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1、浅谈在初中数学教学中学生发散性思维能力的培养发散思维是一种不依常规,寻求多变,多方面寻求答案的思维。这种思维方法要求从一个目标或思维起点出发,沿着不同方向,顺应各个角度,提出各种设想,寻求各种解题途径去分析和解决问题。发散性思维的流畅性、变通性和独特性可以有效地拓展学生的思维广度和深度,是进行发明创造所不可缺少的思维品质。 美国心理学家J?S?布鲁纳认为,要培养具有发明创造才能的科技人才,不但要使学生掌握科学的基本概念、基本原理和基本方法,而且要发展学生对待学习的探索性态度。而发散性思维就是通过多问、多思、多变等方式方法,引导学生从不同角度、不同思路去探索、思考问题。教师在教学过程中通过有目的
2、、有意识地提供培养学生发散思维的时间和空间,通过对问题的发散、条件结论的变换、图形的迁移变换、解题思路和知识应用等方面训练,指导学生不拘泥狭隘的解题思路,突破单一的思维模式,允许学生、鼓励学生敢于在分析问题中突破陈规,大胆设想,独特见解,标新立异,培养思维的独创性。徐利治教授指出:任何一位科学家的创造力,可用如下的公式来估计:创造能力=知识量发散思维能力。由此可见,发散性思维能力对培养人的发展和成才有着至关重要的作用。 在数学教学中重视和运用发散思维,有利于教师创设良好的课堂教学情景,教师通过一题多解、一题多变、一图多用的方式方法提出各类问题,激发学生的好奇心和求知欲。当学生在教师引导下,带着
3、积极的情感去学习思考时,他们的思维就更加活跃,学生的智力活动就能得到充分的施展。当学生的无意知觉和有意知觉趋于和谐时,就能创设最融恰、最顺畅的课堂气氛,获得最佳的学习效果。 在数学教学中重视和运用发散思维,可以突破消极的思维定势,打破习惯性的思维程序。因为数学教学中从概念的分析、理解,公式、定理的初步应用,首先必须让学生形成一种思维定势,并且必须通过巩固练习强化这一思维定势的积极作用。教师如果在教学中不及时、有效地通过思维的发散训练去矫正,就会形成学生思维的呆板和单向性,沿用一个固定的思路去分析思考问题,只会模仿制作不会发明创造。思维定势所表现出来的惰性就会造成学生认知结构的简单化;只有知识点
4、的堆积,而缺少知识点的联系,只有感性的片面、零星、局部的知识,而没有全面的、完整的知识体系,最终形成学生数学学习的思维障碍。 在数学教学中重视和应用发散思维,更有利于知识的纵向和横向的联系,拓宽学生知识面。知识是思维的对象,无知或少知,学生的思维便难于发散;能力是思维的结晶,多思广想,多疑善解,学生的思维就会闪耀出探新与独创的智慧火花。提出一个问题,要求学生从不同角度、不同方位快速联想,使学生从“知识点”发展到“线和面”乃至整个数学空间。对数学命题的变换和延伸有如枝叶蔓衍、纵横交错,有助于学生达到举一反三、触类旁通的数学境界,达到教师对学生既要“授之以鱼”,更要“授之以渔”的真正目的。 首先发
5、散性思维是变通的,因此,在教学过程中,对一些有代表性问题的解决,教师要充分利用学生学过的基础知识和基本技能,调动一切做题手段,从各个侧面论证同一命题的真实性。通过分析比较,让学生知道哪种方法灵活巧妙,具有思维的敏捷、灵活性和流畅性;哪种方法呆板沉繁,具有思维的局限性。教师要通过一题多解的分析训练,让学生在普遍性中寻求规律性,融数形结合等数学思想于一体,优化解题方法、拓宽解题思路的广度和深度。 例1:已知?ABC,AB=AC,D是底边BC上任意一点,DE?AB于E,DF?AC于F,BG是AC边上的高,求证:DE+DF=BG(如图?) 分析提问: ?这是属于哪一类题型的几何证明题?(线段和差问题)
6、 ?常用证明方法是什么?(截长补短法) ?可采用怎样的方法来证?(添加辅助线) ?怎样添加辅助线?(过D点画DH?BG) ?需要运用哪些性质来证明?(全等三角形性质和矩形性质)这样从学生实际出发,由易到难循序渐进地教给学生分析问题、解决问题的基本思维方法。 ?还有别的添线方法吗?(引导学生思维简单发散求异,分析出过B点作FD的垂线交FD延长线于K。 在学生掌握了分析问题的基本方法后,教师应引导学生从不同角度、不同方向探索思路,抓住各部分知识点的联系及方法间的联系,一题多解、发散求异。?DE、DF、BG分别是?ABD、?ACD和?ABC中的什么线段?(高)三角形的高与什么有关?(面积)那么你能用
7、面积法证明吗??BDE、?CDF、?BCG又是什么三角形?(直角三角形),?B与?C有怎样数量关系?(相等)直角三角形的边与角有怎样的关系?(三角函数关系)那么你是否能运用三角函数性质证明结论? 这样发散性分析、引导,融几何知识、面积公式、三角函数等数学知识于一体,既培养了学生发散性思维的变通性、灵活性,又对培养学生分析问题思维创新、解决问题方法创新有良好的效果。 x,1x,15,, 例2:解方程:x,1x,12分析: ? 这是一个什么方程?(二次根式方程) ? 常规的解法是什么?(两边平方去根号法) ? 这题左边有几个根号?(两个) ? 常规处理该怎样做?(把一个根号移到右边,然后再两边平方
8、) ? 这题的两个根号有什么特点?你能否看出来?(通过仔细观察后,发x,1x,1现根号内的代数式是互为倒数),那么与是否也互为倒数?x,1x,1(是)为什么? ? 那么解这题时该选择怎样的方法?(两边直接平方法)为什么? (因为两个互为倒数的积为1,乘积项不含根号,因此一次平方就可以去根号)。 在学生掌握了常规的解法后,教师可以引导学生挖掘题目的隐含条件,思维发散求异,寻求更好、更简捷的解法。 ?题中左边两个根式是何关系?(互为倒数)若设其中一个为y,则另一1个可以怎样表示?()那么原二次根式方程可以转化为一个怎样的方程?(含y字母y的分式方程),这是运用了什么方法解题?(换元法),你能做吗?
