最新高中数学(文科)基础知识整合优秀名师资料.doc
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1、高中数学(文科)基础知识整合学数学,上数学培优网! 高中数学(文科)基础知识整合 第一部分 集合 1(理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值,还是因变量的取值,还是曲(线上的点, ; 2(数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数(问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;是任何集合的子集,是任何非空集合的真,子集。 nnn3(1)含n个元素的集合的子集数为2,真子集数为2,1;非空真子集的数为2-2; (2) 注意:讨论的时候不要遗忘了的情况; A,A,B,A:B,A,A:B,B;)。 (
2、3C(A:B),(CA):(CB);C(A:B),(CA):(CB)IIIIII第二部分 函数与导数 1(映射:注意 ?第一个集合中的元素必须有象;?一对一,或多对一。 2(函数值域的求法:?分析法 ;?配方法 ;?判别式法 ;?利用函数单调性 ; 22a,ba,b?换元法 ;?利用均值不等式 ; ?利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意ab,22xcosx义等);?利用函数有界性(、等);?导数法 asinx3(复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:? 若f(x)的定义域为,a,b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式a?g(x)?b解出? 若fg(x)的定义域为a,b,求 f
3、(x)的定义域,相当于x?a,b时,求g(x)的值域。 y,fg(x)u,g(x)y,f(u)(2)复合函数单调性的判定:?首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;?分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;?根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 y,f(u)u,g(x)注意:外函数的定义域是内函数的值域。 4(分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5(函数的奇偶性?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; (f(,x)f(x)?是奇函数; ,f(,x),f(x),f(,x),f(x),0,1f(x)f(,x)f(x)?是偶
4、函数 ; ,f(,x),f(x),f(,x),f(x),0,1f(x)f(x)f(0),0?奇函数在原点有定义,则; ?在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; (6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性; 6(函数的单调性 ,x,x,M,x,xf(x)?单调性的定义:在区间上是增(减)函数当时M1212- 1 - 学数学,上数学培优网! f(x),f(x)12,0(,0); f(x),f(x),0(,0),(x,x)f(x),f(x),0(,0)121212x,x12?单调性的判定定义法:注意:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利
5、于判断符号;?导f(x),f(x)12数法(见导数部分);?复合函数法(见2 (2);?图像法。 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7(函数的周期性 x(1)周期性的定义:对定义域内的任意,若有 (其中为非零常数),则称函数为周期f(x,T),f(x)f(x)T函数,为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小T正周期。 (2)三角函数的周期 ?y,sinx:T,2, ;?y,cosx:T,2, ;?y,tanx:T,;?,2,y,tanx:T,sin(),cos(): ;?; y,Ax,y,Ax,T,|,|,|?函数周期的判定:?定义法(试值
6、) ?图像法 ?公式法(利用(2)中结论) ?与周期有关的结论:?f(x,a),f(x,a)或f(x,2a),f(x)(a,0) f(x)的周期为;?y,f(x)的2a,图象关于点(a,0),(b,0)中心对称f(x)周期2;?y,f(x)的图象关于直线x,a,x,b轴对称f(x)a,b,周期为2; a,by,f(x)(a,0)f(x)?的图象关于点中心对称,直线轴对称周期4; x,ba,b,8(基本初等函数的图像与性质 ,xy,xy,a(a,0,a,1),R)?幂函数: ( ;?指数函数:; y,logx(a,0,a,1)y,sinx?对数函数:;?正弦函数:; a2 ;(6)正切函数:y,
