最新中考复习专题——二次函数知识点总结优秀名师资料.doc
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1、2011年中考复习专题二次函数知识点总结二次函数专题 二次函数知识点 一、二次函数概念: 2yaxbxc,,abc1(二次函数的概念:一般地,形如(是常数,a,0)的函数,叫做二次函数。 bc这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a,0,而可以为零(二次函数的定义域是全体实数( 2yaxbxc,,2. 二次函数的结构特征: ? 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2( abc? 是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项( 二、二次函数的基本形式 2yax,1. 二次函数基本形式:的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 a的符号 开口方向 顶点坐标
2、对称轴 性质 yyx,0xx,0时,随的增大而增大;时,随 00 y,轴 a,0 向上 yxx,00的增大而减小;时,有最小值( yyx,0xx,0时,随的增大而减小;时,随00 y轴 ,a,0 向下 yxx,00的增大而增大;时,有最大值( 2yaxc,,2. 的性质: 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x,0yx,0yx时,随的增大而增大;时,随 0c y,轴 a,0 向上 x,0yxc的增大而减小;时,有最小值( x,0yx,0yx时,随的增大而减小;时,随0c y,轴 a,0 向下 x,0yxc的增大而增大;时,有最大值( 2yaxh,3. 的性质: ,左加右减。
3、 1 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 axh,时,y随的增大而增大;xh,时,y随xh0 ,a,0 向上 X=h 的增大而减小;xh,时,y有最小值0( xxh,时,y随的增大而减小;xh,时,y随xh0 ,a,0 向下 X=h 的增大而增大;xh,时,y有最大值0( x2yaxhk,,4. 的性质: ,的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 axh,yxh,y时,随x的增大而增大;时,随hk ,a,0 向上 X=h xh,ykx的增大而减小;时,有最小值( xh,yxh,y时,随x的增大而减小;时,随hk ,a,0 向下 X=h xh,ykx的增大而增大;时,有最大值( 三、二次
4、函数图象的平移 1. 平移步骤: 2yaxhk,,hk? 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; ,2yax,hk? 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: ,向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位2. 平移规律 hk 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”( 概括成八个字“左加右减,上加下减”( 22yaxhk,,yaxbxc,,四、二次函数与的比较 ,22yaxhk,,yaxbxc,,从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前,222bacb4,bac
5、b4,者,即,其中( yax,,hk,24aa24aa,2yaxbxc,,五、二次函数图象的画法 2 22yaxbxc,,yaxhk,,()五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴0c0c2hc,x0x0的交点、以及关于对称轴对称的点、与x轴的交点,(若与x轴,12没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). y画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与轴的交点. 2yaxbxc,,六、二次函数的性质 2,bbacb4, 1. 当a,0时,抛物线开口向上,对称轴为,顶
6、点坐标为( x,2a24aa,bbbyyy当时,随x的增大而减小;当时,随x的增大而增大;当时,有最小x,x,x,2a2a2a24acb,值( 4a2,bbbacb4,ya,0 2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为x,,顶点坐标为(当x,时,随,2a24aa2a,2bb4acb,yyxx的增大而增大;当x,时,随的增大而减小;当x,时,有最大值( 2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 2yaxbxc,,abca,01. 一般式:(,为常数,); 2yaxhk,,()ahka,02. 顶点式:(,为常数,); yaxxxx,()()xxa,0x3. 两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标).
7、 1212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只2bac,40x有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 a 1. 二次项系数 2yaxbxc,,a,0a二次函数中,作为二次项系数,显然( a,0aa ? 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大; a,0aa ? 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大( aaa总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小( b
8、2. 一次项系数 ba 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴( a,0 ? 在的前提下, byb,0当时,即抛物线的对称轴在轴左侧; ,02abyb,0当时,即抛物线的对称轴就是轴; ,02a3 b当时,即抛物线对称轴在y轴的右侧( b,0,02a? 在的前提下,结论刚好与上述相反,即 a,0b当yb,0时,即抛物线的对称轴在轴右侧; ,02aby当b,0时,即抛物线的对称轴就是轴; ,02aby当b,0时,即抛物线对称轴在轴的左侧( ,02a总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置( 总结: 3. 常数项c yy ? 当c,0时,抛物线与轴的交点在x轴上方,即抛物线与
9、轴交点的纵坐标为正; yy ? 当c,0时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为0; yy ? 当c,0时,抛物线与轴的交点在x轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负( y 总结起来,c决定了抛物线与轴交点的位置( abc 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的( 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便(一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; x3. 已知抛
10、物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式( 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 x 1. 关于轴对称 22yaxbxc,,yaxbxc,x 关于轴对称后,得到的解析式是; 22yaxhk,yaxhk,,x关于轴对称后,得到的解析式是; ,y 2. 关于轴对称 22yaxbxc,,yaxbxc,,y 关于轴对称后,得到的解析式是; 22yaxhk,,yaxhk,,y关于轴对称后,得到的解析式是; ,3. 关于原点对称 22yaxbxc,,yaxbxc,,, 关于原点对称后,得到的解析式是; 22
11、yaxhk,,yaxhk,,, 关于原点对称后,得到的解析式是; ,4. 关于顶点对称 2b22yaxbxc,,yaxbxc,,, 关于顶点对称后,得到的解析式是; 2a22yaxhk,,yaxhk,,关于顶点对称后,得到的解析式是( ,4 mn 5. 关于点对称 ,22yaxhmnk,,,,,22yaxhk,,mn关于点对称后,得到的解析式是 ,a 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物
12、线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式( 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况): 22yaxbxc,,y,0axbxc,,0一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数: 2AxBx,00()xx,xx,,bac40时,图象与x轴交于两点,其中的是一元二次? 当,1212122bac,42axbxca,,00方程的两根(这两点间的距离. ABxx,,21a,0x? 当时,图象与轴只有一个交点; ,0x? 当时,图象与轴没有交点. 1y,0a,0xx 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有; 2y,
13、0a,0xx当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有( 2yaxbxc,,(0c)y2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,; 3. 二次函数常用解题方法总结: x? 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 2yaxbxc,,abcabc? 根据图象的位置判断二次函数中,的符号,或由二次函数中,的符号判断图象的位置,要数形结合; x? 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 2axbxca,,(0)x? 与
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