最新高一数学必修一必修二各章知识点总结优秀名师资料.doc
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1、数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合 (一)集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性 3.集合的表示:(1)常用数集及其记法(2)列举法(3)描述法 4、集合的分类:有限集、无限集、空集 5. 1.子集、真子集、空集; 2.有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集; 3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. (一)函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.
2、记作: y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域. 定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域. 2.常用的函数表示法及各自的优点: 1解析法:必须注明函数的定义域; 2图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 3列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 优点:解析法:便于算出函数值.列表法:便于查出函数值.图象法:便于量出函数值. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方
3、数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1; (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义 的x的值组成的集合; (6)指数为零底不可以等于零; (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:(以下两点必须同时具备) (1)表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);(2)定义域一致. 求函数值域方法 :(先考虑其定义域) (1)函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域,它
4、是求解复杂函数值域的基础. (3)求函数值域的常用方法有:直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等. 2. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x, y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据. (2) 画法:描点法;图象变换法 常用变换方法有三种
5、:平移变换;对称变换;*伸缩变换. 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 4.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f(对应关系):A(原象集)B(象集)” 对于映射f:AB来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象. 5.
6、分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数; (2)各部分的自变量的取值情况; (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. (二)函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)定义 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 定义的变形应用:如果对任意的
7、12,x x D ,且21x x 有0)()(1 212-x x x f x f 或者2121()()()0fx fxxx -,则函数)(x f 在区间D 上是增函数;如果对任意的12,x x D ,且21x x 有2121 ()()0f x f x x x -或者2121 ()()()0f x f xxx -,则函数)(x f 在区间D 上是减函数. 注意:函数的单调性是函数的局部性质. (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数
8、单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x 1,x 2D ,且x 11,且n N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n . 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,? ? =n N n m a a a n m n m ,)1,0(11* =-n N n m a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r s r s a a a +?=(0,)a r s R ;(2)()r s r s a a =),0(R s r a ;(3)()r r r a b ab =(0,)a r
9、 R . (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念: 一般地,函数) 1,0(=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2.指数函数的图象和性质 (1)在a ,b上,)1a 0a (a )x (f x =且值域是)b (f ),a (f (a1)或 ) a (f ), b (f (0a=且,总有a )1(f =. 二、对数函数 (一)对数的概念: 一般地,如果N a x =)1,0(a a ,那么数x 叫做以.a 为底.N 的对数, 记作:N x a log =(a 底数,N 真数,N a log
10、对数式) 说明:1 注意底数的限制0a ,且1a ;2 x N N a a x =?=log . 两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N ?log N (二)对数的运算性质 如果0a ,且1a ,0M ,0N ,那么: 1 M a (log 2=)N M a log +N a log ; 2 =N M a log M a log -N a log ; 3 n a M log n =M a log )(R n . 注意:换底公式 a b b c c a log lo
11、g log = (0a ,且1a ;0c ,且1c ;0b ). 利用换底公式可得下面的结论: (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1 log =. (三)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log =a x y a ,且)1a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+). 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别. 如:x y 2log 2=,5 log 5x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制:0a ,且1a . 21.幂函数定义:一般地,形如 x y =)(
12、R a 的函数称为幂函数,其中为常数. 2.幂函数性质归纳: (1)所有的幂函数在(0,+)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)当0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0+上是增函数.特别地,当1时,幂函数的图象下凸;当1 0时,幂函数的图象上凸; (3)当00,方程02 =+c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有 两个零点. (2)=0,方程02 =+c bx ax 有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有 一个二重零点或二阶零点. (3)0,方程02=+c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. 二
13、、函数的应用 解答数学应用题的关键有两点: 一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题归纳为相应的数学问题; 二是要合理选取参变数,设定变元后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数、方程、不等式等数学模型;最终求解数学模型使实际问题获解. 数学必修2各章知识点总结 第一章 空间几何体 1 2三视图定义:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图斜二
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