最新高中数学会考知识点大全优秀名师资料.doc
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1、2013高中数学会考知识大全 第一章 集合与简易逻辑 1、 集合 (1)、定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用 。 (2)、集合的表示法:列举法()、描述法()、图示法(); (3)、集合的分类:有限集、无限集和空集(记作,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集); (4)、元素a和集合A之间的关系:a?A,或; (5)、常用数集:自然数集:N ;正整数集:N;整数集:Z ;整数:Z;有理数集:Q;实数集:R。 2、子集 (1)、定义:A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集 ;记作:, 注意:时,A有两种
2、情况:A,与A? (2)、性质:?、A;?、若,则;?、若则A=B ; 3、真子集 (1)、定义:A是B的子集 ,且B中至少有一个元素不属于A;记作:; (2)、性质:?、;?、若,则; 4、补集 ?、定义:记作:且; ?、性质:,CU(CUA); 5、交集与并集 (1)、交集:且 性质:?、?、若,则 (2)、并集:或 性质:?、?、若,则 6、一元二次不等式的解法:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系) A B 1 不等式解集的边界值是相应方程的解 含参数的不等式ax,b x,c>0恒成立问题含参不等式ax,b x,c>0的解集是R; 其解答分a,0(验证bx,c&g
3、t;0是否恒成立)、a?0(a<0且?<0)两种情况。 7、绝对值不等式的解法:(“,”取两边,“,”取中间) (1)、当时,的解集是,的解集是(2)、当时, (3)、含两个绝对值的不等式:零点分段讨论法:例:、简易逻辑: (1)命题:可以判断真假的语句;逻辑联结词:或、且、非; 简单命题:不含逻辑联结词的命题;复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题; 三种形式:p或q、p且q、非p; 判断复合命题真假: 1、思路:?、确定复合命题的结构, ?、判断构成复合命题的简单命题的真假, ?、利用真值表判断复合命题的真假; 2、真值表:p或q,同假为假,否则为真; p且q,同真为真;非
4、p(2)、四种命题: 2 22 原命题:若p则q; 逆命题:若q则p; 否命题:若则; 逆否命题:若则; 互为逆否的两个命题是等价的。 原命题与它的逆否命题是等价命题。 (3)、反证法步骤:假设结论不成立?推出矛盾?否定假设。 (4)、充分条件与必要条件: 若,则p叫q的充分条件; 若,则p叫q的必要条件; 若,则p叫q的充要条件; 第二章 函数 1、映射:按照某种对应法则f ,集合A中的任何一个元素,在B中都有唯一确定的元素和它对应, 记作f:A?B,若,且元素a和元素b对应,那么b叫a的象,a叫b的原象。 2、函数:(1)、定义:设A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的
5、任意一个数x,集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,就称f:A?B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x), (2)、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;自变量x的取值范围叫函数的定义域,函数值f(x)的范围叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示; (3)、函数的表示法常用:解析法,列表法,图象法(画图象的三个步骤:列表、描点、连线); (4)、区间:满足不等式的实数x的集合叫闭区间,表示为:a ,b 满足不等式的实数x的集合叫开区间,表示为:(a ,b) 满足不等式或的实数x的集合叫半开半闭区间,分别表示为:a ,b)或(a ,b; (5)、求定义域的一般方法:?、整式:全
6、体实数,例一次函数、二次函数的定义域为R; ?、分式:分母,0次幂:底数,例: ?、偶次根式:被开方式,例: ?、对数:真数,例: |x|(6)、求值域的一般方法:?、图象观察法: ?、单调函数:代入求值法: ?、二次函数:配方法:, ?、“对称”分式:分离常数法:?、“一次”分式:反函数法: ?、换元法: (7)、求f(x)的一般方法: ?、待定系数法:一次函数f(x),且满足,求f(x) ?、配凑法:求f(x) xx ,求f(x) ?、换元法:?、解方程(方程组):定义在(-1,0)?(0,1)的函数f(x)满足 3、函数的单调性: (1)、定义:区间D上任意两个值x1,x2,若时有,称f
7、(x)为D上增函数; 若时有,称f(x)为D上减函数。(一致为增,不同为减) (2)、区间D叫函数f(x)的单调区间,单调区间定义域; (3)、判断单调性的一般步骤:?、设,?、作差,?、变形,?、下结论 (4)、复合函数的单调性: m n(2)、分数指数幂:正分数指数幂:;负分数指数幂: am n 0的正分数指数幂等于1,0的负分数指数幂没有意义(0的负数指数幂没有意义); 4 (3)、运算性质:当时:,; 6、对数及其运算性质:(1)、定义:如果,数b叫以a为底N的对数,记作,其中a叫底数,N叫真数,以10为底叫常用对数:记为lgN,以e=2.7182828,为底叫自然对数:记为lnN (
