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1、高中数学公式大全总结高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 x A x CUA,x CUA x A. 2.德摩根公式 CU(A B) CUA CUB;CU(A B) CUA CUB. 3.包含关系 A B A A B B A B CUB CUA A CUB CUA B R 4.容斥原理 card(A B) cardA,cardB,card(A B) card(A B C) cardA,cardB,cardC,card(A B) ,card(A B),card(B C),card(C A),card(A B C). nnn 5(集合a1,a2, ,an的子集个数共有2 个;真子集有2
2、1个;非空子集有2 1 个;非空的真子集有22个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x) ax2,bx,c(a 0); (2)顶点式f(x) a(x,h)2,k(a 0); (3)零点式f(x) a(x,x1)(x,x2)(a 0). 7.解连不等式N f(x) M常有以下转化形式 n N f(x) M f(x),Mf(x),N 0 M,NM,Nf(x),N| 0 |f(x), 22M,f(x) 11 . f(x),NM,N 只有一个实根,与f(k1)f(k2) 0不等价,前者是后者的一个必 8.方程f(x) 0在(k1,k2)上有且要而不是充分条件.特别地, 方程ax,bx,
3、c 0(a 0)有且只有一个实根在2 (k1,k2)k,k2b 1,或f(k2) 0且2 2a2 二次函数f(x) ax,bx,c(a 0)在闭区间 p,q 上的最值只能在x ,b处及区2a ;间的两端点处取得,具体如下: (1)当a>0时,若x ,bb p,q ,()nm f(,x则fxi2a2axmaxma (f,)p() fq b p,q ,f(x)max max f(p),f(q) ,f(x)min min f(p),f(q) . 2a b p,q ,则f(xm(2)当a<0时,若x ,)i m infp()f,,q(若) n2ax , 1 x , b p,q ,则f(x)
4、max max f(p),f(q) ,f(x)min min f(p),f(q) . 2a 10.一元二次方程的实根分布 依据:若f(m)f(n) 0,则方程f(x) 0在区间(m,n) 设f(x) x2,px,q,则 p2,4q 0 (1)方程f(x) 0在区间(m, )内有根的充要条件为f(m) 0或 p; , m 2 f(m) 0 f(n) 0 (2)方程f(x) 0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n) 0或 p2,4q 0 m ,p n 2 f(m) 0 f(n) 0或 或 ; af(n) 0 af(m) 0 p2,4q 0 (3)方程f(x) 0在区间(, ,n)内有根
5、的充要条件为f(m) 0或 p . , m 2 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间(, , )的子区间L(形如 , ,, , , , ,不同)上含参数的二次不等式f(x,t) 0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min 0(x L). (2)在给定区间(, , )的子区间上含参数的二次不等式f(x,t) 0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man 0(x L). a 0 a 0 42 (3)f(x) ax,bx,c 0恒成立的充要条件是 b 0或 2. c 0 b,4ac 0 12. 13. 2 14.四种命题的相互关系 15.充要条件 (1)充
6、分条件:若p q,则p是q充分条件. (2)必要条件:若q p,则p是q必要条件. (3)充要条件:若p q,且q p,则p是q充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设x1 x2 a,b ,x1 x2那么 f(x1),f(x2) 0 f(x)在 a,b 上是增函数; x1,x2 f(x1),f(x2) 0 f(x)在 a,b 上是减函数. (x1,x2) f(x1),f(x2) 0 x1,x2 (2)设函数y f(x)在某个区间内可导,如果f (x) 0,则f(x)为增函数;如果f (x) 0,则f(x)为减函数. 17.如果函数f(x
7、)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x),g(x)也是减函数; 如果函数y f(u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y fg(x)是增函数. (x1,x2) f(x1),f(x2) 0 18(奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数( 19.若函数y f(x)是偶函数,则f(x,a) f(,x,a);若函数y f(x,a)是偶函数,则f(x,a) f(,x,a). 20.对于函数y f(x)(x R),f(x,a
