最新高中数学+第1章+三角函数+3+三角函数的诱导公式教学设计+苏教版必修4优秀名师资料.doc
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1、高中数学 第1章 三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式教学设计 苏教版必修41(2.3 三角函数的诱导公式 整体设计教学分析 本节主要是推导诱导公式一、二、三、四、五、六,并利用它们解决一些求解、化简、证明的问题( 本小节介绍的六组诱导公式是后继学习内容的基础,它们主要用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题( 在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识( 本部分内
2、容的重点是六个诱导公式的推导,在公式的推导中,首先确定180?,角、,角的终边与角的终边有何位置关系,找出它们与单位圆交点的坐标,由正弦函数、余弦函数的定义得出结论,另外,运用公式进行一般的化简,实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法,因此它同样属于本课时的重点之一( 公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90?的非负角,但是在推导中却把拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在( 课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角(学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,
3、另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制转化的练习( 三维目标 1(通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想( 2(通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用( 3(进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多1 题归一,提高分析问题和解决问题的能力( 重点难点 教学重点:六个诱导公式的推导及灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等( 教学难点:六
4、组诱导公式的灵活运用( 课时安排 2课时 教学过程第1课时 导入新课 1313投影显示以下问题:sin,_,cos,_,sin,_,cos666655,_,sin(,),_,cos(,),_,sin,_,cos,666677_,sin,_,cos,_. 66学生能马上说出sin、cos的值,对于其他的值可能会有点困难,请仔细观察一下,66其他的角与之间有什么关系吗,你能否将其他角用表示出来, 66推进新课 新知探究 1(2k,,,?,2,的三角函数等于的同名函数值,前面加上一个把看成是锐角时原函数值的符号,口诀是:函数名不变,符号看象限( 32.?,?的三角函数值等于的余名函数值,前面加上一个
5、把看成锐角22时原函数值的符号,口诀是:函数名改变,符号看象限( 这九组诱导公式总的口诀是:奇变偶不变,符号看象限(其中,变与不变是指函数名是否改变,奇偶是指前面是的奇数倍还是偶数倍,当成锐角来看,符号是指等号右边2的正负号( 活动:在初中学习的锐角三角函数值,可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或使用计算器求得(教师可组织学生思考讨论如下问题:0?到90?的角的正弦值、余弦值用何法可以求得;90?到360?的角能否与锐角相联系,通过分析与的联系,引导学生得出解决设问的一种思2 路:若能把求90?,360?)内的角的三角函数值,转化为
6、求有关锐角的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想( 通过分析,归纳得出:如图1. 图1 180?,,?90?,180?,,,180?,?180?,270?,,, , ,360?,,?270?,360?,.,教师引导学生分为锐角和任意角作图分析:如图2. 图2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角与180?,的关系(无论为锐角还是任意角,180?,的终边都是的终边的反向延长线,所以先选择180?,为研究对象(利用图形还可以直观地看出角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P(,x,,y
7、)(由此指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式四: sin(180?,),sin,cos(180?,),cos. 并指导学生写出角为弧度时的关系式: sin(,),sin,cos(,),cos,tan(,),tan. 并进一步引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用( 3 教师引导学生在单位圆中讨论,与的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考任意角和,的终边的位置关系:,角的终边与角的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数(探索、概括、对照公式四的推导过程,由学生自己完成公式二的推导,即 sin(,),sin,cos(,)