8、2)、性质:?:负数和零没有对数,?、1的对数等于0:,?、底的对数等于1:,?、积的对数:, 商的对数:loga 1 r M , N 1 幂的对数:, 方根的对数:, n 7、指数函数和对数函数的图象性质 5 第三章 数列 (一)、数列:(1)、定义:按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项; 数列是特殊的函数:定义域:正整数集N(或它的有限子集1,2,3,,,n), 值域:数列本身,对应法则:数列的通项公式; (2)、通项公式:数列an的第n项an与n之间的函数关系式;例:数列1,2,,,n的通项公式an= n 1,-1,1,-1,,,的通项公式 ; 0,1,0,1,0,,,的通项
9、公式 (3)、递推公式:已知数列an的第一项,且任一项an与它的前一项(或前几项)间的关系用一个公式表示,这个公式叫递推公式;例:数列 an :,求数列 an 的各项。 (4)、数列的前n项和:; 数列前n项和与通项的关系: (二)、等差数列 :(1)、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。 (2)、通项公式:(其中首项是a1,公差是d;整理后是关于n的一次函数), (3)、前n项和:1(整理后是关于n的没有常数项的二次函数) 或(4)、等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与
10、b的等差中项。即: 说明:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 (5)、等差数列的判定方法: ?、定义法:对于数列,若常数),则数列是等差数列。 ?、等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列。 (6)、等差数列的性质: ?、等差数列任意两项间的关系:如果an是等差数列的第n项,am是等差数列的第m项,且,公差为d,则有,若,则。 ,如图所示:也就是: 6 ?、若数列是等差数列,Sn是其前n项的和,那么Sk,成等差数列。* 如下图所示: ?、设数列是等差数列,S奇是奇数项的和,S偶
11、是偶数项项的和,Sn是前n项的和, 则有:前n项的和奇偶, 当n 当n为奇数时,则S奇 偶中 d为公差; 。 a中是等差数列的中间一项)。 ?、等差数列的前项的和为,等差数列的前项的和为,则 (三)、等比数列:(1)、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示()。 (2)、通项公式:(其中:首项是a1,公比是q) (3)、前n项和q)(推导方法:乘公比,错位相减) 说明:? 3当时为常数列,非0的常数列既是等差数列,也是等比数列 ? (4)、等比中项: 如果在a与b之间插入一个数G,使a,
12、G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。 也就是,如果是的等比中项,那么 (5)、等比数列的判定方法: ?、定义法:对于数列,若,则数列an ,即(或,等比中项有两个) 是等比数列。 ?、等比中项:对于数列,若,则数列是等比数列。 (6)、等比数列的性质: ?、等比数列任意两项间的关系:如果ann项,am是等比数列的第m项,且, 公比为q,则有?、对于等比数列,若,则 。如图所示:7 也就是: ?、若数列是其前n项的和,那么Sk, S3k 如下图所示:Sk (7)、求数列的前n项和的常用方法:分析通项,寻求解法 , 26 ?公式法:“差比之和”的数列:?、并项法: ?、裂项相消法: ?、
13、到序相加法: ?、错位相减法:“差比之积”的数列: 2 第四章 三角函数 1、角:(1)、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角,顺时针方向旋转负角,不做任何旋转零角; (2)、与终边相同的角,连同角在 扇形面积: 3、三角函数 (1)、定义:(如图) (2)、各象限的符号: 180 yyr + + rxx y _ _ O y + _ y + _ + + 8 (3)、 特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式 (,)平方关系: (,)商数关系: (,)倒数关系: (4)同角三角函数的常见变形:(活用“1”) ?、, ;, ; 2222 ?, ?, 5、诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)
14、公式一: 公式二:公式三:公式四:公式五: 9 补充: 6、两角和与差的正弦、余弦、正切 :的整式形式为: 例:若,则(反之不一定成立) 7、辅助角公式: (其中称为辅助角,的终边过点(a,b),) (多用于研究性质) a 8、二倍角公式:(1)、: (2)、降次公式:(多用于研究性质) : : (3)、二倍角公式的常用变形:?、, ; ?、, ?、; ; 24 ?半角: ,9、三角函数的图象性质 10 (1)、函数的周期性:?、定义:对于函数f(x),若存在一个非零常数T,当x取定义域f(x),则称f(x)是偶函数 ?、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称; ?、奇函数,偶函数
