最新相交线与平行线-全章知识点归纳及典型题目练习优秀名师资料.doc
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1、1515 相交线与平行线知识点梳理汇总相交线与平行线知识点梳理汇总 一、知识结构图一、知识结构图 余角 余角补角 补角 角两线相交 对顶角 同位角 三线八角内错角 同旁内角 平行线的判定 平行线 平行线的性质 尺规作图 二、基本知识提炼整理二、基本知识提炼整理 (一)余角与补角(一)余角与补角 1、如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余,称其中一个角是另 一个角的余角。 2、如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补,称其中一个角是另 一个角的补角。 3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角,它们只与角的度数有关,与角的位置 无关。 4、余角和补角的性质:同
2、角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。 5、余角和补角的性质用数学语言可表示为: (1)则(同角的余角或补角相等)。 0000 1290 (180 ), 1390 (180 ), 23 相交线与平行线 (2)且则(等角的余角 0000 1290 (180 ),3490 (180 ), 14, 23 (或补角)相等)。 6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。 (二)对顶角(二)对顶角 1、两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角。 2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。 3、对顶角的性质:对顶角相等。 4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用
3、非常广泛,它是证明两个角相等的依据及重要 桥梁。 5、对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。 (三)同位角、内错角、同旁内角(三)同位角、内错角、同旁内角 1、两条直线被第三条直线所截,形成了 8 个角。 2、同位角:两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一 对角叫做同位角。 3、内错角:两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对 角叫做内错角。 4、同旁内角:两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一 对角叫同旁内角。 5、这三种角只与位置有关,与大小无关,通常情况下,它们之间不存在固定的大小
4、关系。 (四)六类角(四)六类角 1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角 、同旁内角六类角都是对两角来说的。 2、余角、补角只有数量上的关系,与其位置无关。 3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系,与其数量无关。 4、对顶角既有数量关系,又有位置关系。 (五)平行线的判定与性质(五)平行线的判定与性质 平行线的判定平行线的性质 1、 同位角相等,两直线平行 2、 内错角相等,两直线平行 3、 同旁内角互补,两直线平行 4、 平行于同一条直线的两直线平行 5、 垂直于同一条直线的两直线平行 1、两直线平行,同位角相等 2、两直线平行,内错角相等 3、两直线平行,同旁内角互补 4、经过直线外
5、一点,有且只有一条直线与 已知直线平行 (六)尺规作线段和角(六)尺规作线段和角( (了解了解) ) 1、在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法,通常叫基本作图。 3、尺规作图中直尺的功能是: (1)在两点间连接一条线段; (2)将线段向两方延长。 4、尺规作图中圆规的功能是: (1)以任意一点为圆心,任意长为半径作一个圆; (2)以任意一点为圆心,任意长为半径画一段弧; 5、熟练掌握以下作图语言: (1)作射线; (2)在射线上截取=; (3)在射线上依次截取=; (4)以点为圆心,为半径画弧,交于点; (5)分别以点、点为圆心,以、为半
6、径作弧,两弧相交于点; O D CB A (6)过点和点画直线(或画射线) ; (7)在的外部(或内部)画=; 6、在作较复杂图形时,涉及基本作图的地方,不必重复作图的详细过程,只用一句话概 括叙述就可以了。 (1)画线段=; (2)画=; 第五章 相交线与平行线 (分节知识点) 5.1.15.1.1 相交线相交线(详见课本第 2 页) 1、相交线的概念:在同一平面内,如果两条直线只有一个 点, 那么这两条直线叫做相交线相交线,公共点称为两条直线的交点交点。 如图所示,直线 AB 与直线 CD 相交于点 O。 2、对顶角的概念:若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延 长线,那么这两个角叫
