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1、高一数学必修二知识点总结教学高一数学必修二知识点总结1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱ABCDE,ABCDE AD几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的
2、边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 P,ABCDE表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 P,ABCDE表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:?上下底面是相似的平行多边形 ?侧面是梯形 ?侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:?底面是全等的圆;?母线与轴平行;?轴
3、与底面圆的半径垂直;?侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:?底面是一个圆;?母线交于圆锥的顶点;?侧面展开图是一个扇形。(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:?上下底面是两个圆;?侧面母线交于原圆锥的顶点;?侧面展开图是一个弓形。(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:?球的截面是圆;?球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视
4、图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;,俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法特点:?原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; ?原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 h(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线) 1S,chS,rlS,2,rhS,ch 圆锥侧面积直棱柱侧面积圆柱侧正棱锥
5、侧面积21 S,(r,R),lS,(c,c)h圆台侧面积12正棱台侧面积222,S,2,rr,l, S,rr,l S,,r,rl,Rl,R圆柱表圆锥表圆台表(3)柱体、锥体、台体的体积公式 2112VSh,VShrh, VSh,V,rh柱圆柱锥圆锥3311122,,,,,VSSSShrrRRh()() VSSSSh,,()圆台台3332434,R(4)球体的表面积和体积公式:V= ; S=,R球球面34、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ? 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ? 平面的表示:通常用希腊字母、表示,如平面(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的
6、字母来表示,如平面BC。 A,A,A,? 点与平面的关系:点A在平面内,记作;点不在平面内,记作,点与直线的关系:点A的直线l上,记作:A?l; 点A在直线l外,记作Al;,直线与平面的关系:直线l在平面内,记作l;直线l不在平面内,记作l。,(2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 AlBlABl,用符号语言表示公理1: (3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公
7、理2及其推论作用:?它是空间内确定平面的依据 ?它是证明平面重合的依据(4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面和相交,交线是a,记作?,a。 PABABlPl,:,符号语言: 公理3的作用: ?它是判定两个平面相交的方法。 ?它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。?它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ? 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ? 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ? 异面直线判定:过平面
8、外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ? 异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a?a,b?b,则把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0?,90?,若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明:(1)判定空间直线是异面直线方法:?根据异面直线的定义;?异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关。 ?求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。 B、
9、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内有无数个公共点( 三种位置关系的符号表示:a a?,A a? ,(9)平面与平面之间的位置关系:平行没有公共点;? 相交有一条公共直线。?,b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行 ,线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行线线
10、平行 ,(2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行?面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行?面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行?线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行?线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ?两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所
11、成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ?线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ?平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ?线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ?面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。性质定理:如果两个平
12、面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ,?两平行直线所成的角:规定为。 0?两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。一锐角三角函数b平行的直线?两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,,a,b,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 推论2:直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径;(2)直线和平面所成的角 ,090?平面的平行线与平面所成的角:规定为。 ?平面的垂线与平面所成的角:规定为。?平面的斜线与平面所成
13、的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 函数的取值范围是全体实数;求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。7、每学完一个单元的内容,做到及时复习,及时考核,这样可以及时了解学生对知识的掌握情况,以便及时补差补漏。在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ?二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条
14、直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 的图象可以由yax2的图象平移得到:(利用顶点坐标)?二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ?直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ?求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角点在圆上 d=r;垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直
15、角坐标系 ,OBCDDABC,(1)定义:如图,是单位正方体.以A为原点, ,x轴.y轴.z轴分别以OD,OA,OB的方向为正方向,建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 经过同一直线上的三点不能作圆.1)O叫做坐标原点 2)x 轴,y轴,z轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 6、增加动手操作的机会,使学生获得正确的图形表象,正确计算一些几何形体的周长、面积和体积。(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角(3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示,有序实数组(,)xyz叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作(x叫做点M的横坐标,(,)xyzMxyz(,)y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标) 推论:平分一般弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。222(4)空间两点距离坐标公式: d,(x,x),(y,y),(z,z)212121
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