最新[高三数学]高中数学公式大全优秀名师资料.doc
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1、高三数学高中数学公式大全高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 xAxCA,xCAxA,. UU2.德摩根公式 CABCACBCABCACB();(),. UUUUUU3.包含关系 ,ABCBCA ABAABB,UU,ACB,CABR UU4.容斥原理 cardABcardAcardBcardAB()(),,,cardABCcardAcardBcardCcardAB()(),,,. ,,cardABcardBCcardCAcardABC()()()()nnn,aaa 5(集合的子集个数共有 个;真子集有1个;非空子集有 122212nn个;非空的真子集有2个. 26.二次函数的解析
2、式的三种形式 2fxaxbxca()(0),,,(1)一般式; 2fxaxhka()()(0),,,(2)顶点式; fxaxxxxa()()()(0),(3)零点式. 127.解连不等式常有以下转化形式 NfxM,(), NfxM,()()()0fxMfxN,MNMN,,fxN(),|()|fx, ,022Mfx,()11,. fxNMN(),8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后(k,k)f(k)f(k),0f(x),012122ax,bx,c,0(a,0)者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在k,kb12内,等价于,或且,或且(k,k)f(k)f(k),0f
3、(k),0f(k),0k,121212122ak,kb12,k. 222a9.闭区间上的二次函数的最值 b2f(x),ax,bx,c(a,0),p,q 二次函数在闭区间上的最值只能在x,处及区2a间的两端点处取得,具体如下: bbfxffxfpfq()(),()(),()(1)当a0时,若,则; ,x,p,q,nmamixmax2a2ab,. ,fxfpfq()(),(),fxfpfq()(),(),x,p,q,maxmaxminmin2ab(2)当a0时,若,则,若,fxfpfq()min(),(),x,p,q,min2ab,则,. ,fxfpfq()max(),(),fxfpfq()min
4、(),(),x,p,q,maxmin2a一元二次方程的实根分布 10.依据:若,则方程在区间内至少有一个实根 . fmfn()()0,f(x),0(,)mn设,则 f(x),x,px,q22,pq,40,(1)方程在区间内有根的充要条件为或; f(x),0(m,,,)f(m),0,p,m,2fm()0,fn()0,2(2)方程在区间内有根的充要条件为或f(x),0(,)mnfmfn()()0,pq,40,p,mn,2fm()0,fn()0,或或; ,afn()0,afm()0,2,pq,40,(3)方程在区间内有根的充要条件为或 . f(x),0(,),nfm()0,p,m,211.定区间上含
5、参数的二次不等式恒成立的条件依据 L(1)在给定区间的子区间(形如,,,,,,不同)上含参数,,,(,,,)fxtxL(,)0(),的二次不等式(t为参数)恒成立的充要条件是. fxt(,)0,min(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(t为参数)恒成立(,,,)fxt(,)0,fxtxL(,)0(),的充要条件是. mana,0,a,0,42f(x),ax,bx,c,0b,0(3)恒成立的充要条件是或. ,2bac,40,c,0,12.真值表 , ? 非, ,或? ,且? 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论
6、 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 nn,1至多有()个 小于 不小于 至多有个 nn,1至少有()个 对所有, 存在某, xx pq,p,q成立 不成立 或 且 对任何, 存在某, xx pq,p,q不成立 成立 且 或 14.四种命题的相互关系 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 原命题 互逆 逆命题 若,则? 若?则, 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非,则非? 互逆 若非?则非, 15.充要条件 pq,pq1)充分条件
7、:若,则是充分条件. (qp,pq(2)必要条件:若,则是必要条件. pq,qp,pq(3)充要条件:若,且,则是充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件则乙是甲的必要条件,反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设那么 ,x,x,a,b,x,x1212f(x),f(x)12,上是增函数; ,0,f(x)在a,b()()()0xxfxfx,1212x,x12f(x),f(x)12上是减函数. ,0,f(x)在a,b()()()0xxfxfx,1212x,x12,(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果y,f(x)f(x),0f(x),,则为减函数. f(x),0f(x)17.如果函数和都