7、做对顶角对顶角。 如图所示,1 与3、2 与4 都是对顶角。 3、对顶角的性质:对顶角对顶角 。 4、邻补角的概念:如果把一个角的一边 延长,这条反向延长线与这个角的另 一边构成一个角,此时就说这两个角互为邻补角邻补角。 如图所示,1 与2 互为邻补角,由平角定义可知12180。 5.1.25.1.2 垂线垂线(详见课本第 3 页) 1、垂线的概念:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是 角时,就说 这两条直线互相 ,其中一条直线叫做另一条直线的 ,它们的交点叫做 。 2、垂线的性质 (1) (垂线公理)性质 1:在同一平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有 条 直线与已知直线垂直,即过一
8、点有且只有过一点有且只有 条直线与已知直线条直线与已知直线 。 (2) (垂线推理)性质 2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。即 垂线段最垂线段最 。 3、点到直线的距离:直线外一点到这条直线的 线段的长度,叫做点到直线的点到直线的 4 3 2 1 A BC D O 2 1 OCB A A B C D 1 图图 2 2 图图 1 1 。 4、 垂线的画法(工具:三角板或量角器) 画法指点画法指点:一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上, 二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上, 三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。 5.1.35.1.3 同位角、内
9、错角、同旁内角同位角、内错角、同旁内角(详见课本第 6 页) 1、三线八角、三线八角 两条直线被第 条直线所截形成 个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内 角。如图 6,直线被直线 所截ba,l 1 与5 在截线 的同侧,同在被截直线的上方,叫做 角角(位置相同)lba, 同位角是“F”型 5 与3 在截线 的两旁(交错) ,在被截直线之间(内) ,lba, 叫做 角角(位置在内且交错)内错角是“Z”型 5 与4 在截线 的同侧,在被截直线之间(内) ,lba, 叫做 角角。同旁内角是“I”型 2、如何判别三线八角、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线
10、” , 有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看, 有时又需要把图形补全。如图 温馨提示:温馨提示:在确定同位角、内错角、同旁内角时,先要弄清哪 两条直线被哪一条直线所截,然后依据它们的定义,也可由它们的名字的提示,准 确找到所需要的角。同学们要注意:并不是同位角、内错角就相等,同旁内角就互补, 而只有当这两条直线平行时,才会有这个性质。 5.2.15.2.1 平行线平行线(详见课本第 11 页) 1、 平行线的概念:在同一平面内,不 的两条直线叫做平行线平行线。 2、两条直线的位置关系、两条直线的位置关系 6 B AD 23 4 5 7 8 9 F E C 图 7 DC BA 在同一
11、平面内,两条直线的位置关系只有两种: ; 。 (通常把 的两直线看成一条直线).垂直是特殊的相交关系。 判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定: 3、平行线的表示方法 平行用“ ”表示,如图 8 所示,直线AB与直线CD平行,记作ABCD, 读作AB 平行于CD。 4、平行线的画法: 5、平行线的基本性质 (1)平行公理:经过直线 一点,有且只有 条直线与已知直线 。 (2)平行推理:如果两条直线都和第 条直线平行,那么这两条直线也 。 如左图 8 所示 5.2.25.2.2 平行线的判定平行线的判定(详见课本第 12 页) 1、平行线的判定判定方法: (1)判定
12、1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等, 那么这两条直线平行。简称: 同位角同位角 ,两直线,两直线 (2)判定 2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等, 那么这两条直线平行。简称: 内错角内错角 ,两直线,两直线 (3)判定 3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补, 那么这两条直线平行。简称: 同旁内角同旁内角 ,两直线,两直线 (4)平行线的概念:如果两条直线没有交点(不 ) ,那么两直线平行。 (5)两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线 。 (平行于同一条直线的两 条直线也 ) (6)在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线 。 (垂直于同
13、一条直线的两条直线 ) 5.3.15.3.1 平行线的性质平行线的性质(详见课本第 18 页) 1、平行线的性质性质: (1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。简记:两直线两直线 ,同位角,同位角 。 (2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。简记:两直线两直线 ,内错角,内错角 。 (3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。简记:两直线两直线 ,同旁内角,同旁内角 。 2、两条平行线的距离、两条平行线的距离 直线 ABCD,EFAB 于 E,EFCD 于 F,则称线段 EF 的长度为两平行线 AB 与 CD 间的距离。 3平行线的性质性质与判定判定是互逆的关系互逆的关系: a
