最新九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题优秀名师资料.doc
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1、九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题杭州中考网 第十三讲 反比例函数 第一部分 知识梳理 一、反比例函数的解析式 1(反比例函数的概念 一般地,函数 写成(k是常数,)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以的形式。自变量x的取值范围是的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。 2(反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数x中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的 杭州中考网 杭州中考网 一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。 二、反比例函数的图像及性质 1(反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线,有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、
2、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量,函数,所以,它的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 2(反比例函数的性质 杭州中考网 杭州中考网 3(反比例函数中反比例系数的几何意义 所得矩形(如图)面积为k。 连接该点和原点,所得三 三角形(如图)的面积 D( 2m的值 试题来源2010年凉山州中考数学试题 选题意图对于反比例函数 。由于,所以反比例函数也可以写成(k是常数,k?0)的形式,有时也以xy=k(k是常数,k?0)的形式出现。(1)k,0,反比例函数图象在一、三象限;(2)k,0,反比例函数图象在第二、四象限内(本题需要理解好反比
3、例函数定义中的系数和指数,同时需要掌握反比例函数的性质,这样才能防止漏解或多解。 解题思路根据反比例函数的定义m,5=,1,又图象在第二、四象限,所以m+1,0,两式联立方程组求解即可( 2 杭州中考网 杭州中考网 参考答案解:?函数是反比例函数,且图象在第二、四象限内, ?,解得m=?2且m,1,?m=,2(故选B( , 【课堂训练题】 1(2000甘肃)已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x,2成反比例,且当;当x=3时,y=5(求y与x的函数关系式( x=1时,y=,1难度分级A类 参考答案解:设y1=k1x(k1?0),y2=错误未找到引用源。 ?y=k1x+错误未找到引用源。
4、 ?当x=1时,y=,1;当x=3时,y=5, ?,?。 ? 。 k1 xk2x2(定义:已知反比例函数与,如果存在函数 x(k1k2,0)则称函数 x为这两个函数的中和函数。 2 x(1)试写出一对函数,使得它的中和函数为 y随x的增大而增大。 求当 (2)函数,并且其中一个函数满足:当x,0时,和的中和函数的图象和函数y=2x的图象相交于两点,试的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围。 难度分级B类 参考答案解:(1)?试写出一对函数,使得它的中和函数为错误未找到引用源。, 并且其中一个函数满足:当x,0时,y随x的增大而增大( ?答案不唯一,如错误未找到引用源。与错误未找到引用源。等
5、; x (2)?错误未找到引用源。和错误未找到引用源。的中和函数错误未找到引用源。, 杭州中考网 杭州中考网 联立方程组, 解之得两个函数图象的交点坐标为(3,23)(,),结合图象得到当 x 的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围是x,或0,x,3( 【例题2】如图所示是反比例函数 x的图象的一支,根据图象回答下列问题: (1)图象的另一支在哪个象限,常数n的取值范围是什么, (2)若函数图象经过点(3,1),求n的值; (3)在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),如果a1,a2,试比较b1和b2的大小( 难度分级B类 试题来源2010年肇庆市中考数学试题
6、选题意图本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法,需要熟练掌握( 解题思路(1)根据反比例函数图象的性质,这一支位于第一象限,另一支一定位于第三象限; 即可求出函数解析式; (2)把点的坐标代入反比例函数求出n值,(3)根据反比例函数图象的性质,当k,0时,在每个象限内,函数值y随x增大而减小。 参考答案解:(1)图象的另一支在第三象限(由图象可知,4,0,解得:n,2 2n,(2)将点(3,1)代入(3)?2n,4,0, ?在这个函数图象的任一支上,y随x增大而减小, ?当a1,a2时,b1,b2( 得:,解得:n=错误未找到引用源。; 杭州中考网 杭州中考网 【课堂训
7、练题】 1(如图是反比例函数 x 的图象的一支( (1)求m的取值范围,并在图中画出另一支的图象; (2)若m=,1,P(a,3)是双曲线上点,PH?y轴于H,将线段OP向右平移3PH的长度至OP,此时P的对应点P恰好在另一条双曲线 面积为 ,k= (直接填写答案) kx的图象上,则平移中线段OP扫过的 难度分级B类 参考答案解:(1)由反比例函数的图象可知m,5,0,即m,5( (2)?m=,1,?反比例函数把P(a,3)代入上式得a=,2( 向右平移3PH,可得P坐标为(4,3),第一象限内抛物线解析式为 的解析式为, ( S?oopp =S?APPA=23+43=18( 则平移中线段OP
8、扫过的面积为18,k=12( 2(2006临沂)我们学过二次函数的图象的平移,如:将二次函数的图象向左平移2个单位,再向下平移4个单位,所图象的函数表达式是。 类比二次函数的图象的平移,我们对反比例函数的图象作类似的变换: 22 杭州中考网 杭州中考网 (1)将y=错误未找到引用源。的图象向右平移1个单位,所得图象的函数表达式为 ,再向上平移1个单位,所得图象的函数表达式为 ; (2)函数y=错误未找到引用源。的图象可由y=错误未找到引用源。的图象向 平移 个单位得到;y=错误未找到引用源。的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到; (3)一般地,函数y=错误未找到引用源。(ab?0,
