最新【优质】高中数学导数、微积分测试题优秀名师资料.doc
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1、【优质】高中数学导数、微积分测试题导数、微积分 1、(2012德州二模)如图,在边长为的正方形内的正弦曲线轴围成的区域yxx,sin与记为M(图中阴影部分),随机往正方形内投一个点P,则点P落在区域M内的概率是 12 A( B( 22,34 C( D( 22,答案:B ,2,解析:区域M的面积为:S,cosx,2,而正方形的面积为S,,所以,sinxdx,|M0,02所求概率为P,,选B。 2,122、(2012济南三模)已知函数,若fxdxfaa()2()(0),成立,fxxx()321,,,1则,_. a1答案: 31123212解析:因为f(x)dx, (3x,2x,1)dx,(x,x,
2、x)|,4,所以2(3a,2a,1),4,1,-1-11?a,1或a,. 32,xx01,fx(),、(2012莱芜3月模拟)函数3的图像与x轴所围成的封闭图形,212,xx,的面积为 . 5【答案】 621211523122()(2)(2)fxdx,xdx,,xdx,x,x,x,【解析】 01,0013261132fxxaxbxabR()2(,),,,、(2012济南三模)已知4,、是三次函数的两个极,32b,3值点,且,则的取值范围是( ) ,(0,1),(1,2)a,2222(,1)(,),(,)(1,),,,A( B( C(1,),, D( 555答案:B 解析:因为函数有两个极值,则
3、f(x),0有两个不同的2,0根,即,又,又f(x),x,ax,2b2b,0f(0),0,b,3,,所以有,即。的几何意义是指动1,a,2b,0f(1),0,(0,1),(1,2),a,2,f(2),04,2a,2b,0,点到定点两点斜率的取值范围,做出可行域如图,由图象可知当直线经过P(a,b)A(2,3)1,32AB时,斜率最小,此时斜率为,直线经过AD时,斜率最大,此时斜率为k,3,252b,30,3k,1,所以,1,选B. ,1,25a,23225、(2012临沂3月模拟)函数在点处的切线与函数(1,2)f(x),x,x,x,1g(x),x围成的图形的面积等于_; 4【答案】 wwwz
4、xxkcom.32【解析】函数的导数为,所以,即切线方程为f(1),3-2,1,2f(x),3x-2x,12,y,x,整理得。由解得交点坐标为,所以切线与函y,2,2(x,1)y,2x(0,0),(2,2),y,2x,218422322(2)()4x,xdx,x,x,数围成的图形的面积为。 g(x),x0,0333A6、(2012临沂二模)已知,()0101xyxy,是由直线,y,0,3,和曲线围成的曲边三角形区域,若向区域上随机投一点,点落在xaa,(01)yx,1A区域内的概率为,则的值是 a641111(A) (B) (C) (D) 64842【答案】D a1134a4xdxxa,【解析
5、】区边三角形的面积为,区域若向区域的面积为1,0,044111144Aa,a,a,上随机投一点,点落在区域内的概率,所以,所以,选D. 4641622a2632()x,x7、(2012青岛二模)设,则二项式展开式中不含项的系axdx,,(13)4,x0数和是 ,160160161,161A( B( C( D( 【答案】C 2223226a,6,4,2【解析】,所以,二项式为,(x,)(1,3x)dx,(x,x),60,0x2k26,kkk12,3kk12,3k,3k,3展开式的通项为,令,即,所T,C(x)(,),Cx(,2)k,166x333333x,1以,所以的系数为,令,得所有项的系数和
6、为,1xT,Cx(,2),2C,1604663所以不含项的系数和为,选C. x1,(,160),1618、(2012青岛二模)已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导fx,15,fx,,函数的图象如图所示. 下列关于的命题: yfx,fx,04fx?函数的极大值点为,; ,fx02,?函数在上是减函数; ,,x,t,1fx?如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4; t,,12,a4yfxa,?当时,函数有个零点; ,yfxa,?函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个( ,其中正确命题的序号是 ( 【答案】? ,1,x,02,x,4【解析】由导数图象可知,当或时,函数单调递增,f(x),0
7、0,x,24,x,5x,0x,4当或,函数单调递减,当和,函数取得极大值f(x),0x,2,当时,函数取得极小值,所以?正确;?正确;因为在f(0),2f(4),2f(2)x,0x,4当和,函数取得极大值f(0),2,f(4),2,要使当x,1,t函数f(x)的2,t,5最大值是4,当,所以的最大值为5,所以?不正确;由f(x),a知,因为极小tf(2)y,f(x),a值未知,所以无法判断函数有几个零点,所以?不正确,根据函数的单调性和极值,做出函数的图象如图,(线段只代表单调性),根据题意函数的极小值不确定,分或两种情况,由图象知,函数f(2),11,f(2),2和的交点个数有0,1,2,3
