最新概率知识点总结-数学一优秀名师资料.doc
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1、概率知识点总结-数学一?1 随机事件及其运算1.1. “随机试验”是指试验的结果都具有同等发生的可能性吗? 所谓“随机试验”, 是相对于“确定性试验”而言的,它是指一个试验可以在答:不是的.相同条件下重复进行, 而且每次试验的结果事先不能预言(出现上述错误看法的原因, 往往是把“随机”两字理解为“机会均等”( 1.2. A、B、C为任意三事件, 是否可以推出 (A+B)-C=A+(B-C), 答:不可以推出(如掷一颗骰子试验, 观察出现的点数, 记事件A=2, B=点数小于4, C=偶数, 有 ,故 (A+B)-C?A+(B-C)( 产生这种错误的原因往往是想当然, 不假思索把数的运算律用到事
2、件的运算中来.1.3. A、B为任意二事件, 是否有A+B-A=B, 答:不是. 若AB?, 则 A+B-A=(A+B)-A .1.4.事件的和、差运算是否可以“去括号”或交换运算次序, 如 B+(A-B)=B+A-B=B-B+A=,+A=A( 答:不可以(设事件A、B关系如图, 显然应有 B+(A-B)=A+B( 1.5.事件的运算是否可以“移项”, 如由 A+B=C , A=C-B, A-B=D , A=B+D( 答:不可以(但是增加一些条件便可以移项了(有下述结果: (1) 若AB=, 且A+B=C, 则A=C-B; (2) 若 , 且A-B=D, 则A=B+D( 1.6.若A=B, 则
3、A、B为同一事件, 对吗? 答:不对(举一反例说明:两个灯泡串联, 记A=A灯亮, B=B灯亮,因为A不发生必导致B不发生,故; 又B不发生必导致A不发生因此A=B, 但A、B ,并非同一事件. 1.7.若A=B, 则A、B同时发生或A、B同时不发生, 对吗? 答:对. 1.8.“事件A、B都发生”与“A、B都不发生”是对立事件吗? 答:不是的. 1.9. A, A, , A构成完备事件组, 当且仅当同时满足 12n(1)A+A+A=; 12n(2)AAA=,. 上述说法对吗? 12n答:不对.因为AAA=与A, A, A互不相容不等价. 12n12nC两两互不相容”与“ ABC=”是不是一回
4、事?并说明它们的联系.1.10.“事件A、B、,答:不是一回事. “两两互不相容”-其中任意两个事件无公共部分,即AB=, AC=, , BC=,同时成立”; “ ABC=,”-三事件A、B、C无公共部分. 可能的联系是: “两两互不相容” ,“ ABC=,”, 反之则未必成立. 1.11.设A、B为两事件, (1) 若AB=A+B, 则A与B应满足什么关系; (2) 若,则A与B应满足什么关系. 答:(1) 由知, 又互不相容, 从而有: .故, 从而有;仿上述推导可得, 从而有; 于是得A=B. (2) 由有 , . 上述两式表明A与B是互为对立事件,即 ?2 概率的定义 2.1.判断:
5、P(A)=P(B)的充要条件是A=B. 答:错误. 事实上, 由A=B可以推出P(A)=P(B), 但P(A)=P(B) 不能推出A=B.例如在掷币试验中, 记A=正面朝上, B=反面朝上,我们已知P(A)=P(B)=1/2, 但显然A?B. B互不相容, 则求A、B同时发生的概率是否可用公式: 2.2.若A、. 答:不可以. 对任意两个事件, 第一个等号成立, 第二个等号也成立, 但第三个等号是不成立的.因为若A、B互不相容, 一般是不互斥的(除非A=, B=; 或A=, B=,). 故. 总的说来, 当A、B互不相容时, 完全没有必要去建立什么求P(AB)的公式, 因为这时一定有 P(AB
6、)=P()=0. 2.3.P(A)=0的充要条件是A=, 对吗? 答:不对. 因为A=,可以推出P(A)=0, 故A=,是P(A)=0的充分条件, 但非必要条件 (即由P(A)=0不能推出A=,). 如连续型随机变量, 在某个点取值的概率为0, 但这个随机变量取这个值这个事件却不是不可能事件. 2.4.P(B)=1的充要条件是B=,对吗? 答:不对.道理同第2.3.题. 2.5.若P(ABC)=0, 是否可以推出: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). 答:不可以. 对任意事件A、B、C,恒有 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(
7、ABC). 当且仅当A、B、C两两互不相容时才有 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). 现由题设P(ABC)=0, 并不能推出A、B、C两两互不相容, 因此原命题不成立.2.6.若A、B互不相容, 则是否有P(A-B)=P(A)-P(B). 答:不成立. 我们可以证明, 对任意两个事件A、B,恒有 P(A-B)=P(A)-P(AB) 对上式, 若A、B互不相容, 并不能推出P(AB)=P(B), 从而知原命题不成立.2.7.对于任意两个事件A、B, 恒有P(AB)?P(A)+P(B), 等号当且仅当A、B都不发生时成立, 上述结论是否正确? 答:上述结论的前一半是正确的,但后一半是
8、不正确的.事实上, 由概率的加法定理P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)?0, 则 P(AB)?P(A)+P(B). 但是,显然, 等号当且仅当P(A+B)=0时成立. 因为,当A、B都不发生时, A、B至少一个发生是不可能的, 即A+B=, 故P(A+B)=0. 反之, 当P(AB)=P(A)+P(B)时, 则P(A+B)=0, 由此并不能推出一定有A+B=,(即A、B都不发生). 综合上述, 知原命题不成立. 2.8.设A、B、C为三个事件, 满足条件: P(AB)=P(A)P(B), . 证明: P(AC)?P(A)P(C). 证明: 由知, 又 ,可得A、B、C三事件之间的关系
