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ,y ,r (r0)时,则可作三角代换x,rcos
6、、y,rsin化为三角问题。均值换元,如遇到x,y,S形式时,设x, ,t,y, ,t等等。我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a) g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式
7、的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:? 利用对应系数相等列方程; ? 由恒
8、等的概念用数值代入法列方程; ? 利用定义本身的属性列方程; ? 利用几何条件列方程。 四、定义法 所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。五、数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的
9、共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n,1(或n )时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n,k时命题成立,再证明n,k,1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或n?n 且n?N)结论都正确”
10、。由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时,关键是n,k,1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。六、参数法 参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨
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