最新人教版高中数学必修4-3向量数乘运算及其几何意义(教、学案)优秀名师资料.doc
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1、人教版高中数学必修4-2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教、学案)2.2.3向量数乘运算及其几何意义 一、教学内容分析 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别:向量的平行要与平面中直线的平行区别开。 二、教学目标设计 1(掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算; 2(理解两个向量平行的充要
2、条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 3(通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想。 三、教学重点与难点 重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量平行的充要条件; 难点:理解实数与向量的积的定义,向量平行的充要条件。 四、教学用具准备 多媒体、实物投影仪 五、教学流程设计 情境设置 向量平数乘向 行的充量的运引入定义 要条件 算律 运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题) 六、教学过程设计 1(设置情境: 引入:位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系,位移
3、与速度的关系F =ma。这些公式都是实数与向量间的关系。 svt= 师:我们已经学习了向量的加法,请同学们作出和向量,()()()-+-+-aaaaaa+并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化,这些变化与哪些因素有关, 生:的长度是的长度的3倍,其方向与的方向相同,()()()-+-+-aaaaaa+aa的长度是长度的3倍,其方向与的方向相反。 aa师:很好本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,(板书课题:实数与向量的乘积) 2(探索研究 1)定义: 请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积,(可结合教材思考) 可根据小学算术中的解释,类比规定:实数与向量的积就33
4、33335+= a是,它还是一个向量,但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。 aa实数与向量的积是一个向量,记作. 它的长度和方向规定如下: aa(1). |a=a(2)时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;0a0aaa特别地,当或时,. =0a=0a=02)运算律: 问:求作向量和(为非零向量)并进行比较,向量与向量2(3)a2()ab+6a22ab+a相等吗,(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较) 生:,. 2(3)6aa=222()abab+=+师:设、为任意向量,、为任意实数,则有: ab(1); (2); (3). ()()a=a()ab+=+ab()+=+aa
5、a通常将(2)称为结合律,(1)(3)称为分配律。 小练习1: 计算:(1); (2); (3)4- a3()2()ababa+-(3). (23)(32)abcabc+-+3)向量平行的充要条件: 请同学们观察,回答、有何关系, amn=-bmn=-+22ab生:因为,所以、是平行向量. ba=-2ab引导:若、是平行向量,能否得出,为什么,可得出吗,为什么, b=aa=bab生:可以因为、平行,它们的方向相同或相反. ab师:由此可得向量平行的充要条件:向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一ba个实数,使得. b=a对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数,使,则由实数与向量乘
6、积定义中第(2)条可知与平b=aba行,即与平行. ba|b 其二,若与平行,且不妨令,设(这是实数概念)(接下来看、a?0baab=|a方向如何:?、同向,则,?若、反向,则记,总而言之,存在b=ab=-aabab实数(或)使. =-b=aAE小练习2:如图:已知,试判断与是否平行( ADAB=3DEBC=3AC解:? AEADDEABBCABBCAC=+=+=+=333()3AE ?与平行. AC4)单位向量: 单位向量:模为1的向量. 向量()的单位向量:与同方向的单位向量,记作. aa?0aa01思考:如何用来表示, () aaa= |aaaa= 000|aA3(例题与练习: 题1:如
7、图,在中,是的中点,是DABEABCBCD延长线上的点,且,是根据下列要求表示向量BEBC=2: DEEBC题1(1) 用、表示; (2)用、表示. BABCCACB:如图,在中,已知、分别是、的中点,用向量方法证明:题2MABABCNAC1 MNBC/2AC1NBMC1BAC1OA题 2题 3 B题3:如图,已知,求证:? ABCOAkOA=OBkOB=OCkOC=ABC111111练习: P145 1、2、3、4 4(课堂小结: (1)与的积还是向量,与是共线的; aaa(2)向量平行的充要条件的内容和证明思路,也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题
8、型问题; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 5(作业布置: 练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5. P89习题3 B组 2、3. 6(拓展思考题: 设、是两个不共线向量,已知,若、ABABamb=+2CBab=+3Cab三点共线,求的值。 m七、教学建议与说明 1(从实际问题出发引入新课,不但展示了教学的主要内容,而且还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系,位移与速度的关系等实际问题F =masvt= 引入实数与向量的积。 2(实数与向量的三个运算律,为了降低难度课本上没有证明,可以结合图形给学生直观解释,程度好的学生可以适当指
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