8、) f(b,x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x a,ba,b;两个函数y f(x,a)与y f(b,x) 的图象关于直线x 对称. 22 a21.若f(x) ,f(,x,a),则函数y f(x)的图象关于点(,0)对称; 若2 fa),则函数y f(x)为周期为2a的周期函数. 22(多项式函数P(x) anxn,an,1xn,1, ,a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数 P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数 P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y f(x)的图象的对称性 (1)函数y f(x)的图象关于直线x a对称 f(a,x
9、) f(a,x) f(2a,x) f(x). 3 (2)函数y f(x)的图象关于直线x a,b对称 f(a,mx) f(b,mx) 2 f(a,b,mx) f(mx). 24.两个函数图象的对称性 (1)函数y f(x)与函数y f(,x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称. (2)函数y f(mx,a)与函数y f(b,mx)的图象关于直线x a,b对称. 2m (3)函数y f(x)和y f,1(x)的图象关于直线y=x对称. 25.若将函数y f(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数y f(x,a),b的图象;若将曲线f(x,y) 0的图象右移a、上移b个单位,得到曲线f(x,a,
10、y,b) 0的图象. 26(互为反函数的两个函数的关系 f(a) b f,1(b) a. 27.若函数y f(kx,b)存在反函数,则其反函数为y 1,1f(x),b,并不是k y f,1(kx,b),而函数y f,1(kx,b)是y 1f(x),b的反函数. k 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x) cx,f(x,y) f(x),f(y),f(1) c. (2)指数函数f(x) ax,f(x,y) f(x)f(y),f(1) a 0. (3)对数函数f(x) logax,f(xy) f(x),f(y),f(a) 1(a 0,a 1). (4)幂函数f(x) x ,f(xy) f
11、(x)f(y),f?(1) . (5)余弦函数f(x) cosx,正弦函数g(x) sinx,f(x,y) f(x)f(y),g(x)g(y), f(0) 1,limx 0g(x) 1. x 29.几个函数方程的周期(约定a>0) (1)f(x) f(x,a),则f(x)的周期T=a; (2)f(x) f(x,a) 0, 1(f(x) 0), f(x) 1或f(x,a) ,(f(x) 0), f(x) 1或, f(x,a),(f(x) 0,1 ),则f(x)的周期T=2a; 2 1(f(x) 0),则f(x)的周期T=3a; (3)f(x) 1,f(x,a) f(x1),f(x2)(4)
12、f(x1,x2) 且f(a) 1(f(x1) f(x2) 1,0 |x1,x2| 2a),则1,f(x1)f(x2) f(x)的周期T=4a; (5)f(x),f(x,a),f(x,2a)f(x,3a),f(x,4a) f(x)f(x,a)f(x,2a)f(x,3a)f(x,4a),则f(x)的周期T=5a; (6)f(x,a) f(x),f(x,a),则f(x)的周期T=6a. 或f(x,a) 30.分数指数幂 4 m n(1)a (2)a ,m n1 m n(a 0,m,n N,,且n 1). (a 0,m,n N,,且n 1). a 31(根式的性质 (1 )n a. (2)当n a;
13、当n |a| 32(有理指数幂的运算性质 (1) ar as ar,s(a 0,r,s Q). (2) (ar)s ars(a 0,r,s Q). (3)(ab)r arbr(a 0,b 0,r Q). p注: 若a,0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数(上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 a,a 0. ,a,a 0logaN b ab N(a 0,a 1,N 0). 34.对数的换底公式 logmN (a 0,且a 1,m 0,且m 1, N 0). logma nn推论 logamb logab(a 0,且a 1,m,n 0,且m 1,
14、n 1, N 0). mlogaN 35(对数的四则运算法则 若a,0,a?1,M,0,N,0,则 (1)loga(MN) logaM,logaN; M logaM,logaN; N (3)logaMn nlogaM(n R). (2) loga 36.设函数f(x) logm(ax2,bx,c)(a 0),记 b,4ac.若f(x)的定义域为2 R,则a 0,且 0;若f(x)的值域为R,则a 0,且 0.对于a 0的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 1,则函数y logax(bx) a 11 (1)当a b时,在(0,)和(, )上y logax(bx)为增函数. aa
15、 11)和(, )上y logax(bx)为减函数. , (2)当a b时,在(0,aa 若a 0,b 0,x 0,x 推论:设n m 1,p 0,a 0,且a 1,则 (1)logm,p(n,p) logmn. 5 (2)logamlogan loga2m,n. 2 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有 N(1,p)x. 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 a s1,n 1 n ( 数列an的前n项的和为sn a1,a2, ,an). sn,sn,1,n 2 40.等差数列的通项公式 an a1,(n,1)d dn,a1,d(n