9、且a?b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到, 难度分级B类 参考答案解:(1)可设新反比例函数的解析式为y=错误未找到引用源。,可从原反比例函数找一点 (1,1),向右平移1个单位得(2,1),代入解析式可得:a=,1(故所得图象的函数表达式为错误未找到引用源。;再向上平移1个单位,所得图象的函数表达式为错误未找到引用源。( (2)先把函数化为标准反比例的形式y=错误未找到引用源。+1,然后即可根据反比例函数图象平移的性质解答:y=错误未找到引用源。可转化为错误未找到引用源。( 故函数y=错误未找到引用源。的图象可由y=错误未找到引用源。的图象向上移1个单位得到;y=错误未找到
10、引用源。的图象可由反比例函数错误未找到引用源。的图象先向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到( b?0,且a?b)可转化为错误未找到引用 (3)函数错误未找到引用源。(a源。( 当a,0时,错误未找到引用源。的图象可由反比例函数错误未找到引用源。的图象向左平移a个单位,再向上平移1个单位得到; 当a,0时,错误未找到引用源。的图象可由反比例函数错误未找到引用源。的图象向右平移,a个单位,再向上平移1个单位得到( 【例题3】在反比例函数 (1)求k的取值范围; (2)在曲线上取一点A,分别向x轴、y轴作垂线段,垂足分别为B、C,坐标原点为O,若四边形ABOC面积为6,求k的值( kx的图象的每
11、一条曲线上,y都随x的增大而减小( 难度分级B类杭州中考网 杭州中考网 试题来源2009年湖南省湘西自治州中考数学试题 选题意图 主要考查了反比例函数 x中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x 轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义(图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=错误未找到引用源。|k|( 解题思路(1)直接根据反比例函数的性质求解即可,k,0;(2)直接根据k的几何意义可知:过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,所以|k|=6,而k,
12、0,则k=6( 参考答案解:(1)?y的值随x的增大而减小,?k,0( (2)由于点A在双曲线上,则S=|k|=6,而k,0,所以k=6( 【课堂训练题】 1(2009莆田)如图,在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2 =A2A3=A3A4=A4A5,过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂 线与反比例函数y=错误未找到引用源。(x?0)的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5, 得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5,并设 其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5,则S5的值为 ( 难度分级B类 参考答案解:因为过双曲线上任意一点与原点所连的
13、线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,S=错误未找到引用源。|k|( 所以S1=1,S2=错误未找到引用源。S1=错误未找到引用源。,S3=错误未找到引用源。S1=错误未找到引用源。,S4=错误未找到引用源。S1=错误未找到引用源。,S5=错误未找到引用源。S1=错误未找到引用源。( 2(如图,已知A、C两点在双曲线上,点C的横坐标比点A的横坐标多2,AB?x轴,CD?x轴,CE?AB,垂足分别是B、D、E( (1)当A的横坐标是1时,求?AEC的面积S1; (2)当A的横坐标是n时,求?AEC的面积Sn; (3)当A的横坐标分别是1,2,10时,?AEC的面积相应的是
14、S1,S2,S10,求S1+S2+S10的值( 杭州中考网 杭州中考网 难度分级B类 参考答案解:(1)?点A的坐标为(1,1), ?反比例函数的比例系数k为11=1; ?A的横坐标是1,点C的横坐标比点A的横坐标多2, ?点A的纵坐标为1,点C的横坐标为3,纵坐标为错误未找到引用源。, ?AEC的面积S1=错误未找到引用源。AEEC=错误未找到引用源。2(1,错误未找到引用源。)=错误未找到引用源。; (2)由(1)可得当A的横坐标是n时,?AEC的面积Sn=错误未找到引用源。2(错误未找到引用源。,错误未找到引用源。)=错误未找到引用源。; (3)解法一:S1+S2+S10 =(1,错误未
15、找到引用源。)+(错误未找到引用源。,错误未找到引用源。)+(错误未找到引用源。,错误未找到引用源。)+(错误未找到引用源。,错误未找到引用源。)+(错误未找到引用源。,错误未找到引用源。)+(错误未找到引用源。,错误未找到引用源。) =1+错误未找到引用源。,错误未找到引用源。,错误未找到引用源。=错误未找到引用源。( 【例题4】已知反比例函数 x,k为常数,k?1( (1)若点A(1,2)在这个函数的图象上,求k的值; (2)若在这个函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围; (3)若k=13,试判断点B(3,4),C(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由( 难度分级A
16、类 试题来源2010年天津市中考数学试题 杭州中考网 杭州中考网 选题意图此题是一道基础题,考查了三方面的内容:?用待定系数法求函数解析式; ?反比例函数的性质;?反比例函数图象上点的坐标特点( )将点A(1,2)代入解析式即可求出k的值; 解题思路(1(2)根据反比例函数的性质,判断出图象所在的象限,进而可求出k的取值范围; (3)将k=13代入y=错误未找到引用源。,得到反比例函数解析式,再将B(3,4),C(2,5)代入解析式解答即可( 参考答案解:(1)?点A(1,2)在这个函数的图象上,?2=k,1,解得k=3( (2)?在函数错误未找到引用源。图象的每一支上,y随x的增大而减小,?