8、,4等不同情形,所以?正确,综上正确的命题序y,ay,f(x)号为?。 29、(2012青岛3月模拟)直线与抛物线所围成封闭图形的面积是y,2x,4y,x,135321016 A( B( C( D( wwwzxxkcom.3333答案:C 【解析】联立方程求得交点分别为,1,2,3,10. ,3140322,,,,,所以阴影部分的面积为 Sxdx4210124.,,12333x,10、(2012日照5月模拟)如图,由曲线,直线与轴围成的阴影部分 xy,sinx2的面积是 (A)1 (B)2 22C)( (D)3 答案:D 【解析】由定积分的几何意义,阴影部分的面积等于33,2222sinxdx
9、,sinxdx,cosx|,cosx|,3.(或3sinxdx,-3cosx|,3)选D. 00,00,122,,,x,yx,1,y,11、(2012泰安一模)已知1,A是曲线与围成的区y,xy,x,域,若向区域上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为 1111A. B. C. D. 43812【答案】D ,2,2,4【解析】本题为几何概率.区域的面积为.区域A的面积为1131212111231322()()x,xdx,x,x,,所以点P落入区域A的概率为P,,0,033333412选D. 1212、(2012滨州二模)已知函数f(x),,g(x),elnx。 x2(I)设函数F(x),f(x
10、),g(x),求F(x)的单调区间; (II)若存在常数k,m,使得f(x)?kx,m,对x?R恒成立,且g(x)?kx,m,对x?(0,?)恒成立,则称直线y,kx,m为函数f(x)与g(x)的“分界线”,试问:f(x)与g(x)是否存在“分界线”,若存在,求出“分界线”的方程,若不存在,请说明理由。 12解析:(I)由于函数f(x),,g(x),elnx, x212因此,F(x),f(x),g(x),elnx, x22xe,e()()xexe,,则Fxx(),, ,(0,)x,,,xxxee当0,x,时,,0,所以F(x)在(0,)上是减函数; Fx()ee当x,时,,0,所以F(x)在(
11、,)上是增函数; Fx(),ee因此,函数F(x)的单调减区间是(0,),单调增区间是(,)。 ,ee(II)由(I)可知,当x,时,F(x)取得最小值F(),0, eee则f(x)与g(x)的图象在x,处有公共点(,)。 2ee假设f(x)与g(x)存在“分界线”,则其必过点(,)。 2eeykxke,,,ykxe,()故设其方程为:,即, 22ekxke,,由f(x)?对x?R恒成立, 22xkxeke,,,220则对x?R恒成立, 222所以,?0成立, ,,,44(2)484()kkeekkeeekeeeyex,因此k,,“分界线“的方程为: 2eex,下面证明g(x)?对x?(0,?
12、)恒成立, 2eeeex(),exxeln,,设G(x),,则, Gxe(),2xx所以当0,x,时,当x,时,,0, eeGx()0,Gx()e当x,时,G(x)取得最大值0,则g(x)?对x?(0,?)恒成立, eex,2e故所求“分界线“的方程为: yex,213、(2012德州二模)设函数 fxxxxgxx()ln(0),()2.,,(I)求函数f(x)在点处的切线方程; Mefe(,()2, (II)设讨论函数的单调性; Fx()Fxaxaxfxa()(2)()(0),,,(III)设函数,是否同时存在实数m和,使得对每一Hxfxgx()()(),,MmM(),1个,直线都有公共点,
13、若存在,求出最ytyHxxc,与曲线()(,)tmM,e小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由。 ,lnx,1(x,0),则函数在点处的斜率为解析:(I)解:fx()fx()Mefe(,()fe(),2,f(e),e,所以,所求切线方程为y,e,2(x,e),即y,2x,e 2(II) Fxaxaxxx()(2)ln1(0),,,212(2)1axax,,(21)(1)xax,Fxaxa()2(2),,,(0,0)xa,, xxx11令,0,则x,或, Fx()2a1111,?当0,2,即时,令,0,解得0,x,或x, aFx()2aa211令,0,解得,x, Fx()2a1111)在(
14、0,所以,F(x),(,)上单调递增,在(,)单调递减。 ,2a2a11,?当a,2,即时,?0恒成立, Fx()a2所以,F(x)在(0,)上单调递增。 ,11,a?当,2,即时, a21111所以,F(x)在(0,),(,)上单调递增,在(,)单调递减 ,a2a2HxxxxHxx()2ln,()ln.,,,Hx()(III),令,0,则x,1, 1当x在区间内变化时,的变化情况如下表: (,)eHxHx(),()e11 xe 1 (1,)e (,1)ee, 0 + Hx()2单调递减 极小值1 单调递增 2 Hx() 2,e21又的值域为1,2。 22,()(,),所以函数Hxxeeem,