9、如图所示.从而有, 且AB与互 不相容, 于是 . 2.9.对于古典概型,因为样本空间中的基本事件没有顺序,因此计算基本事件总数时,只能用组合而不能用排列, 上述说法正确吗? 答:不正确. 首先要指出,问题本身的提法是含糊的. 以同时掷两枚硬币的试验为例,它的基本事件是:e=正, 正,e=正, 反,e=反, 正,e=反, 反. 所谓1234“基本事件没有顺序”是指e、e、e、e没有顺序,还是指“正”与“反”没有顺序,1234此其一.古典概型与排列组合有什么必然联系,此其二. 不少学生有一个错误的看法,似乎计算古典概型的概率必须用排列组合,不需排列组合计算的概率就一定不是古典概型。更有甚者,把概
10、率论与排列组合等同起来,这些都是不正确的. 2.10.下列解法正确与否, 8个足球队中,有2个强队,先任意将8个队分为两组(每组4个队)进行比赛.这两个强队被分在一个组内的概率是多少, 解: 两个强队要分在一组,只要从剩下的6个队中任取2个队和这两个强队拼成一组就行了,共有种方法,故所求的概率为. 答: 不正确. 产生错误的原因是分子分母所在的样本空间不一致,事实上分子:一种分组法是一个基本事件; 分母:每4个队的一种组合是一个基本事件. 2.11.已知P(A)=0.8, P(A-B)=0.2, 求 .答:(2/5. 提示,由此推出 1-P(B|A)=1/4, 再利用.) 2.12.甲、乙二人
11、进行一种游戏, 规则如下: 每掷一次(均匀的)硬币, 正面朝上时甲得1分乙得0分; 反面朝上时甲得0分乙得1分; 直到谁先得到规定的分数为赢, 赢者获奖品. 当游戏进行到甲还差2分、乙还差3分就分别达到规定的分数时, 因故游戏停止. 问此时如何分奖品给甲、乙才算公平. 答:为了确保公平, 设想把游戏进行到能分出输赢为止. 在所得到的各种可能结果中看甲赢和乙赢的这两个事件所包含的基本事件个数各是多少, 按甲、乙所赢的概率之比分奖品是公平的. 为了能分出输赢还要掷硬币2+3-1=4次(少于4次, 有些情形分不出输赢), 所有可能4结果即基本事件总数为2=16, 这些基本事件的发生是等可能的. 甲赢
12、即正面朝上至少2次, 甲赢的这个事件包含的基本事件个数为 , 故P(甲赢)=11/16. 乙赢即反面朝上至少3次, 乙赢的有利场合数为 , 故P(乙赢)=5/16. 按11:5分奖品, 对甲乙二人是公平的 ?3 条件概率及全概率公式3.1.对任意两个事件A、B, 是否恒有P(A)?P(A|B). 答:不是. 有人以为附加了一个B已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P(A)?P(A|B), 这种猜测是错误的. 事实上,可能P(A)?P(A|B), 也可能P(A)?P(A|B), 下面举例说明. 在0,1,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令 A=抽到一数字是3
13、的倍数; B=抽到一数字是偶数; B=抽到一数字大12于8, 那么 P(A)=3/10, P(A|B)=1/5, P(A|B)=1. 因此有 P(A),P(A|B), P(A),121P(A|B). 23.2.以下两个定义是否是等价的. 定义1. 若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B相互独立.定义2. 若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称A、B相互独立.答:不是的.因为条件概率的定义为 P(A|B)=P(AB)/P(B) 或 P(B|A)=P(AB)/P(A) 自然要求P(A)?0, P(B)?0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说
14、,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的. 事实上, 若P(A)=0由0?P(AB)?P(A)=0可知P(AB)=0故 P(AB)=P(A)P(B). 因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化. 3.3.对任意事件A、B, 是否都有 P(AB)?P(A)?P(A+B)?P(A)+P(B). 答:是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*) 因为 P(AB)?0, 故 P(A+B)?P(A)+P(B). 由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0?P(B|A)?1,故 P
15、(AB)?P(A); 同理P(AB)?P(B), 从而 P(B)-P(AB)?0, 由(*)知 P(A+B)?P(A). 原命题得证. 3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么? 答:概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别: P(A|B)的计算基于附加样本空间; BP(B|A)的计算基于附加样本空间; AP(AB)的计算基于原有样本空间. 3.5.在n个事件的乘法公式: P(AAA)=P(A)P
16、(A|A)P(A|AA)P(A|AAA) 12n121312n12n-1中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及P(AAA)0呢? 12n-1答:按条件概率的本意, 应要求P(A)0, P(AA)0, , P(AAA)0, P(AAA)0. 11212n-212n-1事实上, 由于AAAAAAAAA, 从而便有P(AAA) 123n-2123n-2n-112n-2 ?P(AAA)0. 这样, 除P(AAA)0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概12n-112n-1率, 如P(AAA) 0, , P(AA) 0, P(A)0便是题设条件P(AAA)0的自然12n-212112
