最新【最新资料】高一数学必修4知识点总结优秀名师资料.doc
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1、【最新资料】2016年高一数学必修4知识点总结2014年高一数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角,1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角, ,零角:不作任何旋转形成的角,2、角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角( ,x,第一象限角的集合为 ,kkk,,,36036090,第二象限角的集合为 ,kkk,,,,,36090360180,第三象限角的集合为,kkk,,,,,360180360270, ,第四象限角的集合为,kkk,,,,,360270360360, ,终边在,kk180,轴上的角的集合为 x,,,kk1
2、8090,终边在轴上的角的集合为 y,kk90,终边在坐标轴上的角的集合为 , 2,? ,?、? 2,? ,?、? 2,? ,?、? 2,? ,?、? 2,,,kk360,3、与角,终边相同的角的集合为 ,14、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度( ll,5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为,则角的弧度数的绝对值是( rr,180,1,2360,6、弧度制与角度制的换算公式:,( ,157.3,180,lCSCrl,,2,为弧度制lr,7、若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则,r,1 112( ,Slrr22228、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距
3、离是,xy,rrxy,,,0,,yyxy则,( sin,cos,tan0,x,rrx PT9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, v 第三象限正切为正,第四象限余弦为正( OMxsin,cos,tan,10、三角函数线:,( A22222211、角三角函数的基本关系:;1sincos1,,,sin1cos,cos1sin,,sin,sin,( 2tan,sintancos,cos,,cos,tan,12、函数的诱导公式: 1sin2sink,,,,cos2cosk,,,,tan2tankk,,,( ,2sinsin,,,,coscos,,,,tantan,,,( ,3s
4、insin,coscos,tantan,,( ,4sinsin,coscos,tantan,,( ,口诀:函数名称不变,符号看象限( ,,(,( 5sincoscossin6sincoscossin,,,,,,,2222,口诀:正弦与余弦互换,符号看象限( ,yx,,sin,yx,,sin,13、?的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数,1yx,,sin,的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将,,yx,,sin,函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数,yx,,sin,的图象( ,1?数yx,s
5、in的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数 ,yx,sin,的图象;再将函数yx,sin,的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数,yx,,sin,yx,,sin,的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横,2 坐标不变),得到函数的图象( yx,,sin,,14、函数的性质: yx,,,sin0,0,,2,1,?振幅:;?周期:;?频率:;?相位:;?初相:( ,f,x,,2,函数,当时,取得最小值为 ;当时,取得最大值为,则yx,,,sin,xx,yxx,y,1min2max,2,y,ASinx, , A,0 , , 0 , T,
6、11,xxxx,yy,,yy,maxminmaxmin2112222,,( 2,y,ACosx, , A,0 , , 0 , T,15 周期问题 ,,,y,ASinx, , A,0 , , 0 , T,,, ,y,ACosx, , A,0 , , 0 , T,,,2,,y,ASinx, ,b , A,0 , , 0 , b ,0 , T,,2,y,ACosx, ,b , A,0 , , 0 , b,0 , T,y,Atanx, , A,0 , , 0 , T,,,y,Acotx, , A,0 , , 0 , T,,, ,y,Atanx, , A,0 , , 0 , T,,,,y,Acotx,
7、, A,0 , , 0 , T,15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 函 yx,cos yx,tan yx,sin数 性 质 图象 ,xxkk, ,,,定义域 RR ,2,1,1,1,1 ,值域 R 3 ,时,时, 当当xk,,2k,xkk,2,,2,xk,,2,;当 ;当 xk,2y,1y,1,最值 既无最大值也无最小值 maxmax2时,( 时,( k,k,y,1y,1,minmin,周期性 2,2, 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 ,,在 2,2kk,,,22,上是在2,2kkk,,, 在kk,上是增函数;在 ,,k,,,22,增函数;在 2,2kk,,单调性 ,3, 2,2
8、kk,上是增函数( k,,,上是减函数( k,,22,k,上是减函数( ,对称中心kk,0, ,,, 对称中心k,kk,0,,,,对称中心 ,0k,,2,对称性 ,2,xkk,,,对称轴 ,,2xkk,对称轴 无对称轴 ,第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量( 数量:只有大小,没有方向的量( 0有向线段的三要素:起点、方向、长度( 零向量:长度为的向量( 1单位向量:长度等于个单位的向量( 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量(零向量与任一向量平行( 相等向量:长度相等且方向相同的向量( 17、向量加法运算: ?三角形法则的特点:首尾相连( ?平行四边形法则的特点:共
9、起点( C ,ababab,,,,?三角形不等式:( ,a ,abba,,,?运算性质:?交换律:; b , ,abcabc,,,aaa,,,,00?结合律:;?( ,,abCC, 4 ,?坐标运算:设,则( axy,bxy,abxxyy,,,,,1122121218、向量减法运算: ?三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量( ,?坐标运算:设,则( axy,bxy,abxxyy,,11221212,设、两点的坐标分别为,则( ,xy,xy,xxyy,,1122121219、向量数乘运算: ,a,a?实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作( ,?; ,aa,0,aa,0
10、,aa,0?当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,( ,a,0,?运算律:?;?;?,abab,,,( ,aa,,,,aaa,,?坐标运算:设axy,,则,axyxy,( ,,aa,020、向量共线定理:向量与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使( ba,,,abb,0axy,b,0设,其中,则当且仅当时,向量、共线( bxy,xyxy,0,11122122,a21、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有ee12,且只有一对实数、,使(不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底) ,aee,,,ee12111222,xy,x