8、,cos,tan(,),tan. 教师适时点拨学生注意:无论是锐角还是任意角,公式均成立,并进一步引导学生观察分析公式二的特点,得出公式二的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值( 学生自然会想到,与会有什么关系呢,教师与学生一起讨论,与的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角和,的终边的位置关系:,角的终边与角的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数(探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即 sin(,),sin,cos(,),cos,tan(,),tan. 强调无论是锐角还是任意角,公式均成立
9、( 并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求,角的三角函数值转化为求角的三角函数值( 让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆( 通过观察思考发现以上公式可以用下面一段话来概括: ,k?2(k?Z),,,?的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号( 教师进一步点拨以上公式可简记为: “函数名不变,符号看象限”( 点拨、引导学生注意公式中的是任意角( 应用示例 思路1 例1见课本本节例1. 变式训练 1(利用公式求下列三角函数值: 4 1116(1)cos225?;(2)sin;(3)sin(,);(4)cos(,2 040?)(
10、332解:(1)cos225?,cos(180?,45?),cos45?,; 2113(2)sin,sin(4,),sin,; 333216163(3)sin(,),sin,sin(5,),(,sin),; 33332(4)cos(,2 040?),cos2 040?,cos(6?360?,120?),cos120?,cos(180?,160?),cos60?,. 2点评:由上述例题我们可看出,利用公式一,四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行: 上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法,这是数学中很重要的一种思想方法,教师在学生完成例1后应留出足够的时间让
11、学生思考总结( 2(cos330?等于( ) 1133A. B(, C. D(, 2222答案:C 3(下列各数中,与sin2 007?的值最接近的是( ) 13A. B. 2213C(, D(, 22答案:C cos,180?,,sin,,360?,例2化简:. sin,180?,cos,180?,活动:引导学生认真仔细的观察题目,重点考查学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度(适时地提醒学生注意,利用诱导公式时尽可能将角统一,从而达到化简的目的( 解:sin(,180?),sin,(180?,),sin(180?,),(,sin),5 sin, cos(,180?,),cos,(180?,)
12、,cos(180?,),cos, cos(180?,),cos,sin(360?,),sin, ,cossin所以原式,1. sin,cos,点评:运用诱导公式时首先将负角化为正角. 变式训练 1,2sin290?cos430? 化简:. sin250?,cos790?1,2sin290?cos430?1,2sin,360?,70?,cos,360?,70?,解:, sin250?,cos790?sin,180?,70?,,cos,720?,70?,1,2sin70?cos70?|cos70?,sin70?|, ,sin70?,cos70?cos70?,sin70?sin70?,cos70?,
13、1. cos70?,sin70?思路2 例1化简cos315?,sin(,30?),sin225?,cos480?. 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目(利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分( 解:cos315?,sin(,30?),sin225?,cos480? ,cos(360?,45?),sin30?,sin(180?,45?),cos(360?,120?) 1,cos(,45?),sin45?,cos120? 212,cos45?,,cos(180?,60?) 22212,cos60?,1. 222点评:利用诱导公式化简是进行角
14、的转化,最终达到统一角或求值的目的. 变式训练 tan,2,sin,2,cos,6, 求证:,cos,sin,5,,tan. 分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边( tan,2,sin,2,cos,6,证明:左边, ,cos,sin,5,,6 tan,sin,cos,tansincos,cos,sin,,,cossintan,右边( 所以原式成立( 规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简. 例2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x),1,cosx; (2)g(x),x,sinx. 活动:根据函数奇偶性定义判断函数奇偶性时,可以按以下步骤进行: 先根据解
15、析式确定函数的定义域,判断函数定义域是否关于原点对称( (1)若定义域关于原点不对称,则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数; (2)若定义域关于原点对称,再讨论f(x)和f(,x)的关系( 若f(x),f(,x),则函数是偶函数;若f(,x),f(x),则函数是奇函数( 解:(1)因为函数f(x)的定义域是R,且f(,x),1,cos(,x),1,cosx,f(x),所以f(x)是偶函数( (2)因为函数g(x)的定义域是R,且g(,x),x,sin(,x),x,(,sinx),(x,sinx),g(x),所以g(x)是奇函数( 知能训练 课本本节练习1、2、3. 课堂小结 本节课我们学习了
