最新[教学]高中高一数学必修1各章知识点总结第一章+集合与函数概念一优秀名师资料.doc
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1、教学高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性. 3、集合的表示:(1) 如我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (2). 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 4(集合的表示方法:列举法与描述法。常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5.关于
2、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a?A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 6、集合的分类: (1)(有限集 含有有限个元素的集合 (2)(无限集 含有无限个元素的集合 (3)(空集 不含任何元素的集合 例:x|x2=,5,= 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含
3、于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2(“相等”关系:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B ? 任何一个集合是它本身的子集。即A?A ?如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ?如果 A?B, B?C ,那么 A?C ? 如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算 1(交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫
4、做A,B的交集(记作A?B(读作:A交B:),即A?B=x|x?A,且x?B( 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A?B(读作:A并B:),即A?B=x|x?A,或x?B( 3、交集与并集的性质:A?A = A, A?= , A?B = B?A,A?A = A, A?= A ,A?B = B?A. 4、)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的全集与补集(1集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA =x ? x?S且 x?A (2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合
5、的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(3)性质:?CU(C UA)=A ?(C UA)?A= ?(CUA)?A=U 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x),x?A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域(能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1
6、)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注意:(1)由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同
7、函数的判断方法:?表达式相同;?定义域一致 (两点必须同时具备) 3(区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示( 4(映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B” 给定一个集合A到B的映射,如果a?A,b?B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,?集合A、B及对应法则f是确定的;?对应
8、法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;?对于映射f:A?B来说,则应满足:(?)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(?)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(?)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 5.常用的函数表示法:解析法: 图象法: 列表法: 6.分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集( 7(函数单调性(1)(设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某
9、个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x10时, ( )的两个根为 ( ),则 , , , 4、?=0时, ( )的两个等根为 ,则 , 无解 , 5、?2的 集 xR| 解 是 x-32或 x-32 x| 4、 合 分 : 集 的 类 1( 限 含 有 个 素 集 有 集 有 限 元 的 合 2( 限 含 无 个 素 集 无 集 有 限 元 的 合 3( 集 空 不 任 元 的 合 含 何 素 集 例 x|x2=, : 5, 二 集 间 基 关 、 合 的 本 系 1.“包 ”关 集 含 系 子 注 :A B 有 种 能 1) 意 两 可 ( A是B的 部 , 2) 一 分 ; A与B是