14、 b c AB CD E F 1 2 3 4 图图 8 8 两直线平行 同位角相等; 两直线平行 内错角相等; 两直线平行 1 2 3 同旁内角互补。 5.3.25.3.2 命题、定理命题、定理(详见课本第 20 页) 1、命题的概念: 一件事情的语句,叫做命题命题。 2、命题的组成:每个命题都是 、 两部分组成。 (1)题设是 事项; (2)结论是由已知事项 的事项。 3、命题的表述句式:命题常写成“ , ”的形式。具有这种形式的 命题中,用“如果”开始的部分是 ,用“那么”开始的部分是 。 4. 命题的真假:正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题。 5. 定理:经过推理得到的真命题称为
15、定理。 5.45.4 平移平移(详见课本第 28 页) 1、平移变换的概念:把一个图形 沿某一 方向移动,会得到一个新图形的平 移变换。 2、平移的特征:大小: ; 形状: ; 位置: ; 对应点 的连线: 且 。 (1)经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对 应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。 (2)经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。 3.平移作图:平移作图的依据是平移的特征,其关键是确定平移后对应点的位置,并且 在作图时要注意平移的方向和距离 【考点例析考点例析】 一、概念型考题一、概念型考题 主要考察相交线和平行线的定义、
16、性质、定理,常以选择题为主要题型 例 1如图 1,下列条件中,不能判断直线的是( ) 1 2 (A)1=3(B)2=3(C)4=5 (D)2+4=1800 AD BECF 图图 7 7 2 1 34 5 1 2 图 1 分析:本例可用平行线的判定方法采用排除法 使问题得以解决 A 中1 与3 为内错角,1=3 可得; 1 2 C 中4 与5 是两个相等的同位角,可得; 1 2 D 中2 与4 是两个互补的同旁内角,可得 1 2 只有 B 不能确定 答案:应选(B) 点评:本题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理的理解与运用情况 二、计算型考题二、计算型考题 主要考察平行线的性质;互余、互补
17、角的性质,常以填空题为主要题型; 例 2如图 2,,分别在上,为两平行线间一点,那么abMN,ab,P ( )123 ABCD180270360540 分析:此题考查平行线的性质. 点 P 为两平行线间折线的拐点, 可过此点作 a 或 b 的平行线,并证明与 b 或 a 平行,从而可利用平 行线的性质求解. 此题也可延长 MP 与直线 b 相交,从而可利用三 角形的外角的性质及平行线的性质求解.此类题的解题思路是添加 辅助线,构造两平行线间的截线,或构造三角形,再利用有关图形 的性质证明求解. 解:过点 P 作 PAa,则180180=360,所以选择 123 C。 点评:本题虽然是选择题型,
18、它重点考查学生运用平行线的性质、互余、互补角的 性质等知识通过简单的推理计算来解决问题的 三、说理型考题三、说理型考题 例 3小明到工厂去进行社会实践活动时,发现工人师傅生产了一种如图 3,所示的 零件,工人师傅告诉他:ABCD,A=40,1=70,小明马上运用已学的数学知识 得出了C 的度数,聪明的你一定知道C= 分析:分析:本题源于生活实际问题,但考生可借助平行线的性质定理 和 三角形内角和定理,由此可获得两种解题思路 解:方法 1:连结 AC,由 ABCD,得BAC+ACD=180, 从而ECD=180-40-(180-70)=30 方法 2:过 E 作 EFAB,由平行线的性质定理,得
19、 BAE=AEF,DCE=FEC,从而DCE=1-A=70-40=30 点评:点评:本题主要运用了平行线的性质定理和三角形内角和定理,借助于添加辅助线 的方法,将问题转化为可解问题,今后同学们经常会遇到这种带有“折线” 、 “拐角”类 E B A CD F 1 图 3 a b M P N 1 2 3 图 2 的题目,解决这类问题,必须要掌握“平移”与“分割”的思想,解决问题的办法有二: 一要连结线段,构成三角形,然后运用三角形内角和定理;二是过“拐点”作平行线将 一个角分成两个角,然后再运用平行线的性质定理,问题便自然得到解决,但解本题时, 还要注意找准“内错角” ,否则容易出错! 四、操作画
20、图型四、操作画图型 例 4一学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后(如图 4),行驶的方向与原来的方 向相同,这两次拐弯的角度可能是( ) A. 第一次向左拐 300,第二次向右拐 300 B. 第一次向右拐 500,第二次向左拐 1300 C. 第一次向右拐 500,第二次向右拐 1300 D. 第一次向左拐 500,第二次向左拐 1300 分析:解决本题的关键是准确地画出示意图,如图 10: 答案:应选 A. 点评点评:本题单纯从文字方面去分析,很难判断出结果,若画出上述图形来分析,结 果 是显然的,本题属于操作画图型中考题 五、开放创新型五、开放创新型 主要考察学生的探究能力,常以解答题为
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