16、公式一、公式二、公式三、公式四四组公式,这四组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时经常用到,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想( 作业 课本习题1.2 13、14、15. 设计感想一、有关角的终边的对称性 7 (1)角的终边与角,的终边关于原点对称( (2)角的终边与角,的终边关于x轴对称( (3)角的终边与角,的终边关于y轴对称( 二、三角函数的诱导公式应注意的问题 (1),k?2(k?Z),,,?的三角函数值等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐
17、角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限(” (2)公式中的是任意角( (3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值( 基本步骤是:任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2角的三角函数锐角的三角函数三角函数( 即负化正,大化小,化为锐角再查表( 备课资料一、错解剖析 我们在对已知条件等式进行变形时,特别是进行平方变形时,往往不经意间会扩大或缩小角的取值范围,而造成漏解或增解,对于上述情况,一定要注意题目所给条件对角的限制,要将所求得的解进行验证,或检查变形对角的范围有无影响( 12例已知tan(,),a,|cos(,)|,cos,求的值(
18、 cos,,,22错解:?tan(,),a,?tan,a0,?cos0.?是第二象限角( 11又cos(,),cos,, ,241,tan1,a14,1,a?. ,cos,,点评:一个实数的平方不一定是正数,可能是零,因此,本题不能漏掉角的终边在x轴的非正半轴上的情形(而由于tan存在,这就决定了角的终边不在y轴上,即cos2不为零,因此,由tan,a?0,|cos(,)|,cos?0即cos?0,可知角的终边在第二象限或x轴的非正半轴上(若角的终边在第二象限,即cos0时,114,1,a;若角的终边在x轴的非正半轴上,即a,0时,cos,,,cos,,,8 1,1. cos14综合上述两种情
19、况可得,1,a. cos,,,二、备用习题 1(设A、B、C是三角形的三个内角,下列等式成立的是( ) A(cos(A,B),cosC B(sin(A,B),sinC C(tan(A,B),tanC D(tanA,tanB,tanC 2(函数f(x),cosx(x?Z)的值域为( ) 31111A(,1,,,0,1 B(,1,,,1 22223333C(,1,,,0,1 D(,1,,,1 2222523(已知sin,m,则cos的值是( ) 77A(m B(,m 22 D(,1,m C.1,msin,n,,4(化简(n?Z)所得的结果是( ) cos,n,,A(tann B(,tann C(t
20、an D(,tan sin,5,,cos,(设tan(3,),a,则的值为( ) 5sin,cos,,,a,1a,1A. B. a,1a,1,a,1,a,1C. D. a,1a,1sin,k,cos,k,,6(化简:(k?Z)( sin,k,1,,cos,k,1,参考答案:1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.,1. (设计者:郑吉星) 第2课时 导入新课 上一节课我们研究了诱导公式一、二、三、四,现在请同学们回忆一下相应的公式,提问多名学生上黑板默写公式(在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题( 9 推进新课 新知探究 1(若一个角的终边与角的终边关于直线y,x对称,则这两
21、个角具有怎样的数量关系, 2(用已有公式得出,的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式( 2我们借助单位圆探究终边与角的终边关于直线y,x对称的角的数量关系( 教师让学生充分探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y,x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y,x对称的两个点的坐标之间的关系进行推导( 如图1,设任意角的终边与单位圆的交点P(x,y),由于角,的终边与角的12终边关于直线y,x对称,角,的终边与单位圆的交点P与点P关于直线y,x对称,212因此点P的坐标是(y,x),于是,我们有 2图1 sin,y,cos,x,cos(,),y,sin(,),x. 22从而得到公式五: 活
22、动:教师点拨学生将,转化为,(,),从而利用公式三和公式五达到我22们的目的(因为,可以转化为,(,),所以求,角的正余弦问题就转化为222利用公式三接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六( 公式六: 10 结合上一堂课研究公式一,四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括( ?的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把2看成锐角时原函数值的符号( 进一步可以简记为: 函数名改变,符号看象限( 利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化( 公式一,六都叫做诱导公式( 提出问题 学了六组诱导公式
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