9、 ?在以上的观察中,我们已经发现方程左边是两个互为倒数的和,那么右5边的是否有一定的特殊性呢?(让学生观察、思考,短时间内多数学生不会2511理解成2+),教师再引导,的整数部分是几?(2)。分数部分呢(),那2221么2与是什么关系?(互为倒数,学生思维活跃通顺了)既然方程左边的代2数式和右边的数都是两个互为倒数的和;那么左边的代数式与右边的数之间又1x,1x,1有怎样的关系呢?(引导学生得出原方程与=2或=同解)。这样的x,1x,12解法与前两种相比谁优谁劣显而易见,学生的思维活动和学习兴奋点达到了高潮。数学解题的简洁美在这里得到了充分的展现。 当素质教育要求课堂教学以思维为核心,培养学生
10、的思维品质和思维习惯,实现知识向智慧转化时,一题多解的发散性思维以其独有的变通性,启发学生在解题的过程中不断探索新的方法,寻找新的途径,从而去发现和创造。因此,一题多解的发散性思维训练。既沟通了不同部分的知识和方法间的联系,又开拓了解题思路,对于开发学生的智力潜能有着不可低估的作用。 发散性思维又是流畅的。在数学教学过程中,一些表面看来一般但内涵却十分丰富的问题,是一个可以发展和发掘的问题。教师要通过精心策划、设计、组织学生主动地参与到“知识生产”的过程中去。教师要尽力施展自己潜在的发散性思维能力,启发引导学生进行纵、横向的拓展,使之成为学生思维发展的发散源,让学生在一题多变中开阔思路、提高能
11、力,在变化条件、发散结论、改变形式、转换背景、适时引申中使题目具有开放性和幅射性,通过解一题,带一片,强化知识的正迁移。 例3:如图?,当?ABC是顶角为钝角的等腰三角形时,你能画出图形,证明题给的结论吗?(腰上的高在形外,对学生画图、看图、识图,增加了难度) ?如图?,在矩形ABCD中,AD=12,AB=5,P是AD上任意一点,PE?AC于E,PF?BD于F,则PE+PF =?(98全国初数竞赛题)(让学生观察分析实质是在等腰三角形ACD中求解,思维又深化了一个层次) ?如图?,若D是底边BC延长线上一点,则DE、DF、BG三个线段有怎样的数量关系?(让学生画图、观察、猜想,然后证明) ?如
12、?图,若P是正?ABC内任意一点,PE?BC于E,PF?AB于F,PG?AC于G,则PE+PF+PG与?AH有什么样的数量关系?(97年全国初中数学竞赛题)。(启发引导学生通过添加辅助转化为等腰三角形的问题,思维层次进一步深化) ?又如例2的变式训练: 2xx,315,,2?解方程 x32x,1x,1x,1252534?解方程(提高了解题的难度) ,,,x,1x,1121234x,1x,13,?解方程(与例2相区别) x,1x,1211?你能归纳出一类形如方程的一般解法吗?(让学生总结规x,,a,xa律) 11(这里巧妙运用等式?你是否还能通否适当的变形解方程x,,a,x,1a,1性质两边加上
13、“-1”是学生始料不及的,只有通过有目的的思维逐步深化才能发现比用常规解法的运算简洁了很多。因此学生对学习的收获也就会意外的惊喜,在这里数学的魅力和价值得到了真正的体现) 。 象这样的一题多解和一题多变,教师引导学生在“发散中求异”,在“发现中求同”。既培养了发散性思维,又培养了归纳思维能力,让学生真正领略解一题,有多法;做一题懂一类,触类旁通、举一反三。数学的知识就会转化为学生智慧的结晶。 只要教师精心设计,加强对课本上例、习题和数学命题的变换、延伸和拓展,有如枝叶蔓延,纵横交错,既可丰富学生的表象贮备,扩大思维的流畅性,又能促使学生知识综合运用能力的提高。只要不离开问题,发散的面越大越好,
14、使学生对原问题的认识更加深刻,知识间的联系就会得到强化,思维的创造性素质必将得以发展。 因此,教师在平时的教学实践中,培养学生的发散性思维贵在精心设计,把学生的思维引入求新、求异的天地,激发学生的认知兴趣和创造欲望,就能让学生尝到发现、创造和成功后的喜悦。思维的深度和广度就会得到良好的培养发展。 发散性思维更具有独特性,因此,教师在平时的数学教学中,对一些构思巧妙,版条件隐蔽的问题的解决,教师要指导学生在熟练掌握常规思维方法的同时,探索一些不同寻常的非常规解法。如数形结合法、构造法、代换法等。如例1的面积证法和三角函数证法,例2的同解性方法等都是很好的范例。 21例4:已知方程 的两个实根都在
