最新[高二数学]人教版高中数学必修五教案优秀名师资料.doc
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1、高二数学人教版高中数学必修五教案1.1.1 正弦定理 ?教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ?教学重点 正
2、弦定理的探索和证明及其基本应用。 ?教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:在直角三角形中,边角关系有哪些,(三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数)如何解直角三角形,那么斜三角形怎么办, 2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系,(内角和、大边对大角) 是否可以把边、角关系准确量化, ?引入课题:正弦定理 二、讲授新课: 1. 教学正弦定理的推导: ab?特殊情况:直角三角形中的正弦定理: sinA= sinB= sinC=1 即ccabc,c=. sinsinsinABC? 能否推广
3、到斜三角形, (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形) ,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,有acab,CDaBbA,sinsin,则. 同理, sinsinACsinsinAB?*其它证法: 111abCacBbcAsinsinsin,证明一:(等积法)在任意?ABC当中S=. ?ABC2221cabCabc 两边同除以即得:=. a2sinAsinBsinCObaaB,CDR2证明二:(外接圆法)如图所示,?A,?D,?, csinsinADADcb同理 =2R,,2R. sinBsinCjAC,证明三;过点A作单位向量, C ABACCB,,由向量的加法可得
4、 1 jABjACCB,,()则 A B jABjACjCB,,,? 00jABAjCBCcos900cos90,,,, ac,cAaCsinsin,sinsinAC?,即 bc,jBC,sinsinBC,可得 同理,过点C作abc,sinsinsinABC从而 ,类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导) cab? 正弦定理内容:=2R sinAsinBsinC简单变形; 基本应用:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边;已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题: 00,ABC? 例1:在中,已知, a=10cm,解三角
5、形. A,45B,600? 例2:,ABCcAabBC中,求和6,45,2,. 讨论:已知两边和其中一边的对角解三角形时,如何判断解的数量,思考后见(P8-P9 ) 3. 小结:正弦定理的探索过程;正弦定理的两类应用;已知两边及一边对角的讨论. 1.1.1 正弦定理 一、教学目标: 熟练掌握正弦定理运用。培养学生发现数学规律的思维方法与能力;通过对定理的应用,培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法. 二、知识复习: abc(1) 正弦定理: ,2RsinsinsinABC(2) 推论:正余弦定理的边角互换功能 ? , aRA,2sinbRB,2sincRC,2sin2 a
6、bc ?, sinA,sinB,sinC,2R2R2Rabcabc,2R ? = ,sinsinsinABCsinsinsinABC,? abcABC:sin:sin:sin,三、典型例题讲解: ( 1-2题先让学生练习、老师再讲解) 0a,52,c,10,A,301(在?ABC中,已知,则?B等于( ) 00000A( B( C( D( 1056015105或1502(在?ABC中,已知,则这样的三角形有_个( a,6,b,2,A,602sinA,sinB3(在?ABC中,若,求的值( a:b:c,1:3:5sinCasinA11,解 由条件? sinA,sinCcsinC55132,sin
7、C,sinC2sinA,sinB3155同理可得?, sinB,sinC,sinC5sinC5四、课堂练习: 一、 选择题 00001(一个三角形的两内角分别为与,如果角所对的边长是,,那么角所对45604560的边的边长为( )( 36332632,( ,( ,( ,( 2(在?ABC中,若其外接圆半径为,,则一定有( ) abc,( ,( ,2RasinB,2RsinAsinBsinC,( ,( sinA,2aRb,RsinBab,3(在?ABC中,则?ABC一定是( ) cosBcosA,(等腰三角形 ,(直角三角形 ,(等腰直角三角形 ,(等腰三角形或直角三角形 abaAbBcosco
8、s,解:在?ABC中,?,?,由正弦定理, cosBcosA2222RAARBBABsincossincossinsin,,?得。 ?2A,2B或2A,2B,180?,?A,B或A,B,90?。 故?ABC为等腰三角形或直角三角形。 二、填空题 3 4(在?ABC中,已知且,123,则,_ a,8,b,6,? ABC1,cosAa5(如果,那么?ABC是 ,1,cosBb三、解答题 B6(在?ABC中,若,,,,面积,,求的值( sin?ABC2411解 由条件, ? sinB,c,2,a,5,acsinB,,5,2sinB,5sinB,4?ABC522B531cos1B,B2sin,当B为锐
9、角时,由? cosB,sin,2552251cos4B253B,B2sin,当B为钝角时,由sin? cosB,2552250b,2a,B,A,607(在?ABC中,分别为内角,,,,,的对边,若,求,的值( a,b,c,1300sinB,sin(A,60)sinB,sinA,cosA解?,, ? 6022又 ? b,2a,2RsinB,4RsinAsinB,2sinA132sinA,sinA,cosA3sinA,3cosA? 223000tanA,?又? ? 0,A,180A,303cos2Acos2B118(在?ABC中,求证: ,2222abababsinAsinBsinAsinB22,
10、解:. (),()sinAsinBabab22sinAsinB1,cos2A1,cos2Bcos2Acos2B11, ,22222222abababab4 1.1.2 余弦定理(第一课时) 教学目标 知识与技能: 1. 掌握余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 过程与方法: 1. 学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系余弦定理 2. 在探究学习的过程中,认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题,帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力 情感、态
11、度与价值观: 1. 通过对三角形边角关系的探究学习,经历数学探究活动的过程,培养探索精神和创新意识 2. 在运用余弦定理的过程中,逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度,学习用数学的思维方式解决问题、认识世界 3. 通过本节的学习和运用实践,体会数学的科学价值、应用价值,进而领会数学的人文价值、美学价值,不断提高自身的文化素养 教学重点:余弦定理的证明及应用 教学难点:向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程 教学过程 一,创设情境,课题导入 ACb,30,45,161.复习:已知,解三角形(学生板演) 2.若将条件改成如何解三角形, C,45c,8设计意图:把研究余弦定理的问题和平