16、N*); 其前n项和公式为 sn(a1,an) n 2 nan(n,1) 1,2d d 2n2,(a,1 12d)n. 41.等比数列的通项公式 an a1qn,1 a1 q qn(n N*); 其前n项的和公式为 a1(1,qn) s 1,q,q 1 n na1,q 1 a1,anq 或s 1,q,q 1 n . na1,q 1 42.等比差数列 an :an,1 qan,d,a1 b(q 0)的通项公式为 b,(n,1)d,q a 1 n bqn,(d,b)qn,1,d q,1,q 1; 其前n项和公式为 nb s ,n(n,1)d,(q 1) n d1,qn (b,d. 1,q)q,1,
17、1,qn,(q 1) 43.分期付款(按揭贷款) ab(1,b)n 每次还款x (1,b)n,1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). 44(常见三角不等式 (1)若x (0, 2),则sinx x tanx. 6 y (2) 若x (0,),则1 sinx,cosx 2 (3) |sinx|,|cosx| 1. 45.同角三角函数的基本关系式 sin2 ,cos2 1,tan = 46.正弦、余弦的诱导公式 sin ,tan cot 1. cos n n (,1)2sin ,sin(, ) n,12 (,1)2cos , n 2co s,n (,1) cos, ) n,12 (,1)2si
18、 n, 47.和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ; tan tan tan( ) . 1 tan tan sin( , )sin( , ) sin2 ,sin2 (平方正弦公式); cos( , )cos( , ) cos2 ,sin2 . asin , bcos = b定,tan ). a 48.二倍角公式 , )(辅助角 所在象限由点(a,b)的象限决 sin2 sin cos . cos2 cos2 ,sin2 2cos2 ,1 1,2sin2 . 2tan tan2 . 1,tan2 49. 三倍角公式 si
19、n3 3sin ,4sin3 4sin sin(, )sin(, ). 33 cos3 4cos3 ,3cos 4cos cos(, )cos(, )33 . 3tan ,tan3 tan3 tan tan(, )tan(, ). 1,3tan2 33 50.三角函数的周期公式 函数y sin( x, ),x?R及函数y cos( x, ),x?R(A, 为常数,且A?0,,0)的周期T 2 ;函数y tan( x, ),x k , 2,k Z(A, 为常数,且A ?0,,0)的周期T . 7 51.正弦定理 abc 2R. sinAsinBsinC 52.余弦定理 a2 b2,c2,2bcc
20、osA; b2 c2,a2,2cacosB; c2 a2,b2,2abcosC. 53.面积定理 111aha bhb chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高). 222 111(2)S absinC bcsinA casinB. 222(3)S OAB (1)S 54.三角形 cosx a(|a| 1) x (2k ,arccosa,2k ,arccosa),k Z. cosx a(|a| 1) x (2k ,arccosa,2k ,2 ,arccosa),k Z. tanx a(a R) x (k ,arctana,k , 2),k Z. tanx a(a R) x (k ,
21、2,k ,arctana),k Z. 57.实数与向量的积的运算律 设、为实数,那么 (1) 结合律:(a)=()a; (2)第一分配律:(+)a=a+a; (3)第二分配律:(a+b)=a+b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a?b= b?a (交换律); (2)( a)?b= (a?b)= a?b= a?( b); (3)(a+b)?c= a ?c +b?c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 8 只有一对实数1、2,使得a=1e1+2e2( 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面 (3)设A(x1,y1),B
22、(x2,y2),则AB OB,OA (x2,x1,y2,y1). (4)设a=(x,y), R,则 a=( x, y). (5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=(x1x2,y1y2). 63.两向量的夹角公式 (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1,x2,y1,y2). cos (a=(x1,y1),b=(x2,y2). 64.平面两点间的距离公式 d A,B=|AB| (x1,y1),B(x2,y2). 65.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b 0,则 A|b b=a x1y2,x2y1 0. a b(a 0) a?