17、n-1结论了. 3.6.计算P(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.答:不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于A,A,A的结构. 事实12n上, 对于具体问题, 若能设出n个事件A, 使之满足 i(*) 就可得 (*) .这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式. 因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(*)式, 而要有(*)式, 关键又在于适当地对进行一个分割, 即有(*)式. 3.7.设P(A)?0, P(B)?0, 因为有 (1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独
18、立. (2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容. 故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确. 答:不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命, 有其一就可以了)只能推出在P(A)?0, P(B)?0的前提下, 事件A、B既互不相容又题独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例. 5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记A=第i次取到新球, i=1, i2, 3. 因为是无放回抽取, 故A、A、A互相不独立, 又
19、AAA=三次都取到新球, 显123123然是可能发生的, 即A、A、A可能同时发生, 因此A、A、A不互不相容.1231233.8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B “独立”与“互不相容”又有什么区别和联系? 答:“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” ?“互不相容”, 反之未必成立. 至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了然.事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生,是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示.事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(
20、A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)时, 称A、B是相互独立的. 它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B互不相容” ?“A、B不独立”. 其等价命题是: 在P(A)0与P(B)0下, 则有“A、B独立” ?“A、B不互不相容”(相容). 注意, 上述命题的逆命题不成立. 3.9.设A、B为两个事件,若 0P(A)1, 0P(B)1. (*) 则A、B相互独立, A、B互不相容, , 这三种情形中的任何两种不能同时成立. 答:在条件(*)下 当A、B相互独立时, 有 P(AB)=P(A)P(B); 当A、B互不相容时, 有 P(AB)P(A)P(B). 在
21、条件(*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此, A、B相互独立, A、B互不相容,这三种情形中的任何两种不能同时成立. 此结论表明: 在条件(*)下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容,也不一个包含另一个,而只能是相容了. 3.10.证明: 若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立. 答:若P(A)=0, 又, 故0?P(AB)?P(A)=0. 于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立. 若P(A)=1, 则.由前面所证知,与任何事件B相互独立. 再由 事件独立性的性质知, 与B相互独立, 即A与B相互独立.另种方法证明: 由P(A)=1
22、知, 进而有 .又且AB与互不相容, 故 .即A与B相互独立. 3.11.设A、B是两个基本事件, 且0P(A)0, , 问事件A 与B是什么关系? 解1由已知条件可得 . 由比例性质, 得 . 所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立. 解2由 得 . 因而 . 又 , 所以 P(B|A)=P(B). 因此事件A与B相互独立. 小概率事件决不会成为必然事件. 3.12.是不是无论什么情况,答:不是的. 我们可以证明, 随机试验中, 若A为小概率事件, 不妨设P(A)=(0,1为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为1. 事实上, 设A
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