12、面几何中三角形全等判定的方法建立联系,沟通新旧知识的联系,引导学生体会量化的思想和观点 师生活动:用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”:已知,ABCBCaACb,和角,求解 c,BAC引出课题:余弦定理 二(设置问题,知识探究 1.探究:我们可以先研究计算第三边长度的问题,那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢, 设计意图:期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理 师生活动:从某一个角度探索并得出余弦定理 3. 考虑用向量的数量积,如图 A 5 C B 设,那么, cab,CBaCAbABc,22222?,,,cccababababC()()
13、2cos即 cababC,,,2cos222引导学生证明: abcbcA,,,2cos222 bacacB,,,2cos3.余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 三(典型例题剖析 Abcmccm,120,2,2,1.例1.在中,已知解三角形 ,ABC分析:已知三角形的两边和它们的夹角解三角形,基本思路是先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求其各角 变式引申:在中,已知,解三角形 Abc,30,5,53,ABC2.探究:余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式,把这个关系式做某些变形,是否可以解决其他类型的解三角形问题, 设计意图:(1)
14、引入余弦定理的推论;(2)对一个数学式子做某种变形,从而得到解决其他类型的数学问题的方法,这是一种研究问题的方法 师生活动:对余弦定理做某些变形,研究变形后所得关系式的应用,因此应把重点引导到余弦定理的推论上去,即讨论已知三边求角的问题 222222222bca,,acb,,abc,,cosC,cosA,cosB,引入余弦定理的推论:, 2ab2bc2ac公式作用: (1) 已知三边求三角 222(2) 若A为直角,则,从而; bca,,cos0A,222若A为锐角,则,从而; bca,,cos0A,222若A为钝角,则,从而 bca,,cos0A,ABC,例2.已知在中,求 abc,,23,
15、22,62,ABC先让学生自己分析、探索,老师进行引导、启发和补充,最后师生一起求解 总结:对于已知三角形的三边求三角这种类型,解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角,再用三角形内角和定理求出第三角 6 变式引申:在中,求 ABC,abc:2:6:(31),,,ABC让学生板演,师生共同评判 3.三角形形状的判定 例3.在中,,试确定此三角形的形状 ,ABCaAbBcoscos,求解思路:判断三角形的形状可有两种思路:一是利用边之间的关系来判断,在运算过程中,尽可能把角的关系转化为边的关系;二是利用角之间的关系来判断,将边转化为角 变式引申:在中,若,并且,判断()()3abcbcabc,,
16、ABCsin2sincosABC,三角形的形状 四(课堂检测反馈 Abc,60,8,31(已知在中,则 ( ) a,ABCA.2B.4C.7D.92. 在中,若,则的最大角的度数为( ) abc,,,31,31,10,ABC,ABCA.120B.90C.60D.1503.在中,,则的形状是( ) ABBCAC,5,6,8,ABC,ABC锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 非钝角三角形 A.B.C.D.五(课时小结 1.学生自己归纳、补充,培养学生的口头表达能力和归纳概括能力,教师总结 2.运用向量方法推导出余弦定理,并能灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题 六(课后作业
17、 课本第10页A组3(2),4(2) B组第2题 7 ?2.1.1数列的概念与简单表示法 授课类型:新授课 (第1课时) ?教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力( 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣 ?教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 ?教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ?教学过程
18、?.课题导入 4,5,6,7,8,9,10( ? 111123451,. ? 1,0.1,0.01,0.001,0.0001,. ? 1,1.4,1.41,1.414,. ? -1,1,-1,1,-1,1,. ? 2,2,2,2,2,. ? 观察这些例子,看它们有何共同特点,(启发学生发现数列定义) 上述例子的共同特点是:?均是一列数;?有一定次序. 从而引出数列及有关定义 ?.讲授新课 ? 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:?数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ?定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个
19、数在数列中可以重复出现. ? 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,第n 项,. 例如,上述例子均是数列,其中?中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项. 8 ,a,a,a,?,a,?aa123nnn?数列的一般形式:,或简记为,其中是数列的第n项 13 ?中,这是一个数列,它的首项是“1”,“”结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义.新疆王新敞奎屯是这个数列的第“3”项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系,这一关系可否用一个公式表示,(引导学生进一步理解数列与项的定义,从
20、而发现数列的通项公式)对于上面的数列?,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 111112345项 ? ? ? ? ? 序号 1 2 3 4 5 1a,nn这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:来表示其对应关系 即:只要依次用1,2,3代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系 ,aann? 数列的通项公式:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意:?并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列?; ?一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,它的通项公式可以n,11(1)
21、,,1n,a,|cos,|a,nn22是,也可以是. ?数列通项公式的作用:?求数列中任意一项;?检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表示(通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项( 5.数列与函数的关系 afn,()n数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,n)为定义域的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、
22、 f(3)、 f(4),f(n), 6(数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6是无穷数列 2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 9 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 ,an 范例讲解 例1 根据下面数列的通项公式,写出前5项: nna,;(2)a,(,1),nnnn,1(1) 分析:由通项公式定义可知,
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