17、k,1,0,解得k,1( (3)?k=13,有k,1=12,?反比例函数的解析式为错误未找到引用源。, 将点B的坐标代入错误未找到引用源。,可知点B的坐标满足函数关系式, ?点B在函数错误未找到引用源。的图象上, 将点C的坐标代入错误未找到引用源。,由错误未找到引用源。,可知点C的坐标不满足函数关系式, ?点C不在函数错误未找到引用源。的图象上( 【课堂训练题】 1(2008肇庆)已知点A(2,6)、B(3,4)在某个反比例函数的图象上( (1)求此反比例函数的解析式; (2)若直线y=mx与线段AB相交,求m的取值范围( 难度分级A类 参考答案解:(1)设所求的反比例函数为y=错误未找到引用
18、源。,依题意得:6=错误未找到引用源。;?k=12( ?反比例函数为y=错误未找到引用源。( (2)设P(x,y)是线段AB上任一点,则有2?x?3,4?y?6; ?m=错误未找到引用源。,?错误未找到引用源。?m?错误未找到引用源。( 所以m的取值范围是错误未找到引用源。?m?3( 2(2009长春)如图,点P的坐标为(2,错误未找到引用源。),过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线y=错误未找到引用源。(x,0)于点N;作PM?AN交双曲线y=错误未找到引用源。(x,0)于点M,连接AM(已知PN=4( 杭州中考网 杭州中考网 (1)求k的值(2)求?APM的面积( 难度分级A类 参考
19、答案解:(1)?点P的坐标为(2,错误未找到引用源。),?AP=2,OA=错误未找到引用源。( ?PN=4,?AN=6,?点N的坐标为(6,错误未找到引用源。)( 把N(6,错误未找到引用源。)代入y=错误未找到引用源。中,得k=9( (2)?k=9,?y=错误未找到引用源。( 当x=2时,y=错误未找到引用源。(?MP=错误未找到引用源。,错误未找到引用源。=3( ?S?APM=错误未找到引用源。23=3( 【例题5】如图,A、B两点在函数y=错误未找到引用源。(x,0)的图象上( (1)求m的值及直线AB的解析式; (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点(请直接写出图
20、中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数( 难度分级B类 试题来源2009年北京市高等中学招生考试 选题意图 本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质,综合性较强,体现了数形结合的思想( 解题思路(1)将A点或B点的坐标代入y=错误未找到引用源。求出m,再将这两点的坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可得到这个函数的解析式; 杭州中考网 杭州中考网 ttp:/ (2)画出网格图帮助解答( h参考答案解:(1)由图象可知,函数错误未找到引用源。(x,0)的图象经过点A(1, 6), 可得m=6( 设直线AB的解析式为y=kx+b( ?A(1,6),B(6,1)两点在函数y=kx+b的图象上, ?
21、,解得 ( ?直线AB的解析式为y=,x+7; (2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3( 【课堂训练题】 1(如图,在平面直角坐标系中,直线y=,x,5交x轴于A,交y轴于B,点P(0,,1),D是线段AB上一动点,DC?y轴于点C,反比例函数错误未找到引用源。的图象经过点 D( (1)若C为BP的中点,求k的值( (2)DH?DC交OA于H,若D点的横坐标为x,四边形DHOC的面积为y,求y与x之间的函数关系式( 难度分级B类 参考答案解:(1)?B点是直线y=,x,5与y轴的交点, 杭州中考网 杭州中考网 ?x=0,y=,5,即B点坐标为(0,5), ?点P(0,,1),C为B
22、P的中点,?C点的坐标为(0,,3), ?D点纵坐标为,3,即,3=,x,5,x=,2,?D点坐标为(,2,,3), ?D在反比例函数y=错误未找到引用源。的图象上,?k=(,2)(,3)=6( ?D点的横坐标为x,?其纵坐标为,x,5, (2)?D点在第三象限,?x,0,,x,5,0, ?y=|x|,x,5|=,x(x+5)=,x,5x( 2(2006北京)在平面直角坐标系xOy中,直线y=,x绕点O顺时针旋转90?得到直线l,直线l与反比例函数错误未找到引用源。的图象的一个交点为A(a,3),试确定反比例函数的解析式( 难度分级A类 参考答案解:依题意得,直线l的解析式为y=x( 因为A(
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