23、b=0 x1x2,y1y2 0. 66.线段的定比分公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)是线段PP12的分点, 是实数,且PP1 PP2,则 x1, x2 x OP 1, 1, OP2 OP y, y1, 2 y 1 1, 1t (). ,(1,t)OP OP tOP121, 67.三角形的重心坐标公式 ?ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则?ABC的重心的坐标是G(x1,x2,x3y1,y2,y3,). 33 68.点的平移公式 ?注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP的 坐标为(
24、h,k). ? x? x,h x x?,h ? OP OP,PP . ? y y,k y y,k? 69.“按向量平移”的几个结论 9 (1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P?(x,h,y,k). (2) 函数y f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y f(x,h),k. (3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y f(x),则C的函数解析式为y f(x,h),k. (4)曲线C:f(x,y) 0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为? . f(x,h,y,k) 0 (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h
25、,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y). 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为 ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则 2 2 2(1)O为 ABC的外心 OA OB OC. (2)O为 ABC的重心 OA,OB,OC 0. (3)O为 ABC的垂心OA OB OB OC OC OA. (4)O为 ABC的内心aOA,bOB,cOC 0. (5)O为 ABC的 A的旁心aOA bOB,cOC. 71.常用不等式: 22(1)a,b R a,b 2ab(当且仅当a,b时取“=”号)( a,b 当且仅当a,b时取“=”号)( 2 (3)a3,b3,c3 3a
26、bc(a 0,b 0,c 0). (2)a,b R , (4)柯西不等式 (a2,b2)(c2,d2) (ac,bd)2,a,b,c,d R. (5)a,b a,b a,. 72.极值定理 已知x,y都是正数,则有 (1)若积xy是定值p,则当x y时和x,y有最小值2p; (2)若和x,y是定值s,则当x y时积xy有最大值 2212s. 4推广 已知x,y R,则有(x,y) (x,y),2xy (1)若积xy是定值,则当|x,y|最大时,|x,y|最大; 当|x,y|最小时,|x,y|最小. (2)若和|x,y|是定值,则当|x,y|最大时, |xy|最小; 当|x,y|最小时, |xy
27、|最大. 73.一元二次不等式ax,bx,c 0(或 0)(a 0, b,4ac 0),如果a与22 ax2,bx,c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2,bx,c异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. x1 x x2 (x,x1)(x,x2) 0(x1 x2); x x1,或x x2 (x,x1)(x,x2) 0(x1 x2). 74.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有 x a x2 a ,a x a. 2 10 x a x2 a2 x a或x ,a. 75.无理不等式 (1 f(x) 0 g(x) 0 . f(x) g(x) f(x) 0 (2 g(x)
28、 g(x) 0或 f(x) 0. f(x) g(x)2 g(x) 0 f(x) 0 (3 g(x) g(x) 0. f(x) g(x)2 76.指数不等式与对数不等式 (1)当a 1时, af(x) ag(x) f(x) g(x); f( log) log x) 0 af(xag(x) g(x) 0. f(x) g(x) (2)当0 a 1时, af(x) ag(x) f(x) g(x); f(x) 0 logf(x) log aag(x) g(x) 0 f(x) g(x) 77.斜率公式 k y2,y1 x(P1(x1,y1)、P2(x2,y2). 2,x1 78.直线的五种方程 (1)点斜