15、-1x,x,m,02和1之间,求m的取值范围。 分析:学生根据习惯性思维求出两个根,列出如114m,,,1,1,2下不等式组:初中学生直接解题肯定会,1,1,4m,1,12,有很大困难。 但教师只要引导学生把方程的“根”与抛物线与x轴“交点”联系起来,由方程问题转化为二次函数问21题来解决。构造的二次函数,画出草图y,x,x,m2(如图?),结合图像分析可得出结论,当x=-1时,y0和当x=1时,y0,21,(,1),(,1),0m2,2111解得。 得下列不等式组,,m,1,0m,2216,1,4,0m4,通过运用非常规方法解题的教学,学生的思维得到了独特的发散,学会了用前所未有的新角度、新
16、观点去解决数学问题,既克服了思维定势的束缚和知识的负迁移,又培养了思维的灵活性。 因为发散性思维在思维内容上具有流畅性、变通性、深刻性;在思维方向上具有逆向性、横向性和多向性,所以,发散思维对推广问题、引伸知识等方面具有积极开拓作用。对例、习题的条件进行发散,一方面可以提高数学问题的层次,另一方面又可以暴露学生的思维层次,具有举一反三的作用。 例5(浙义教数学第六册P136例1) 如图?,ABC中,?ACB=Rt?,CD?AB于D,若AD=2cm,DB=6cm,求CD的长? 可改编为:在RtABC中,?ACB=Rt?,CD?AB于D,试给出两个条件,以确定CD的长。 然后让学生边给条件,边计算
17、,既刺激了学生的求知欲,变被动练习为主动练习,又激发了学生的学习兴趣。持之以恒,学生对数学学习会产生一种愉悦的心情。 而结论的发散则要求学生根据条件,尽可能多得确定未知元素,并求解这些未知元素。这一过程充分暴露了发散性思维的深度和广度。 例6(浙义教数学第四册P33例) 如图?,已知:在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形。 可改编为:任意画出一个四边形,顺次连接四边中点,观察所得的图形是什么四边形?并给以证明。 在教师的引导下,先让学生画矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊图形,通过画图观察变化探求规律,从而发现结论。再引导学生画
18、任意四边形,一般梯形、对角线相等的四边形、对角线互|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越快;相垂直的四边形、对角线既相等又互相垂直的四边形,再让学生通过画图猜想转化论证。 (1)一般式:这种改编题目条件或结论方法,充分运用了变化的观点,不断变换问题情景,使知识纵横变通,纵深发展,思维的灵活性、深刻性得到充分的体现,是3、思想教育,转化观念端正学习态度。运用发散性思维提高学生数学能力的好方法。 综上所述,教师在数学教学中注重对学生发散性思维能力的培养训练,能9.直角三角形变焦关系:有效地突破思维定势的局限性,思维重现了以往记忆和储存的信息。通过变换、(1
19、)三边之间的关系:a2+b2=c2;延伸、多思、多问、多解,纵横联系,互为贯通,使学生的思维活动向数学学点在圆内 dr;科的各个分支发散,发现和创造解决数学问题的最优方法或独特方法。学生在发散性思维三大特征的启迪下,不断创造出解决数学问题的新见解、新方法。圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。在别开生面、巧妙新颖、合理简捷的解题思路和方法的研究探索中,思维活动当a0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。不断发展创新,自主学习意识不断增强,学习效率不断提高。发散性思维对学生创新意识和创造能力培养的功效和价值就能得到充分体现。数学教学就能为培养更多、更好的创新人才服务。 (4)直线与圆的位置关系的数量特征:参考文献: 1、美杰克R?富兰克尔发展学生思维能力的教学训练技巧 2、戴再平数学习题理论 1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法,降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点,学生掌握比较慢,但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的:数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中,孩子们喜欢用什么方法不统一要求,自己怎么快怎么算,但是要介绍这些方法。3、中国著名特级教师教学思想录中学数学卷江苏教育出社
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