11、y,22、分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,当时,,,1122121212xxyy,,1212,1时,就为中点公式。)点的坐标是(当 ,11,,23、平面向量的数量积: ,0ababab,cos0,0,0180,?(零向量与任一向量的数量积为( ,,aaaabab,babab,0bb?性质:设和都是非零向量,则?(?当与同向时,;当与反向,22aaaa,abab,abab,aaa,时,;或(?( ,ababab,abcacbc,,,,abba,?运算律:?;?;?( ,,axy,bxy,?坐标运算:设两个非零向量,则abxxyy,,( ,11221212,22222axy,,a
12、xy,,axy,axy,bxy,若abxxyy,,,0,则,或( 设,则( ,112212125 ,,,xxyyab,1212a,a,设、都是非零向量,是与的夹角,则cos,( axy,bb,bxy,,,11222222abxyxy,1122测试题 一、选择题 1(若三点共线,则有( ) ABaCb(2,3),(3,),(4,)ab,,,1023ab,ab,20A( B( C( D( ab,3,50,2,2(设,已知两个向量, ,OP,cos,sin,1,则向量长度的最大值是( ) ,OP,2,sin,2,cos,PP2123A. B. C. D.23 2323(下列命题正确的是( ) A(单
13、位向量都相等 B(若与是共线向量,与是共线向量,则与是共线向量( ) abbcac,C(,则ab,0 |a,b|,|a,b|,bD(若与是单位向量,则 ab,1a0000,0ab,,3均为单位向量,它们的夹角为60,那么( ) 4(已知ab,710134A( B( C( D( ,ab,1,4,ab,25(已知向量abab,满足且则与的夹角为 , A( B( C( D( 64326(若平面向量与向量平行,且,则b,( ) ba,(2,1)|b|,25A( B( C( D(或 (4,2)(,4,2)(6,3)(4,2)(,4,2)二、填空题 ,|1,|2,abcab,,ca,ab1(若,且,则向量
14、与的夹角为 ( ,a,(1,2)b,(2,3)c,(4,1)abcc2(已知向量,若用和表示,则=_。 ,a,1b,20(35)ab,,()mab,60abm3(若,,与的夹角为,若,则的值为 ( ,ABCBCD,,,ABCD24(若菱形的边长为,则_。 ,(2,3)(,4,7)abab5(若=,=,则在上的投影为_。 ,2ab,a,(cos,sin),6(已知向量,向量,则的最大值是 ( b,(3,1)6 7(若,试判断则?ABC的形状_( ABC(1,2),(2,3),(2,5),8(若,则与垂直的单位向量的坐标为_。 aa,(2,2),9(若向量则 。 |1,|2,|2,abab,|ab
15、,,10(平面向量中,已知,且,则向量_。 b,1ab ,5b,a,ba,(4,3)第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ?;?; coscoscossinsin,,coscoscossinsin,,,,?;?; sinsincoscossin,sinsincoscossin,,,,tantan,tan,? (); tantantan1tantan,,,,1tantan,,tantan,,tan,,? (tantantan1tantan,,,,,)( ,,1tantan,25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: 222sin22sincos,?( ,1,sin2,sin,
16、,cos,2sin,cos,(sin,cos,)2222cos2cossin2cos112sin,? ,221cos2cos,1cos2sin,,升幂公式 ,22cos21,,1cos2,22cos,sin,降幂公式,( ,22:万能公式2tan,tan2, ?( 221tan,2tan1tan,半角公式:,22sin ;cos ,26、 1,cos1,cos22cos,;sin,1tan1tan ,222222 1,cossin1,cos tan,21,cos1,cossin (后两个不用判断符号,更加好用) ,27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 y,
17、Asin(,x,,),B,22,,,,,,sincossin,tan,形式。,其中( ,,28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能(常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍7 半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ,2,4,2,?是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍; ,224o30,ooooo?;问: ; ; 1545306045sin,cos,12122,?;?;?
18、;等等 ,,(,),2,(,,),,(,),(,,),(,),(,,,),42444(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有: 22oo 1,sin,,cos,tan,cot,sin90,tan45(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂1,cos,公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ; (5)公
19、式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 ,1,tan1,tan,_,_ 如:; ; 1,tan,1,tan,; tan,,tan,_1,tan,tan,_; tan,tan,_1,tan,tan,_22tan,1,tan, ; ; ooootan20,tan40,3tan20tan40, ; sin,,cos, = ; asin,,bcos,tan, = ;(其中 ;) 1,cos,1,cos, ; ; (6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特
20、殊角的三角函数互化。 oo如: ; sin50(1,3tan10),tan,cot, 。 易错点提示: 8 1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗,你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗, 2. 在三角中,你知道1等于什么吗,( 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用( 3. 你还记得三角化简的通性通法吗,(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次) 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗,() ,sintanxxx,5(常见三角不等式:(1)若x,(0,),则. 2,(2) 若x,(0,),则. (
21、3) . 1sincos2,,,xx|sin|cos|1xx,,2测试题 一、选择题 1(下列转化结果错误的是 ( ) 103,A( 6730化成弧度是rad B. 化成度是-600度 837,150C(化成弧度是rad D. 化成度是15度 126,2(已知是第二象限角,那么是 ( ) ,2A(第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D(第一或第三象限角 21,sin,3(已知,则化简的结果为 ( ) sin,0,tan,0cos,cos,cos,A( B. C( D. 以上都不对 ,y,cos(2x,)4(函数的图象的一条对称轴方程是 ( ) 2,x,x,x,A( B. C.
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