最新【DOC】-高考数学公式及知识点总结p优秀名师资料.doc
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1、【DOC】-高考数学公式及知识点总结p高考数学公式及知识点总结p 高考前数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合A x|y lgx ,B y|y lgx ,C (x,y)|y lgx ,A、B、C中元素各表示什么, 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质: (1)集合 a1,a2,an 的所有子集的个数是2n ; (2)若A B A B A,A B B; (3)德摩根定律: CU ,A B, ,C
2、UA, ,CUB,,CU,A B, ,CU A, ,CU B, 4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”( ),“且”( )和 “非”( ). 若p q为真,当且仅当p、q均为真 若p q为真,当且仅当p、q至少有一个为真 若 p为真,当且仅当p为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射, (一对一,多对一,允许B中有元素
3、无原象。) 8. 函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型, 10. 如何求复合函数的定义域, 如:函数f(x)的定义域是 a,b ,b ,a 0,则函数F(x) f(x),f(,x)的定义域是 _。 (答: a,,a ) 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗, 12. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗, (?反解x;?互换x、y;?注明定义域) 13. 反函数的性质有哪些, ?互为反函数的图象关于直线y,x对称; ?保存了原来函数的单调性、奇函数性; ?设y
4、 f(x)的定义域为A,值域为C,a A,b C,则f(a)=b f,1 (b) a f,1 f(a) f,1 (b) a,f f,1(b) f (a) b 14. 如何用定义证明函数的单调性, (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性, (y f(u),u (x),则y f (x) (外层)(内层) 当内、外层函数单调性相同时f (x) 为增函数,否则f (x) 为减函数。) 如:求y log1,x2,2x,的单调区间 2 (设u ,x2 ,2x,由u 0则0 x 2 且log 1u ,u ,x,1,2 ,1,如图: 2 当x (0,1时,u ,又log1u ,?y 2 当x 1,2
5、)时,u ,又log1u ,?y 2 ?) 15. 如何利用导数判断函数的单调性, 在区间,a,b, 内,若总有f(x) 0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于 零,不影响函数的单调性),反之也对,若f(x) 0呢, 值是( 如:已知a 0,函数f(x) x3 ,ax在 1,, ,上是单调增函数,则a的最大 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (令f(x) 3x2,a 3 x,a x,a 3 3 0 则x ,aa 3或x 3 由已知f(x)在1,, )上为增函数,则 a 3 1,即a 3 ?a的最大值为3) 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么, (f(x)定义
6、域关于原点对称) 若f(,x) ,f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称 若f(,x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称 注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 (2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0) 0。 17. 你熟悉周期函数的定义吗, (若存在实数T(T 0),在定义域内总有f,x,T, f(x),则f(x)为周期函数,T是一个周期。) 如:若f,x,a, ,f(x),则 (答:f(x)是周期函数,T 2a为f(x)的一个周期) 又如:若f(x)图象有
7、两条对称轴x a,x b, , 即f(a,x) f(a,x),f(b,x) f(b,x) 则f(x)是周期函数,2a,b为一个周期 如: 18. 你掌握常用的图象变换了吗, f(x)与f(,x)的图象关于y轴对称 f(x)与,f(x)的图象关于x轴对称 的图象关于原点对称 f(x)与,f(,x)f(x)与f,1 (x)的图象关于直线y x对称 f(x)与f(2a,x)的图象关于直线x a对称 f(x)与,f(2a,x)的图象关于点(a,0)对称 将y f(x)图象 左移a(a 0)个单位y f(x,a) 右移 a(a 0)个单位 y f(x,a) 上移b(b 0)个单位y f(x,a),b 下
