最新线性代数知识点总结()优秀名师资料.doc
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1、线性代数知识点总结(免费)1、行列式 n221. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式; n!nn2. 代数余子式的性质: ?、和的大小无关; Aaijij?、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; A?、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为; ijij,MAAM,(1)(1) 3. 代数余子式和余子式的关系:ijijijijD4. 设行列式: nnn(1),2DDD,(1)将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则; D11nn(1),2DD,(1)D将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则; D9022D将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则; DDD,
2、33D将主副角线翻转后,所得行列式为,则; DDD,445. 行列式的重要公式: ?、主对角行列式:主对角元素的乘积; nn(1),2, ,(1)?、副对角行列式:副对角元素的乘积; , ?、上、下三角行列式():主对角元素的乘积; nn(1),2, ,(1) ? ?、和:副对角元素的乘积; AOACCAOAmn?、拉普拉斯展开式:、 (1),AB,ABBOBCCBOB?、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ?、特征值; nnknk,EAS,,,(1)Ak6. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式; Sn,kk1,kA,07. 证明的方法: AA,?、; ?、反证法; Ax,0?、构造齐次
3、方程组,证明其有非零解; ?、利用秩,证明; rAn(),?、证明0是其特征值; 2、矩阵 A1. 是阶可逆矩阵: nA,0,(是非奇异矩阵); ,(是满秩矩阵) rAn(),A,的行(列)向量组线性无关; Ax,0,齐次方程组有非零解; nAxb,,总有唯一解; ,bR0 A与E等价; ,A可表示成若干个初等矩阵的乘积; ,A的特征值全不为0; ,TAA是正定矩阵; ,nRA的行(列)向量组是的一组基; ,nRA是中某两组基的过渡矩阵; ,*A阶矩阵:AAAAAE, 无条件恒成立; 2. 对于n,1*111*TTTT3. ()()()()()()AAAAAA,TTT*111, ()()()A
4、BBAABBAABBA,4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; AB5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆: A,1,A2,若,则: A,As,AAAA,?、; 12s,1,A1,1A,12,?、; A,1,A,s,1,1AO,AO,?、;(主对角分块) ,1OBOB,1,1OA,OB,?、;(副对角分块) ,1BOAO,1,111AC,AACB,?、;(拉普拉斯) ,1OBOB,1,1AO,AO,?、;(拉普拉斯) ,111CB,BCAB,3、矩阵的初等变换与线性方程组 EO,rA1. 一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:; F,mn
5、,,OO,,mnA等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; AB对于同型矩阵、,若; rArBAB()(), , 2. 行最简形矩阵: ?、只能通过初等行变换获得; ?、每行首个非0元素必须为1; ?、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) r,1XA,(,)(,)AEEX A?、 若,则可逆,且; 1 c,1,1AB?、对矩阵做初等行变化,当A变为E时,B就变成,即:; (,)(,)ABEAB , (,)ABr,1(,)(,)AbEx?、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果
6、,则A可逆,且; Axb,nnxAb,4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: ?、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; ,1,2,AAA?、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素; ,ii,n,111,1?、对调两行或两列,符号,且,例如:; EijEij(,)(,),Eij(,)11,11,1,1,1,11,1,?、倍乘某行或某列,符号,且,,例如:; EikEi()()Eik()kk,(0),kk,1,1,111kk,1?、倍加某行或某列,符号,且,如:; EijkEijk()(),Eijk()11(0),k,11,5. 矩阵秩的基本性质: ?、;
7、 0()min(,),rAmnmn,T?、; rArA()(),AB?、若,则; rArB()(),P?、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) rArPArAQrPAQ()()()(),Q?、;() max(),()(,)()()rArBrABrArB,,?、;() rABrArB()()(),,,?、;() rABrArB()min(),(),ABAB,0?、如果是矩阵,是矩阵,且,则:() mn,ns,BAX,0 ?、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论); ?、 rArBn()(),,AB?、若、均为阶方阵,则; rABrArBn()()(),,,n6. 三种特殊矩阵的方幂:
8、 ?、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合,律; 1ac,?、型如的矩阵:利用二项展开式; 01b,001,nnnnmnmmnnnnmmnm0111111,()abCaCabCabCabCbCab,,,, 二项展开式:; ,nnnnnn,0mnn,1 注:?、()ab,展开后有项; nnnmn(1)(1)!,,mn0?、 CCC,1nnn123!()!mmnm,2 n,11mnmmmmrnrr?、组合的性质:CCCCCCrCnC,,, 2; ,,,11nnnnnnnn,0r?、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵: nrAn(), ,*?、伴随矩阵的秩
9、:; rArAn()1()1,0()1rAn,AA*1*, , , ,(,)AXXAAAAXX,?、伴随矩阵的特征值:; ,n,1*1,*AAA,?、 AA,A8. 关于矩阵秩的描述: A?、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话) n,1rAn(),nA?、,中有阶子式全部为0; rAn(),nA?、,中有阶子式不为0; rAn(),nA9. 线性方程组:Axb,,其中为矩阵,则: mn,?、与方程的个数相同,即方程组Axb,有个方程; mm?、与方程组得未知数个数相同,方程组Axb,为元方程; nn10. 线性方程组Axb,的求解: B?、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换
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