最新高中数学三角函数知识点及试题总结优秀名师资料.doc
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1、高中数学三角函数知识点及试题总结高考三角函数 1.特殊角的三角函数值: 2(角度制与弧度制的互化:3600?2?, 1800?, 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式:l?.r 扇形面积公式:S=l.r ?-是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径 12 4.任意角的三角函数 设?是一个任意角,它的终边上一点p(x,y), r=x2?y2 (1)正弦sin?= yxy 余弦cos?= 正切tan?= rrx (2)各象限的符号: y + y + O + + + sin? cos? tan? 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin2?+ cos2?=1。(2)商数关系: (? 2sin?=
2、tan? cos?2?k?,k?z) 6.诱导公式:记忆口诀:把k?的三角函数化为?的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号 看象限。 ?1?sin?2k?sin?,cos?2k?cos?,tan?2k?tan?k?( ?2?sin?sin?,cos?cos?,tan?tan?( ?3?sin?sin?,cos?cos?,tan?tan?( ?4?sin?sin?,cos?cos?,tan?tan?( 口诀:函数名称不变,符号看象限( ?5?sin?cos?,cos?sin?( ?2?2? ?,6sin?cos?cos?sin?( ?2?2? 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限( 7正弦函数、余弦函
3、数和正切函数的图象与性质 降幂公式: 1+cos?=2cos2 1-cos?=2sin2?2 cos2? 2 1?cos2? 21?cos2? sin2? 2 9(正弦定理 : abc?2R. sinAsinBsinC 余弦定理: a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC. 111三角形面积定理.S?absinC?bcsinA?casinB. 222 1(直角三角形中各元素间的关系: 如图,在?ABC中,C,90?,AB,c,AC,b,BC,a。 (1)三边之间的关系:a2,b2,c2。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A,B,
4、90?; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sinA,cosB,aba,cosA,sinB,,tanA,。 ccb 2(斜三角形中各元素间的关系: 在?ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边。 (1)三角形内角和:A,B,C,。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 abc?2R。 sinAsinBsinC (R为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2,b2,c2,2bccosA;b2,c2,a2,2cacosB;c2,a2,b2,2abcosC。 3(三角形的
5、面积公式: 111aha,bhb,chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高); 222 111(2)?,absinC,bcsinA,acsinB; 222 a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB(3)?,; 2sin(B?C)2sin(C?A)2sin(A?B)(1)?, (4)?,2R2sinAsinBsinC。(R为外接圆半径) (5)?,abc; 4R (6)?,s(s?a)(s?b)(s?c);?s? ?1?(a?b?c)?; 2? (7)?,r?s。 4(解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的
6、问题叫做解三角形(广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等(解三角形的问题一般可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形是斜三角形,则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是: b、c,对应的三个角为A、B、C。 设?ABC的三边为a、(1)角与角关系:A+B+C = ; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a,b < c,b,c < a,c,a > b; (3)边与角关系: 正弦定理 余弦定理 c2 = a2+b2,2bcc
7、osC,b2 = a2+c2,2accosB,a2 = b2+c2,2bccosA; abc; ?2R(R为外接圆半径)sinAsinBsinC b2?c2?a2sinAa它们的变形形式有:a = 2R sinA,。 ?,cosA?2bcsinBb 5(三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换 因为在?ABC中,A+B+C=,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=,cosC;tan(A+B)=, tanC。sinA?BCA?BC?cos,cos?sin; 2222 (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦
8、定理,余弦定理。 r为三角形内切圆半径,p为周长之半。 (3)在?ABC中,熟记并会证明:?A,?B,?C成等差数列的充分必要条件是?B=60?;?ABC是正三角形的充分必要条件是?A,?B,?C成等差数列且a,b,c成等比数列。 四(【典例解析】 题型1:正、余弦定理 ?15(2009岳阳一中第四次月考).已知?ABC中,AB?a,AC?b,a?b?0,S?ABC?,4?a?3,b?5,则?BAC? ( ) A.( 30 B (?150 C(150 D( 30或150 答案 C 例1(1)在?ABC中,已知A?32.00,B?81.80,a?42.9cm,解三角形; (2)在?ABC中,已知
9、a?20cm,b?28cm,A?400,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm)。 例2(1)在?ABC 中,已知a ?cB?600,求b及A; (2)在?ABC中,已知a?134.6cm,b?87.8cm,c?161.7cm,解三角形 解析:(1)?b2?a2?c2?2accosB =2?2?2?cos450 =12?2?1) =8 ?b? 求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ?0?0 b2?c2?a21解法一:? cosA?, ?A?600. 2bc2(2)由余弦定理的推论得: b2?c2?a287.82?161.72?134.62 c2?a2?b2134.62?161.72?
10、87.82 ?0.5543, cosA?A?56020?;?0.8398, cosB? ?B?32053?; ? ?90047.C?1800?(A?B)?1800?(56020?32053) 例3(在?ABC中,sinA?cosA? 的面积。 nA的值和?ABC,AC?2,AB?3,求ta2 ?sinA?cosA?2cos(A?45?)? 1?cos(A?45?)?.2 ?2,2 ? 又0?A?180, ?A?45?60?,A?105. ?tanA?tan(45?60?)?22?6. 4 sinA?sin105?sin(45?60?)?sin45?cos60?cos45?sin60? S?AB
11、C? 112?63AC?ABsinA?2?3?(?)。 2244 AC的值等于 , cosA例4(2009湖南卷文)在锐角?ABC中,BC?1,B?2A,则 AC的取值范围为. 答案 2(2,) 解析 设?A?,?B?2?.由正弦定理得 ACBCACAC?,?1?2. sin2?sin?2cos?cos? 由锐角?ABC得0?2?90?0?45, ? 又0?180?3?90?30?60,故30?45? , ?cos?2?AC?2cos? 例5(2009浙江理)(本题满分14分)在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ?A?且满足cos?,AB?AC?3( 2 (I)求?ABC的面
12、积; (II)若b?c?6,求a的值( ?34A2A?cosA?2cos?1?,sinA?解 (1) 因为cos?,又由AB?AC?3 2552得bccosA?3,?bc?5,?S?ABC?1bcsinA?2 2 (2)对于bc?5,又b?c?6,?b?5,c?1或b?1,c?5,由余弦定理得 a2?b2?c2?2bccosA? 20,?a? 例6(2009全国卷?理)在?ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2?c2?2b,且sinAcosC?3cosAsinC, 求b 解法一:在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理 a2?b2?c2b2
13、?c2?a2 ?3?c,化简并整理得:2(a2?c2)?b2.又由已知有:a2ab2bc a2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍). 例7(?ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA?2cos 大值,并求出这个最大值。 B+CAB+CA解析:由A+B+C=,得 ,所以有cos =sin 22222 B+CAAAA13cosA+2cos=cosA+2sin =1,2sin2+ 2sin, , 2+ 2222222 A1B+C3当sin = A= 时, cosA+2cos 22322 例8(2009浙江文)(本题满分14分)在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b
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