最新《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题优秀名师资料.doc
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1、全国初中数学竞赛二次函数历届考题智浪教育-普惠英才文库 全国初中数学竞赛二次函数历届考题 211(2008)、已知一次函数,二次函数,是否存在二次函数yx,2yx,,1122,其图象经过点(,5,2),且对于任意实数x的同一个值,这三y,ax,bx,c3个函数所对应的函数值,都有成立,若存在,求出函数的yy,yyy,yy1231233解析式;若不存在,请说明理由。 解:存在满足条件的二次函数。 222因为,所以,当自变量x取yyxxxxx,,,,,2(1)21(1)012任意实数时,均成立。 yy,122由已知,二次函数的图象经过点(,5,2),得 y,ax,bx,c3abc,,,5225 ?
2、 x,1当时,有, yy,2yabc,,123abc,由于对于自变量取任实数时,均成立,所以有2?2, yyy,x132abc,,2故 ? 2ba,4ca,25由?,?,得,所以 5分 yaxaxa,,,4(25).322当yy,时,有,即 24(25)xaxaxa,,,axaxa,,,,(42)(25)0132所以,二次函数对于一切实数x,函数值大于或yaxaxa,,,,,(42)(25)等于零,故 a,0a,0,1a, 即 所以 ,223(42)4(25)0aaa,(31)0,a,222当时,有,即, y,yaxaxax,,,4(25)1(1)4(51)0,,,axaxa322所以,二次函
3、数对于一切实数x,函数值大于或yaxaxa,,,(1)4(51)等于零,故 10,a,a,1,1a,即所以 ,223(4)4(1)(51)0,aaa(31)0,a,141abaca,4,25综上, 333智浪教育-普惠英才文库 1412所以,存在二次函数,在实数范围内,对于x的同一个值,yxx,,3333都有成立。 15分 yyy,13222x,111(2009)(函数的图象与轴的两个交点是否都在直线xyxkxk,,,,(21)x,1的右侧,若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围( 解:不一定,例如,当k,0时,函数的图象与x轴的交点为(0,0)和 x,1(1
4、,0),不都在直线的右侧( 5分 2设函数与x轴的两交点的横坐标为,则,当 xxkxxk,,(21),xx,121212且仅当满足如下条件 ,?0,(1)(1)0,xx,,, 10分 ,12,(1)(1)0xx,12x,1时,抛物线与轴的两交点都在直线的右侧( x22,(21)40,kk,?,由 ,210,k,2kk,,20,1,k?,4,1,k,解之,得 15分 ,2,kk,20.或,k,2x,1所以当时,抛物线与x轴的两交点在直线的右侧( 20分 k2y,12(2010)(如图,抛物线(a0)与双曲线相交于点A,B. 已知点Ayaxbx,,,x的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且?AO
5、B的面积为3(O为坐标原点). (1)求实数a,b,k的值; (2)过抛物线上点A作直线AC?x轴,交抛物线于另一智浪教育-普惠英才文库 点C,求所有满足?EOC?AOB的点E的坐标. k(第12题) 解:(1)因为点A(1,4)在双曲线上, y,x4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为. y,x4t,0设点B(t,),AB所在直线的函数表达式为,则有 ymxn,,t4,,mn,,44(1)t,, 解得,. m,n,4,tt,,mtn,,t,4(1)t,,于是,直线AB与y轴的交点坐标为,故 0,t,141()t,2,整理得, 2320tt,,St,,,13,,AOB2t1t,2解得,2,2,
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