8、是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减f(x)g(x)f(x),g(x)函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y,f(u)u,g(x)是增函数. y,fg(x)18(奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数( 19.若函数是偶函数,则;若函数是偶函y,f(x)f(x,a),f(,x,a)y,f(x,a)数,则. f(x,a),f(,x,a)x,R20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是y,f(x)f(x,a),f(b,x)f
9、(x)a,ba,bx,函数;两个函数与 的图象关于直线x,对称. y,f(x,a)y,f(b,x)22a21.若,则函数的图象关于点对称; 若f(x),f(,x,a)y,f(x)(,0)22af(x),f(x,a),则函数y,f(x)为周期为的周期函数. nn,1Pxaxaxa(),,22(多项式函数的奇偶性 nn,10,多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零. Px()Px(),多项式函数Px()是偶函数Px()的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数的图象的对称性 yfx,()(1)函数yfx,()的图象关于直线对称,,,faxfax()() xa,. ,faxfx(2)
10、()ab,(2)函数的图象关于直线对称 x,yfx,(),,,famxfbmx()()2. ,,,fabmxfmx()()24.两个函数图象的对称性 x,0(1)函数与函数的图象关于直线(即y轴)对称. yfx,()yfx,()ab,(2)函数与函数的图象关于直线对称. x,yfmxa,()yfbmx,()2m,1y,f(x)(3)函数和的图象关于直线y=x对称. y,f(x)b25.若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图y,f(x)ay,f(x,a),bb象;若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图f(x,y),0af(x,a,y,b),0象. 26(互为反函数的两个函数的关系 ,
11、1f(a),b,f(b),a. 1,127.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是y,f(kx,b)y,f(x),bk1,1,1y,f(kx,b)y,f(kx,b),而函数是的反函数. y,f(x),bk28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数,. fxcx(),fxyfxfyfc()()(),(1),,,,xfxa(),(2)指数函数,. fxyfxfyfa()()(),(1)0,,fxx()log,(3)对数函数,. fxyfxfyfaaa()()(),()1(0,1),,,a,fxx(),fxyfxfyf()()(),(1),(4)幂函数,. (5)余弦函数,正弦函数, fxx()co
12、s,gxx()sin,fxyfxfygxgy()()()()(),,gx(). ,f(0)1,lim1x,0x常见函数的图像: yyyyy=logxxay=ak0a00a10a0a1y=kx+b2xoy=ax+bx+c x,R 对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是y,f(x)f(x,a),f(b,x)f(x)a,bba,x,x,;两个函数与 的图象关于直线对称. y,f(x,a)y,f(b,x)2229.几个函数方程的周期(约定a0) 周期函数几种常见的表述形式: (1)、f(x+T)= - f(x),此时周期为2T ; (2)、 f(x+m)=f(x+n),此时周期为2 ; mn,1(3)
13、、fxm(),,,此时周期为2m 。 fx()(1),则的周期T=a; f(x),f(x,a)f(x)(2), f(x),f(x,a),01f(x,a),(f(x),0), 或f(x)1或fxa(),, ()0)fx,fx()12,,,,fxfxfxafx()()(),()0,1)或,则的周期T=2a; f(x),21(3)f(x),1,(f(x),0),则的周期T=3a; f(x)f(x,a)f(x),f(x)12fafxfxxxa()1()()1,0|2),(4)且,则f(x,x),1212121,f(x)f(x)12的周期T=4a; f(x)(5) fxfxafxafxafxa()()(
14、2)(3)(4),,则的周期T=5a; f(x),,fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4)(6),则的周期T=6a. f(x,a),f(x),f(x,a)f(x)12 分数指数幂与根式的性质: mnm,naa,n,1amnN,0,(1)(,且). m,11,na,n,1amnN,0,(2)(,且). mnmanann()aa,(3). aa,0,nnnnaa,|(4)当为奇数时,;当为偶数时,. nnaa,aa,0,b13 指数式与对数式的互化式:logNbaN, . (0,1,0)aaN,a指数性质: 1,pmnmn0a,a,0aa,() (1)1、 ; (2)、() ; (