15、1,1据经可得,若,则对每一个,直线y=t与曲线yHxxe,()(,)tmM,eM,2,都有公共点。 1并且对每一个,直线yt,与曲线都没有yHxxe,()(,)tmM,,,(,)(,):e公共点。 综上,存在实数m=1和M,2,使得对每一个,直线y=t与曲线tmM,1都有公共点。 yHxxe,()(,)e14、(2012德州一模)已知函数( f(x)axlnx(aR),,,(I)求的单调区间; f(x)2 (?)设,若对任意x(,),,,0,总存在x,0,1, g(x)xx,,2112使得f(x)g(x),,求实数a的取值范围( 1211ax,fxax()(0),,,解析:(I)。 xxa,
16、0?当时,由于x,0,故ax,1,0,,0,所以f(x)的单调递增区间为(0,fx(),)。 ,11a,0x,?当时,由,0,得,在区间(0,,)上,,0, fx()fx()aa1在区间(,,)上,fx(),0, ,aa,0所以,当时,所以f(x)的单调递增区间为(0,)。 ,11a,0当时,f(x)的单调递增区间为(0,,),f(x)的单调递减区间为(,,) ,aa(II)由已知,转化为,又,g(0),1 fxgx()(),gx()maxmaxmaxa,0由(I)知,当时, f(x)在(0,)递增,值域为R,故不符合题意。 ,11a,0当时,f(x)在(0,,)递增,在(,,)递减, ,aa
17、11故f(x)的极大值即为最大值, fa()1ln()1ln(),,,aa1所以1,1,ln(,a),解得:a- 2e15、(2012济南3月模拟)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数. (1) 当a=-1时,求f(x)的最大值; (2) 若f(x)在区间(0,e,上的最大值为-3,求a的值; ln1xfx()(3) 当a=-1时,试推断方程=是否有实数解. ,x211,x【答案】解:(1) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f(x)=,1+1,xx分 当0x0;当x1时,f(x)0. ?f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+?)上是减函数3分 fx()=
18、f(1)=-14分 max111,, (2) ?f(x)=a+,x?(0,e,,?5分 ,,,xxe,,1? 若a?,则f(x)?0,从而f(x)在(0,e,上增函数 ,efx() ?=f(e)=ae+1?0.不合题意6分 max111? 若a0,,a0,即0x ,exa11由f(x)0,,a0,即x?e. ,xa11,从而f(x)在上增函数,在为减函数 ,e0,aa,11,fx()?=f=-1+ln8分 ,max,aa,11,令-1+ln=-3,则ln=-2 ,aa,11,2,2,22e,e,e,e,?,=,即a=. ?,?a=为所求9分 eafx()(3) 由(?)知当a=-1时=f(1)
19、=-1, max?|f(x)|?110分 ln1x1ln,x,又令g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x=e, 2xx2当0x0,g(x) 在(0,e)单调递增; 当xe时,g(x)0,g(x) 在(e,+?)单调递减11分 11 ?=g(e)= 1, ?g(x)g(x),即|f(x)| 13分 ,x2ln1x?方程|f(x)|=没有实数解.14分 ,x2216、(2012莱芜3月模拟)已知函数 fxxaxxa()ln,.,,,R(?)若函数在1,2上是减函数,求实数a的取值范围; fx()2 (?)令是否存在实数a,当(e是自然常数)时,函数 x,0,egx()gxfxx()(),,,
20、的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由; 522 (?)当时,证明: x,0,ee(1)ln.xxxx,,,22121xax,, (22).解:解:(?)在1,2上恒成立, fxxa()20,,,xxa,1,h(1)0,2令,有 得 3分 hxxax()21,,,7,a,h(2)0,27所以. 4分 a,2(?)假设存在实数a,使有最小值3, gxaxxx()ln(0,e),11ax,gxa(),. 5分 xxa,0?当时,g(x)在0,e上单调递减, 4gxgaa()(e)e13,(舍去). mine111(0,)(,e)0e,?当时,g(x)在上单调递减,在上单调递增, aa
21、a12gxgaa()()1ln3,e,,,所以,满足条件. mina14,egxgaa()(e)e13,?当时,g(x)在0,e上单调递减,(舍去). minae2a,e综上,存在实数,使得当x,(0,e时,g(x)有最小值3. 10分 2(?)令,由(2)知 Fxxx()eln,ln5x1ln,x,,,()x()x,Fx()3,,令, min2x2x,0e,x,()0x,()x(0,e当时,,,在上单调递增, 1515所以. ,,,,,()(e)3xmaxe222ln5x5222所以,即. 14分 elnxx,,e(1)lnxxxx,,x223217、(2012青岛二模)已知函数. fxln
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