8、移b(b 0)个单位 y f(x,a),b 注意如下“翻折”变换: f(x) f(x) 19. f(x) f(|x|) 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗, (1)一次函数:y kx,b,k 0, (2)反比例函数:y kx,k 0,推广为y b,kx,a,k 0,是中心O(a,b)的双曲线。 2 (3)二次函数y ax2 ,bx,c,a 0 b 4ac,b2 , a x,2a ,4a图象为抛物线 顶点坐标为 ,b,4ac,b2 ,对称轴x , b 2a4a 2a a4ac,b2 开口方向: 0,向上,函数ymin 4a 4ac,b2 a 应用:?“三个二次” 0,向下,ymax 4a(二次函
9、数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程 ax2,bx,c 0, 0时,两根x1、x2为二次函数y ax2,bx,c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax2,bx,c 0( 0)解集的端点值。 ?求闭区间,m,n,上的最值。 ?求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ?一元二次方程根的分布问题。 (4)指数函数:y ax ,a 0,a 1, (5)对数函数y logax,a 0,a 1, ax(a1) 由图象记性质 (注意底数的限定) (6)“对勾函数”y x,k x,k 0, 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最 值的区别是什么, 20. 你在基本运算上常出现错误吗, 指数运算
10、:a0 1(a 0),a,p 1 ap(a 0) m a n a m (a 0),a , mn 1 a m (a 0) 对数运算:log aM?N logaM,logaN,M 0,N 0, M loga N logaM,log1aN,logaM nlogaM 对数恒等式:a logax x 对数换底公式:loglogcbab logn logambn logabcam 21. 如何解抽象函数问题, (赋值法、结构变换法) 如:(1)x R,f(x)满足f(x,y) f(x),f(y),证明f(x)为奇函数。 (先令x y 0 f(0) 0再令y ,x,) (2)x R,f(x)满足f(xy)
11、f(x),f(y),证明f(x)是偶函数。 (先令x y ,t f (,t)(,t) f(t?t) ?f(,t),f(,t) f(t),f(t) ?f(,t) f(t) (3)证明单调性:f(x2) f ,x2,x1,x2 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗, (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。) 如求下列函数的最值: (1)y 2x,3,4x (2)y 2x,4 x,3 (3)x 3,2x2 y x,3 (4)y x,4,9,x2,设x 3cos , 0, , (5)9 y 4x,,x (0,1 x23. 你记得弧度的定义吗,能写出
12、圆心角为 ,半径为R的弧 长公式和扇形面积公式吗, (1 l ?R,S扇 2l?R 1 2 ?R2) 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义 sin MP,cos OM,tan AT B S T 如:若, 8 0,则sin ,cos , tan 的大小顺序是 O M x 又如:求函数y 1,2cos 2,x 的定义域和值域。 (?1,cos 2,x ) 1,sinx 0 ?sinx ,如图: 2 ?2k , 5 4 x 2k , 4,k Z,,0 y ,2 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗, 并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗, x 1,cosx 1 sin
13、y y tgx , O x 2 对称点为 k 2,0 ,k Z y sinx的增区间为 2k ,2,2k , 2 ,k Z, 减区间为 3 2k ,2,2k ,2 ,k Z, 图象的对称点为,k ,0,,对称轴为x k , ,k Z, y cosx的增区间为 2k ,2k , ,k Z, 减区间为 2k , ,2k ,2 , k Z, 图象的对称点为 k ,,0 ,对称轴为x k ,k Z, 2 (2)曲线f(x,y) 0沿向量a (h,k)平移后的方程为f(x,h,y,k) 0 y tanx的增区间为 k ,,k , k Z 22 26. 正弦型函数y=Asin, x+ ,的图象和性质要熟记
14、。或y Acos, x, , 2 (1)振幅|A|,周期T 如:函数y 2sin 2x, ,1的图象经过怎样的变换才能得到y sinx的 4 图象, 1 2倍 (y 2sin 2x, ,1 横坐标伸长到原来的y 2sin 2 x , ,1 4 2 4 | | 若f,x0, A,则x x0为对称轴。, 若fx0 0,则x0,0为对称点,反之也对。 (2)五点作图:令 x, 依次为0, 2, ,3 2,2 ,求出x与y,依点( x ,y)作图象。 (3)根据图象求解析式。(求A、 、 值) (x1), 0如图列出 (x 2), 2 解条件组求 、 值 正切型函数y Atan, x, ,,T | |