7、tanx;?一元二次函数:; ?余弦函数:ax,bx,c,0y,cosxk1y,kx(k,0)?其它常用函数:?正比例函数:;?反比例函数:y,(k,0);特别的y,,函数xxay,x,(a,0); x22f(x),ax,bx,cf(x),a(x,h),k(h,k)9(二次函数:?解析式:?一般式:;?顶点式:,为顶点;?零f(x),a(x,x)(x,x)点式: 。 12?二次函数问题解决需考虑的因素:?开口方向;?对称轴;?端点值;?与坐标轴交点;?判别式;?两根符号。- 2 - 学数学,上数学培优网! ?二次函数问题解决方法:?数形结合;?分类讨论。 10(函数图象?图象作法 :?描点法(
8、注意三角函数的五点作图)?图象变换法?导数法 ?图象变换: ? 平移变换:?,左“+”右“-”; y,f(x),y,f(x,a)(a,0)?上“+”下“-”; y,f(x),y,f(x),k,(k,0)? 伸缩变换: 1?, (纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍; y,f(x),y,f(,x),0),?, (横坐标不变,纵坐标伸长为原来的倍; y,f(x),y,Af(x)A,0)A(0,0)y,0? 对称变换:?;?; y,f(x)y,f(,x)y,f(x)y,f(x),1x,0y,xy,f(x)? y,f(x)y,f(,x); ?y,f(x); ,? 翻转变换: ?y,f(x),y,f(|x|
9、)右不动,右向左翻(f(x)在左侧图象去掉); yx?y,f(x),y,|f(x)|上不动,下向上翻(|f(x)|在下面无图象); 11(函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数y,f(x)图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明函数y,f(x)与y,g(x)图象的对称性,即证明y,f(x)图象上任意点关于对称中心(对称轴)的y,g(x)对称点在的图象上,反之亦然; 注:?曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C方程为:f(2a,x,2b,y)=0; 12?曲线C:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C方程为:f(2a,x, y
10、)=0; 12?曲线C:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=,x+a)的对称曲线C的方程为f(y,a,x+a)=0(或f(,y+a,x+a)=0);?f(a+x)=f(b12a,b,x) (x?R),y=f(x)图像关于直线x=对称; 2特别地:f(a+x)=f(a,x) (x?R),y=f(x)图像关于直线x=a对称; a,b?函数y=f(x,a)与y=f(b,x)的图像关于直线x=对称; 2f(x),012(函数零点的求法:?直接法(求的根);?图象法;?二分法. fx,,x,fx()()0013(导数 ?导数定义:f(x)在点x处的导数记作; ,y,fx,0()limx,x00,x,
11、0,xnn,1(x),nx(sinx),cosx?常见函数的导数公式: ?C;?;?; ,0- 3 - 学数学,上数学培优网! 1xxxx(cosx),sinx(a),alna(e),e?;?;?;?(logx); ,axlna1,uuv,uv 。?导数的四则运算法则:, ?(lnx),u,v,u,vuv,uv,uv,();();();2xvv?导数的应用:?利用导数求切线:注意:?所给点是切点吗,?所求的是“在”还是“过”该点的切线,?利,用导数判断函数单调性:? 是增函数; f(x),0,f(x),? 为减函数;? 为常数; f(x),0,f(x)f(x),0,f(x), ?利用导数求极值
12、:?求导数;?求方程的根;?列表得极值。 f(x)f(x),0?利用导数最大值与最小值:?求的极值;?求区间端点值(如果有);?得最值。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 ,180,1(?角度制与弧度制的互化:弧度,,弧度,弧度,() ,1801,57181180,112?弧长公式:;扇形面积公式:。 S,R,Rll,R22,2(三角函数定义:角中边上任意一点为(x,y),设|OP|,r则: Pyyx, sin,cos,tan,xrr3(三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4(诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”; ,k,k,,(,0)(k,Z)5(?y
13、,Asin(,x,,)对称轴:;对称中心:; 2x,k,,k,2?y,Acos(,x,,)对称轴:;对称中心:; (,0)(k,Z)x,sinx226(同角三角函数的基本关系:; sinx,cosx,1;,tanxcosxsin(,),sin,cos,cos,sin,;7(两角和与差的正弦、余弦、正切公式:? ,tan,tan,tan(,),cos(,),cos,cos,sin,sin,;? 。 1,tan,tan,8(二倍角公式:?; sin2,2sin,cos,2tan2222,tan2,?cos2,cos,sin,2cos,1,1,2sin,;?。 21,tan,1cos2,1cos2,
