最新高中数学三角函数解题技巧和公式已整理优秀名师资料.doc
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1、高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下: 一、关于的关系的推广应用: sin,cos,与sin,cos,(或sin2,)2221、由于故知道,必可推(sin,cos,)(sin,cos,),sin,,cos,2sin,cos,1,2sin,cos,出,例如: sin,cos,(或sin2,)333例1 已知。 sin,cos,求sin,cos,33322分析:由于 sin,cos,(sin,cos,)(sin,,sin,cos,,cos,
2、)2 ,(sin,cos,)(sin,cos,),3sin,cos,sin,cos,sin,cos, 其中,已知,只要求出即可,此题是典型的知sin-cos,求sincos的题型。 2 解:? (sin,cos,),1,2sin,cos,311212sincos()sincos 故: ,333332 sin,cos,(sin,cos,)(sin,cos,),3sin,cos,3313142 ,(),3,,,,3 333339,例2 若sin+cos=m,且tg+ctg=n,则m n的关系为( )。 22222222n,,1m,A(m=n B(m= C( D( 2nnm,分析:观察sin+cos
3、与sincos的关系: 22(sincos)11,,,m, sincos= ,221,tg,ctg,n而: sin,cos,2m,1122,m,,1故:,选B。 2nn,例3 已知:tg+ctg=4,则sin2的值为( )。 1111, A( B( C( D( 242411分析:tg+ctg= ,4,sincos,sincos4,1 故:。 答案选A。 sin2,2sincos,sin2,244例4 已知:tg+ctg=2,求 sin,,cos,44分析:由上面例子已知,只要能化出含sin?cos或sincos的式子,则即可sin,,cos,1根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg=
4、,2,sincos144sincos,,此题只要将化成含sincos的式子即可: sin,,cos,222224444解:=+2 sincos-2 sincos sin,,cos,sin,,cos,2222 =(sin+cos)- 2 sincos ,2 =1-2 (sincos) ,122,() =1- 21 =1, 21 = 2sin,cos,,sincos及tg+ctg三者之间可以互化, 通过以上例子,可以得出以下结论:由于,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通sin,cos,过已知sincos,求含的式子,必须讨论其象限才能得出其结
5、果的正、负号。这是由于,2sin,cos,sin,cos,()=1?2sincos,要进行开方运算才能求出 ,二、关于“托底”方法的应用: 在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含tg(或ctg),与含sin(或cos)的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下: ,sin,3cos例5 已知:tg=3,求的值。 ,2sin,,cos,sin,tg,分析:由于,带有分母cos,,因此,可把原式分子、分母各项除以cos,,“造出”tg,,cos,即托出底:cos,; ,k,,,cos,0解:由于tg,=3 2,sincos,3,tg,33,3,
6、coscos,0 故,原式= ,sincostg,2,12,3,12,,coscos,2,例6 已知:ctg= -3,求sincos-cos=? ,coscos,ctg,分析:由于,故必将式子化成含有的形式,而此题与例4有所不同,式子本身没sin,sin,22sin,,cos,1有分母,为了使原式先出现分母,利用公式:及托底法托出其分母,然后再分子、分,母分别除以sin,造出ctg: 2 数学 2,sincos,cos222,sin,cos,1,sincos,cos,解: 22sin,,cos,coscos2,()2,ctg,ctg,2sinsin分子,分母同除以sin, , 2,cos21,
7、ctg,1,()sin,23(3)6,,, ,251(3),,例7 (95年全国成人高考理、工科数学试卷) ,0,0设, ,x,y,且sinxsiny,sin(,x)sin(,y)22363求:的值 (ctgx,)(ctgy,3)3分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由于,0,0,x,y,,故,在等式两边同除以,托出分母为底,得: sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny22解:由已知等式两边同除以得: sinxsiny,sin(,x)sin(,y)sincos,cossinxsincosy,cossiny363366 ,1,1 sin
8、xsinysinxsiny13cosx,sinxcosy,3siny,14sinxsiny1,(3ctgx,1)(ctgy,3),14 33,(ctgx,)(ctgy,3),14334,(ctgx,)(ctgy,3),333“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于,cossin,ctg,tg,,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底”,通cos,sin,过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。2222sin,,cos,1sin,,cos,而添加分母的方法主要有两种:一种利用,把作为分
9、母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。 acosx,bsinx三、关于形如:的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用: acosx,bsinxsinAcosx,cosAsinx,sin(A,x)可以从公式中得到启示:式子与上述公式有点相似,3 如果把a,b部分变成含sinA,cosA的式子,则形如acosx,bsinx的式子都可以变成含的式sin(A,x)子,由于-1?1, sin(A,x)所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把a当成sinA,b当成cosA,如式3cosx,4sinx子:中,不能设sinA=3,cosA=
10、4,考虑:-1?sinA?1,-1?cosA?1,可以如下处理式子: ,ab22, acosx,bsinx,a,bcosx,sinx,2222a,ba,b,ab22(),(),1由于。 2222a,ba,babsinA,cosA,cosA,1,sinA故可设:,则,即: 2222a,ba,b2222? acosx,bsinx,a,b(sinAcosx,cosAsinx),a,bsin(A,x)A,x无论取何值,-1?sin(A?x)?1, 222222? ,a,ba,ba,bsin(A,x)2222acosx,bsinx? 即:,a,ba,b下面观察此式在解决实际极值问题时的应用: 例1(98
11、年全国成人高考数学考试卷) 2求:函数的最大值为(AAAA ) y,3cosx,sinxcosx333,13,11,1, A( B( C( D( 22112cso2xsinxcos,2sinxcosx,sin2xcosx分析:,再想办法把变成含的式子:22cos21x,22cos22cos1cosx,x,x, 2cos2x,11y,3,sin2x于是: 22331,cos2x,,sin2x 222313,(cos2x,sin2x), 22231312222a,b,则a,b,(),(),1由于这里: 22224 数学 313? y,1,(cos2x,sin2x),222331a2设: sin,c
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