江苏专版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十六圆锥曲线中的最值范围证明问题201.doc
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1、课时达标检测(四十六)圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1已知椭圆E:1(ab0)的一个焦点为F2(1,0),且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点Q(2,0),过点F2作直线l与椭圆E交于A,B两点,且,2,1,以QA,QB为邻边作平行四边形QACB,求对角线QC长度的最小值解:(1)由题易知c1,1,又a2b2c2,解得b21,a22,故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l:xky1,由得(k22)y22ky10,4k24(k22)8(k21)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得y1y2,y1y2.(x1x24,y1y2),|2|216,由此可知
2、,|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2,(y1y20)从而,由2,1得,从而2,解得0k2.令t,则t,|28t228t1682,当t时,|QC|min2.2已知椭圆C:1(ab0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)解:(1)由已知可得解得a26,b22,所以椭圆C的标准方程是1.(2)证明:由(1)可得,F的坐标是(2,0),设T点的坐标为(3,m),则直线TF的斜率kTFm.当m0时,直线PQ的斜率kPQ,直线
3、PQ的方程是xmy2.当m0时,直线PQ的方程是x2,也符合xmy2的形式设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m23)y24my20,其判别式16m28(m23)0.所以y1y2,y1y2,x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中点M的坐标为,所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.3(2018南通模拟)已知中心在原点,焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F1,F2的距离之和为4,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线ykx1与曲线C交于A,B两点,求OAB面积的取值范围解:(1
4、)设椭圆的标准方程为1(ab0),由条件知,解得a2,c,b1,故椭圆C的方程为x21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k24)x22kx30,故x1x2,x1x2,设OAB的面积为S,由x1x20,知S1|x1x2|2,令k23t,知t3,S2.对函数yt(t3),知y10,yt在t3,)上单调递增,t,0,0S.故OAB面积的取值范围为.二、重点选做题1(2018丹阳期初)过离心率为的椭圆C:1(ab0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,设|FA|FB|,T(2,0)(1)求椭圆C的方程;(2)若12,求ABT中AB边上中线长的取值范围解:(1)e
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