15、 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的 范围。 ,x 如:cos x, 6 ,223 ,2 ,求x值。 (? x 3 ,?7 x, 5 ,?x, 5 ,?x13 266364 12 ) 28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗, 如:函数y sinx,sin|x|的值域是 (x 0时,y 2sinx ,2,2 ,x 0时,y 0,?y ,2,2 ) 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗, (平移变换、伸缩变换) 平移公式: (1)点P(x,y) a (h,k ) x x,h 平移至 P(x,y),则 y y,k 2sin
16、x, 左平移 4 ,1 4个单位 y 2sinx,1 上平移 1个单位 y 2sinx 纵坐标缩短到原来的1 2倍 y sinx) 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗, 如:1 sin2 ,cos2 sec2 ,tan2 tan ?cot cos ?sec tan 4 sin 2 cos0 称为1的代换。 “k? ”化为 的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”, 2、“偶”指k取奇、偶数。 如:cos 9 ,tan 4 ,7 6 ,sin,21 , 又如:函数y sin ,tan ,则y的值为 cos ,cot A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值 sin , s
17、in (y sin2 ,cos ,1,cos cos2 sin ,1 0,? 0) 31. cos , 熟练掌握两角和、差、倍、sin 降幂公式及其逆向应用了吗, 理解公式之间的联系: 令 sin, , sin cos cos sin sin2 2 sin cos “奇” 令 2 co,s , cos co s sin sin cos2 co2s ,sin tan, , tan tan 22 2cos ,1 1,2sin 1 tan ?tan 1,cos2 cos 2 2 2tan a 2RsinA abc 正弦定理: 2R b 2RsinB sinAsinBsinC c 2RsinC 1 S
18、 a?bsinC 2 ?A,B,C ,?A,B ,C tan2 1,tan2 sin2 1, cos2 2 asin ,bcos a2,b2sin, , ,,tan b a sin ,cos 2sin ,4 sin ,3cos 2sin ,3 应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三 角函数,能求值,尽可能求值。) 具体方法: (1)角的变换:如 , , , , , 2 ,2 , 2, (2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。 如:已知 sin cos 1,cos2 1,tan, , ,
19、,2 3,求tan, ,2 ,的值。 (由已知得:sin cos 2sin2 cos 2sin 1,?tan 1 2 又tan, , , 2 3 21?tan, ,2 , tan , , , tan, , ,tan ,1,tan , ?tan 1 ) 1, 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗,如何实现边、角转化,而解斜三角形,3?82 a2 b2 ,c2 b2,c2,a2 余弦定理: ,2bccosA cosA 2bc (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。) ?sin,A,B, sin C,siA,BC 2 cos2 如 ABC中,2sin2A,B 2,cos2C 1 (1
20、)求角C; 2 (2)若2 2 c a b,2,求cos2A,cos2B的值。 (1)由已知式得:1,cos,A,B,2cos2 C,1 1 又A,B ,C,?2cos2 C,cosC,1 0 ?cosC 1 或cosC , 1(舍) 2 又0 C ,?C 3 (2)由正弦定理及1 a2 b2,c22得: 2sin2A,2sin2B sin2C sin2 33 4 1,cos2A,1,cos2B 3 4 ?cos2 A,cos2B ,3 4) 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦:arcsinx , , ,x ,1,1 22 反余弦:arccosx 0, ,x ,1,1 反正切
21、:arctanx , , , 22 ,x R, 34. 不等式的性质有哪些, c 0 ac bc (2)a b,c d a,c b,d (3)a b 0,c d 0 ac bd (1)a b, c 0 ac bc 111, 222223n 111111(1,2,2,2 1, 1 22 323nn,1n 如:证明1, (4) a b 0 1111 a b,a b 0 a b (5)a b 0 an bn, b (6)|x| a,a 0, ,a x a,|x| a x ,a或x a 35. 利用均值不等式: a2 ,b2 2aba,b R;a,b 2ab;ab a,b , 2 , , 2 求最值时
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