15、3)、 a,1pamnrsrs,mnaa,aaaarsQ,(0,)(4)、 ; (5)、 ; 指数函数: xyaa,(1)(1)、 在定义域内是单调递增函数; xyaa,(01)(2)、 在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点(0,1) 对数性质: MlogloglogMN,(1)、 logloglog()MNMN,, ;(2)、 ; aaaaaaNnnmloglogloglogbmb,bb,(3)、 ;(4)、 ; (5)、 log10, maaaaamlogbalog1a,(6)、 ; (7)、 ab,a对数函数: (1)、 yxa,log(1) 在定义域内是单调递增函数;
16、a(2)、yxa,log(01)在定义域内是单调递减函数;注: 对数函数图象都恒过a点(1,0) (3)、 log0,(0,1),(1,)xaxax,,,或 a(4)、log0(0,1)(1,)xax,,,则 或 ax,,,(1,)(0,1)则alogNm14 对数的换底公式 : (,且,且,). logN,a,0a,1m,0m,1N,0 alogamlogNa 对数恒等式:(,且,). aN,a,0a,1N,0 nnloglogbb,推论 (,且,). a,0a,1N,0 maam15对数的四则运算法则:若a,0,a?1,M,0,N,0,则 Mlogloglog,MNlog()loglogM
17、NMN,,(1); (2) ; aaaaaaNnnnloglog(,)loglog()MnMnR,NNnmR,(3); (4) 。 maaaam30.分数指数幂 m1,nn,1a,amnN,0,(1)(,且). nmam,1,na,amnN,0,n,1(2)(,且). mna31(根式的性质 nn()aa,(1). nn(2)当为奇数时,; naa,aa,0,nnaa,|当为偶数时,. n,aa,0,32(有理指数幂的运算性质 rsrs,aaaarsQ,(0,)(1) . rsrs()(0,)aaarsQ,(2) . rrr()(0,0,)abababrQ,(3). p注: 若a,0p是一个无
18、理数则a表示一个确定的实数(上述有理指数幂的运算性质对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 b logNbaN, .(0,1,0)aaN,a.对数的换底公式 34logNm (,且,且,). logN,a,0a,1m,0m,1N,0 alogamnnloglogbb,推论 (,且,且,). a,0a,1m,1n,1N,0 mn,0,maam35(对数的四则运算法则 若a,0,a?1,M,0,N,0,则 log()loglogMNMN,,; (1)aaaMlogloglog,MN(2) ; aaaNnloglog()MnMnR,(3). aa22f(x),log(ax,bx,c)
19、(a,0)36.设函数,记.若的定义域为f(x),b,4acmRRa,0,0a,0,0a,0,则,且;若的值域为,则,且.对于的情形,需要f(x)单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 1ybx,log() 若,则函数 a,0b,0x,0x,axa11ybx,log() (1)当时,在和上为增函数. ab,(0,)(,),,axaa11ybx,log() (2)当时,在和上为减函数. ab,,(0,)(,),,axaa推论:设,且,则 nm,1a,0a,1p,0log()lognpn,,(1). mpm,mn,2logloglogmn,(2). aaa238. 平均增长率的问题 py如果原
20、来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有xxyNp,,(1). 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 sn,1,1asaaa,,( 数列的前n项的和为). a,nnn12nssn,2,nn1,40.等差数列的通项公式 *aanddnadnN,,,,,(1)(); n11其前n项和公式为 naa(),nn(1),1n s,,nad1n22d12. ,,,nadn()12241.等比数列的通项公式 ann,1*1,(); aaqqnNn1q其前n项的和公式为 n,aq(1),1,1q, s,1,q,n,naq,1,1,aaq,1n,1q,或. 1,qs,n,1naq,1,aaqa
21、dabq,,,(0)42.等比差数列:的通项公式为 nnn,11bndq,,(1),1,nn,1; a,bqdbqd,,(),n,1q,q,1,其前n项和公式为 nbnndq,,(1),(1),n. s,dqd1,n(),(1)bnq,,,111,qqq,43.分期付款(按揭贷款) nabb(1),x,b每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为). ann(1)1,,b44(常见三角不等式 ,x,(0,)sintanxxx,(1)若,则. 2,x,(0,)(2) 若,则. 1sincos2,,,xx2(3) . |sin|cos|1xx,,45.同角三角函数的基本关系式 ,sin22tan,ta
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