29、式 y,y1 k(x,x1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k)( (2)斜截式 y kx,b(b为直线l在y轴上的截距). (3)两点式 y,y1 y,y x,x1(y1 y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1 x2). 21x2,x1 (4)截距式 xy a,b 1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b 0) (5)一般式 Ax,By,C 0(其中A、B不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若l1:y k1x,b1,l2:y k2x,b2 ?l1|l2 k1 k2,b1 b2; ?l1 l2 k1k2 ,1. (2)若l1:A1x,B1y,C1 0,l
30、2:A2x,B2y,C2 0,且A1、A2、B1、B2都不为零, ?l1|l1B1C1 2 A A ; 2B2C2 11 ?l1 l2 A; 1A2,B1B2 0 80.夹角公式 k2,k1|. 1,k2k1 (l1:y k1x,b1,l2:y k2x,b2,k1k2 ,1) AB,A2B1(2)tan |12|. A1A2,B1B2 (l1:A). 1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0,A1A2,B1B2 0 直线l1 l2时,直线l1与l2的夹角是. 2 81. l1到l2的角公式 k,k1(1)tan 2. 1,k2k1 (l1:y k1x,b1,l2:y k2x,b2
31、,k1k2 ,1) AB,A2B1(2)tan 12. A1A2,B1B2 (l1:A). 1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0,A1A2,B1B2 0 直线l1 l2时,直线l1到l2的角是. 2(1)tan | 82(四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y,y0 k(x,x0)(除直线x x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x,x0),B(y,y0) 0,其中A,B是待定的系数( (2)共点直线系方程:经过两直线l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0的交点的直线系方
32、程为(A1x,B1y,C1), (A2x,B2y,C2) 0(除l2),其中是待定的系数( (3)平行直线系方程:直线y kx,b中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程(与直线Ax,By,C 0平行的直线系方程是Ax,By, 0( 0),是参变量( (4)垂直直线系方程:与直线Ax,By,C 0 (A?0,B?0)垂直的直线系方程是Bx,Ay, 0,是参变量( 83.点到直线的距离 84. 或 0所表示的平面区域 设直线l:Ax,By,C 0,则Ax,By,C 0或 0所表示的平面区域是: 若B 0,当B与Ax,By,C同号时,表示直线l的上方的区域;当B与Ax,By,C异号时,表示直线
33、l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B 0,当A与Ax,By,C同号时,表示直线l的右方的区域;当A与Ax,By,C异号时,表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 0所表示的平面区域 85. (A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0或 设曲线C:(A,则 1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0(A1A2B1B2 0)d (点P(x0,y0),直线l:Ax,By,C 0). (A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0或 0所表示的平面区域是: 12 (A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0所表示的平面区域上下两部分; (A1
34、x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 (x,a)2,(y,b)2 r2. (2)圆的一般方程 x2,y2,Dx,Ey,F 0(D,E,4F,0). 22 x a,rcos . y b,rsin (4)圆的直径式方程 (x,x(圆的直径的端点是1)(x,x2),(y,y1)(y,y2) 0 A(x1,y1)、B(x2,y2). (3)圆的参数方程 87. 圆系方程 (1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是 (x,x1)(x,x2),(y,y1)(y,y2), (x,x1)(y1,y2),(y,y1)(
