最新高中数学不等式知识点总结[教育]优秀名师资料.doc
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1、高中数学不等式知识点总结教育选修4-5知识点1、不等式的基本性质 abba,?(对称性) abbcac,?(传递性) abacbc,,,,?(可加性) a,b,c,d,a,c,b,d(同向可加性) a,b,c,d,a,c,b,d(异向可减性) a,b,c,0,ac,bc?(可积性) a,b,c,0,ac,bc abcdacbd,0,0?(同向正数可乘性) ababcd,0,0cd(异向正数可除性) nnababnNn,0(,1)且?(平方法则) nnababnNn,0(,1)且?(开方法则) 1111a,b,0,;a,b,0,abab?(倒数法则) 2、几个重要不等式 22ab,22ab,.a
2、bababR,,2,ab,2,?,(当且仅当时取号). 变形公式:ab,,ababR,,,ab,2?(基本不等式) ,(当且仅当时取到等号).2ab,,ab,.,2abab,,2,变形公式: 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. abc,3,abc,()abcR、,3?(三个正数的算术几何平均不等式)(当且仅当abc,时取到等号). 222abcabbccaabR,,,,,? abc,(当且仅当时取到等号). 333abcabcabc,,3(0,0,0)? abc,(当且仅当时取到等号). ba若则ab,,,0,2ab?(当仅当a=b时取等
3、号) ba若则ab,,,0,2ab(当仅当a=b时取等号) bb,ma,na,1,abmn,000),aa,mb,nb?,(其中 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. 22当时,或axaxaxaxa,0; ?22xaxaaxa,. ababab,,.?绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 222abab,,ab,,11(abR,ab,ab,22,?平均不等式:,当且仅当时取号). ,(即调和平均几何平均算术平均平方平均). 变形公式: 2222abab,,()ab,22ab,;ab,,.,22,2 ?幂平均不等式: 12222aaaaaa,,,.(.).nn1212n ?二维形式的三角不
4、等式: 222222xyxyxxyy,,,,()()(,).xyxyR,112212121122 ?二维形式的柯西不等式: 22222()()()(,).abcdacbdabcdR,,,,adbc, 当且仅当时,等号成立.?三维形式的柯西不等式: 2222222()()().aaabbbababab,,,123123112233 ?一般形式的柯西不等式: 2222222(.)(.)aaabbb,,,(.).abababnnnn12121122 ?向量形式的柯西不等式: ,kk设是两个向量,则当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立. ?排序不等式(排序原理): aaabbb,.,.ccc,
5、.,bbb,.,1212nn12n12n设为两组实数.是的任一排列,则abababacacac,,,.,,ababab.12111122nnnnn,1122nn,(反序和乱序和aaa,.bbb,.12n12n顺序和),当且仅当或时,反序和等于顺序和.?琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) fx()xxxx,(),1212若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有 xxfxfxxxfxfx,()()()()12121212ff()().,或2222则称f(x)为凸(或凹)函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩
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