10、一 合 ( 同 集 。 B或B A 反 :集 之 合A不 含 集 包 于 合B,或 合B不 含 合A,记 集 包 集 作A 2( 等 系 “相 ”关 (5?5, 且5?5, 则5=5) 实 : A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元 相 ” 例 设 素 同 结 : 于 个 合A与B, 果 合A的 何 个 素 是 合B的 素 同 ,集 论 对 两 集 如 集 任 一 元 都 集 元 , 时 合B的 何 个 素 是 合A的 任 一 元 都 集 元 素 我 就 集 , 们 说 合A等 集 于 合B, : 即 A=B ? 任 一 集 是 本 的 集 AA 何 个 合 它 身 子 。 ? 子 :如 真
11、 集 果AB,且A B那 说 合A是 合B的 子 , 作A 就 集 集 真 集 记 ? 果 AB, BC ,那 AC 如 么 Page 1 of 8 B(或B A) ?如 果AB 同 BA 那 时 么A=B 3. 不 任 元 的 合 做 集 记 含 何 素 集 叫 空 , 为 规 : 空 是 何 合 子 ,空 是 何 空 合 真 集 定 集 任 集 的 集 集 任 非 集 的 子 。 三 集 的 算 、 合 运 1、 集 定 : 般 , 所 属 交 的 义 一 地 由 有 于A 且 于B 的 素 组 的 合 做A,B 的 集 记 属 元 所 成 集 ,叫 交 ( 作A?B(读 : 交B: 即A
12、? 作 A ), B= x|x?A, 且x?B( 2、 集 定 : 般 , 所 属 集 并 的 义 一 地 由 有 于 合A或 于 合B的 素 组 的 合 叫 属 集 元 所 成 集 , 做A,B的 集 记 : 并 。 作 A?B(读 : 作 A并B: ), 即A?B=x|x?A, 或x?B( 3、 集 并 的 质 A?A = A, A?= , A?B = B?A, 交 与 集 性 : A?A = A,A?= A ,A?B = B?A. 4、 集 补 全 与 集 ( 补 : 1) 集 设S是 个 合 A是S的 个 集 即A S ) 由S中 有 属 一 集 , 一 子 ( , 所 不 于A的 素
13、 成 元 组 的 集 , 做S中 集A的 集 或 集 记 : CSA 合 叫 子 补 ( 余 ) 作 通 用U来 示 常 表 。 ( 性 : CU(CUA)=A ? UA)?A= ? UA)?A=U 3) 质 ? (C (C 四 函 的 关 念 、 数 有 概 1( 数 概 : 函 的 念 设A、 非 的 集 如 按 某 确 的 应 系f, 对 集 B是 空 数 , 果 照 个 定 对 关 使 于 合A中 任 一 数x, 集 的 意 个 在 合B中 有 都 唯 一 定 数f(x)和 对 , 么 称f: 确 的 它 应 那 就 A?B 为 集 从 合A到 合B 的 个 数 记 : y=f(x),
14、 集 一 函 ( 作 x?A( 中 x 其 , 叫 自 量 x的 值 围A叫 函 的 义 ; 做 变 , 取 范 做 数 定 域 与x的 相 应 值 对 的y值 做 数 , 数 的 合 x?A 叫 函 值 函 值 集 f(x)| 叫 函 的 域 做 数 值 ( 注 : 果 给 解 式 y=f(x), 没 指 它 定 域 则 数 定 域 是 能 这 式 有 义 实 的 合 函 意 如 只 出 析 而 有 明 的 义 , 函 的 义 即 指 使 个 子 意 的 数 集 ; 数 的 义 、 域 写 集 或 间 形 ( 定 域 值 要 成 合 区 的 式 定 域 充 使 数 有 义 实 义 补 :能
15、函 式 意 的 数x的 合 为 数 定 域 求 数 定 域 列 等 组 主 依 是 集 称 函 的 义 , 函 的 义 时 不 式 的 要 据 : (1)分 的 母 等 零 式 分 不 于 ; (2)偶 方 的 开 数 小 零 次 根 被 方 不 于 ; (3)对 式 真 必 大 零 数 的 数 的 必 大 零 不 于1. 数 对 式 底 须 于 且 等 (5)如 函 是 一 基 须 于 ; (4)指 、 数函 通 四 运 结 而 的 么 它 定 域 使 部 都 意 的x的 组 的 合 果 数 由 些 本 数 过 则 算 合 成 .那 , 的 义 是 各 分 有 义 值 成 集 . (6)指
16、为 底 可 等 零 数 零 不 以 于 (7)实 问 中 函 的 义 还 保 实 问 有 义 注 : 出 等 组 解 即 函 的 义 。 际 题 的 数 定 域 要 证 际 题 意 .(又 意 求 不 式 的 集 为 数 定 域 ) 构 函 的 要 : 义 、 应 系 值 成 数 三 素 定 域 对 关 和 域 再 意 注 : ( 构 函 三 要 是 义 、 应 系 值 ( 于 域 由 义 和 应 系 定 , 以 如 两 函 的 义 1) 成 数 个 素 定 域 对 关 和 域 由 值 是 定 域 对 关 决 的 所 , 果 个 数 定 域 和 应 系 全 致 即 这 个 数 等 或 同 函
17、) 对 关 完 一 , 称 两 函 相 ( 为 一 数 ( 两 函 相 当 仅 它 的 义 和 应 系 全 致 而 表 自 量 函 值 字 无 。同 数 判 方 : 2) 个 数 等 且 当 们 定 域 对 关 完 一 , 与 示 变 和 数 的 母 关 相 函 的 断 法 ? 达 相 ; 定 域 致 (两 必 同 具 ) 表 式 同 ? 义 一 点 须 时 备 Page 2 of 8 即 CSA =x xS且 xA ( 全 : 果 合S含 我 所 研 的 个 合 全 元 , 个 合 可 看 一 全 。 2) 集 如 集 有 们 要 究 各 集 的 部 素 这 集 就 以 作 个 集 S Cs
18、A A 值 补 :( 、 数 值 取 于 义 和 应 则 不 采 什 方 求 数 值 都 先 虑 定 域 域 充 1) 函 的 域 决 定 域 对 法 , 论 取 么 法 函 的 域 应 考 其 义 . ( 应 悉 握 次 数 二 函 、 数 对 函 及 三 函 的 域 它 求 复 函 值 的 础 2) 熟 掌 一 函 、 次 数 指 、 数 数 各 角 数 值 , 是 解 杂 数 域 基 。 2. 函 图 知 归 数 象 识 纳 (1)定 : 平 直 坐 系 , 函 y=f(x) , (x?A)中 义在 面 角 标 中以 数 的x为 坐 , 数 横 标 函 值y为 坐 的 纵 标 点P(x,
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