15、的定义域关于原点对称; (3)、正弦、余弦、正切函数的性质() ,1),(,0),(,-1),(,0); 图象的五个关键点:(0,1),(,0),(,-1),(,0),(,1); 图象的五个关键点:(0,0),( 的对称中心为();对称轴是直线; 的周期; 的对称中心为点()和点(); 的周期; 2 (4)、函数的相关概念: 11 的对称中心为();对称轴是直线 的周期; ; 的图象与的关系: ?振幅变换:当A时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍 当 当时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍 时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的 1 倍 ?周期变换:当时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍 当时
16、,图象上的各点向左平移个单位倍 时,图象上的各点向右平移个单位倍 ?相位变换: 当个单位倍 ?平移变换:个单位倍 当时,图象上的各点向右平移 当 时,图象上的各点向左平移 常叙述成: ?把上的所有点向左(时)或向右(时)平移个单位得到 ; ?再把的所有点的横坐标缩短()或伸长()到原来的得到; ?再把的所有点的纵坐标伸长()或缩短()到原来的A倍(横坐标不变)得到的图象。 先平移后伸缩的叙述方向: 先平移后伸缩的叙述方向: 10、反三角: 1 倍(纵坐标不变) 11、三角函数求值域 (1)一次函数型:,例: 用辅助角公式化为:,例:(2)二次函数型:?二倍角公式的应用: ?代数代换: 第五章、
17、平面向量 1、空间向量:(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示。 (2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作;零向量的方向是任意的。 (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量a平行的单位向量: (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作/;规定与任何向量平行; (5)相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等; 任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。 2、向量的运算:(1)、向量的加减法: (2)、实数与向量的积:?、定义:实数与向量的积是一个向量
18、,记作:; ?:它的长度:; ?:它的方向:当,与向量的方向相同;当,与向量的方向相反;当时,; 3、平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量,有且 13 只有一对实数,使; 不共线的向量e1,e2叫这个平面(2)、两个非零向量垂直的充要条件:设 ,则 (3)、两点的距离: (4)、P分线段P1P2的:设P(x,y) ,P( ,P( ,且P(即,y1)2x2,y2), 2) 则定比分点坐标公式 , 中点坐标公式 (5)、平移公式:如果点 P(x,y)按向量平移至P(x,y),则 14 6、解三角形:(1)三角形的面积公式: (2)在?ABC中:,
19、因为:, , 因为:, , 边用角表示: , (3)正弦定理,余弦定理 ?正弦定理: ?余弦定理:若:ab则: 222 求角: 第六章:不等式 1、不等式的性质:(1)、对称性:; (2)、传递性:; (3)、; (4)、若,若; (5)、 、 均值不等式:(1)、 (2)、或() 一正、二定、三相等 2 不满足相等条件时,注意应用函数图象性质(如图)x应用:证明(注意1的技巧),求最值,实际应用 (3)、对于n个正数:, 那么:叫做n个正数的算术平均数,叫做n个正数的几何平均数; n 3、不等式的证明,常用方法: (1)比较法:?、作差:,(作差、变形、确定符号) 15 ?、作商: (2)综
20、合法:由因到果,格式: (3)分析法:执果索因,格式:原式, , , , (4)反证法:从结论的反面出发,导出矛盾。 4、不等式的解法:(不等式解集的边界值是相应方程的解) 2一元二次不等式(x的系数为正数):时“>”取两边,“<”取中间 绝对值不等式:含一个绝对值符号的:“>”取两边,“<”取中间 含两个绝对值符号的: 零点分段讨论法(注意取“交”,还是取“并”) 高次不等式的解法:根轴法 (重根:奇穿偶不穿) 分式不等式的解法:移项、通分、根轴法 5、绝对值不等式: 例:f(x)8(最小值) (最大值) f(x) 第七章:直线和圆的方程 1、倾斜角和斜率:(1)倾斜
21、角: ?、范围: ?、定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴饶交点按逆时针方向旋转到和直线重合时的最小正角记为,则叫直线的倾斜角;当直线与和x轴平行或重合时,倾斜角为0;当直线与和x轴垂直时,倾斜角为90 (2)斜率:, 当k是特殊角的三角函数值时,直接写出角 当k不是特殊角的三角函数值时,可用反三角表示斜率: , 当时a;n 当时, (3)直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则斜率为 直线的方向向量或 所以直线的方向向量(1,k)或 2、直线方程:直线方程的五种形式(1)、点斜式:; (2)、斜截式:;(3)、两点式: 16 (4)、截距式:(截距是直线
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