14、,122*降幂公式: ,. sin,sincossin2;cos;,222abc9(正、余弦定理?正弦定理,2R(是外接圆直径) 2R,ABCsinAsinBsinC- 4 - 学数学,上数学培优网! 注:?;?;?a,2RsinA,b,2RsinB,c,2RsinCa:b:c,sinA:sinB:sinCabca,b,c,。 sinAsinBsinCsinA,sinB,sinC222bca,,222cosA,?余弦定理:等三个;注:等三个。 a,b,c,2bccosA2bc11110。几个公式:?三角形面积公式:; S,ah,absinC,p(p,a)(p,b)(p,c),(p,(a,b,c
15、),ABC222abcS2,ABC,;外接圆直径2R= ?内切圆半径r=sinAsinBsinCa,b,c11(已知时三角形解的个数的判定: a,b,A其中h=bsinA,?A为锐角时:?ah时,无解; C ?a=h时,一解(直角);?hab时,,一解(锐角)。 A 第四部分 立体几何 1(三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为22:1。 2(表(侧)面积与体积公式: ?柱体:?表面积:S=S+2S;?侧面积:S=;?体积:V=Sh 2,rh侧底侧底1?锥体:?表面积:S=S+S;?侧面积:S=;?体积:V=Sh: ,rl侧底侧底31,(r,r)l?台体:?表面积:S=S+SS;?侧面积
16、:S=;?体积:V=(S+)h;?球体:SS,S侧上底下底侧3423,?表面积:S=4,R;?体积:V=R 。 33(位置关系的证明(主要方法): ?直线与直线平行:?公理4;?线面平行的性质定理;?面面平行的性质定理。 ?直线与平面平行:?线面平行的判定定理;?面面平行线面平行。 ,?平面与平面平行:?面面平行的判定定理及推论;?垂直于同一直线的两平面平行。 ?直线与平面垂直:?直线与平面垂直的判定定理;?面面垂直的性质定理。 ?平面与平面垂直:?定义-两平面所成二面角为直角;?面面垂直的判定定理。 4.求角:(步骤-?。找或作角;?。求角) ?异面直线所成角的求法:?平移法:平移直线,构造
17、三角形; ?补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。 ?直线与平面所成的角:?直接法(利用线面角定义);?先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin。 ,- 5 - 学数学,上数学培优网! ?二面角的求法:?定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解; 6(结论:?从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若?AOB=?AOC,则点A在平面?BOC上的射影在?BOC的平分线上;?立平斜公式(最小角定理公式):?正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为cos,cos,cos,;12,则Scos=S; ,侧底A 222,?长方体的性质?长方体体对角
18、线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则:cos+cos+cos=1;,222,sin+sin+sin=2 。 ,222,?长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos+cos+cos=2;,222,sin+sin+sin=1 。 ,a?正四面体的性质:设棱长为,则正四面体的: 6261h,aaa? 高:;?对棱间距离:;?相邻两面所成角余弦值:;?内切球半径:;外接球半径:321236a; 4第五部分 直线与圆 xyy,y,k(x,x)1(直线方程?点斜式: ;?斜截式:y,kx,b ;?截距式: ;?两点式:,,1,aby,yx,x11, ;?一般式:Ax,By,C,0,(A,
19、B不全为0)。(直线的方向向量:(B,A),法y,yx,x2121A,B)向量( 2(求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3(两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 l:y,kx,b 111k,k,1l,lk1,k2,b1,b2 有斜率 1212 l:y,kx,b222 l:Ax,By,C,0AB,AB,AA,BB,0 且 不可写成 1111122112124(几个公式 l:Ax,By,C,0BC,BC (验证) 分式 22221221x,x,xy,y,y123123?设A(x,y)、B(x,y)
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