35、x1,x2) 0 ,c 0是直线 (x,x1)(x,x2),(y,y1)(y,y2), (ax,by,c) 0,其中ax,by AB的方程,是待定的系数( (2)过直线l:Ax,By,C 0与圆C:x2,y2,Dx,Ey,F 0的交点的圆系方程是x2,y2,Dx,Ey,F, (Ax,By,C) 0,是待定的系数( 22(3) 过圆C1:x2,y2,D1x,E1y,F1 0与圆C2:x,y,D2x,E2y,F2 0的交 22点的圆系方程是x2,y2,D1x,E1y,F1, (x,y,D2x,E2y,F2) 0,是待定的 系数( 88.点与圆的位置关系 点P(x0,y0)与圆(x,a),(y,b)
36、 r的位置关系有三种 若d 222 d r 点P在圆外;d r 点P在圆上;d r 点P在圆内. 89.直线与圆的位置关系 222直线Ax,By,C 0与圆(x,a),(y,b) r的位置关系有三种: d r 相离 0; d r 相切 0; d r 相交 0. Aa,Bb,C其中d . 22A,B 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2 d d r1,r2 外离 4条公切线; d r1,r2 外切 3条公切线; r1,r2 d r1,r2 相交 2条公切线; d r1,r2 内切 1条公切线; 0 d r1,r2 内含 无公切线. 91.圆的切
37、线方程 (1)已知圆x,y,Dx,Ey,F 0( ?若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条,其方程是 13 22 D(x0,x)E(y0,y),F 0. 22 D(x0,x)E(y0,y),F 0表示过两个切点当(x0,y0)圆外时, x0x,y0y,22 x0x,y0y, 的切点弦方程( ?过圆外一点的切线方程可设为y,y0 k(x,x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线( ?斜率为k的切线方程可设为y kx,b,再利用相切条件求b,必有两条切线( (2)已知圆x2,y2 r2( 2?过圆上的P点的切线方程为; (x,y)xx,yy r00000
38、?斜率为k 的圆的切线方程为y kx x acos x2y2 92.椭圆2,2 1(a b 0)的参数方程是 . ab y bsin x2y2 93.椭圆2,2 1(a b 0)焦半径公式 ab a2a2 PF1 e(x,),PF2 e(,x). cc 94(椭圆的的22x0y0, 1. a2b222x0y0,2 1. 2ab xxyyx2y2 (1)椭圆2,2 1(a b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是0 2,02 1. abab x2y2 (2)过椭圆2,2 1(a b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 ab x0xy0y,2 1. 2ab x2y2 (3)椭
39、圆2,2 1(a b 0)与直线Ax,By,C 0相切的条件是ab A2a2,B2b2 c2. x2y2 96.双曲线2,2 1(a 0,b 0)的焦半径公式 ab a2a2 PF1 |e(x,)|,PF2 |e(,x)|. cc 97.双曲线的内外部 x2y2 (1)点P(x0,y0)在双曲线2,2 1(a 0,b 0)的内部 ab x2y2 (2)点P(x0,y0)在双曲线2,2 1(a 0,b 0)的外部 ab 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 22x0y0,2 1. 2ab22x0y0, 1. a2b2 14 x2y2x2y2b (1)若双曲线方程为2,2 1 渐近线方程:2,2
40、0 y x. abaab xyx2y2b (2)若渐近线方程为y x 0 双曲线可设为2,2 . abaab x2y2x2y2 (3)若双曲线与2,2 1有公共渐近线,可设为2,2 ( 0,焦点在x abab 轴上, 0,焦点在y轴上). 99. 双曲线的切线方程 xxyyx2y2 (1)双曲线2,2 1(a 0,b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02,02 1. abab x2y2 (2)过双曲线2,2 1(a 0,b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 ab x0xy0y ,2 1. a2b x2y2 ,C 0相切的条件是 (3)双曲线2,2 1(a 0,b 0
41、)与直线Ax,By ab A2a2,B2b2 c2. 100. 抛物线y2 2px的焦半径公式 p 抛物线y2 2px(p 0)焦半径CF x0,. 2 pp 过焦点弦长CD x1,x2, x1,x2,p. 22 2y 2 101.抛物线y 2px上的动点可设为P(,y )或P(2pt2,2pt)或 P(x ,y ),其中 2p y 2 2px . b24ac,b2 (a 0)的图象是抛物线:102.二次函数y ax,bx,c a(x,),(1)顶 2a4a b4ac,b2b4ac,b2,1,);,);点坐标为(,(2)焦点的坐标为(,(3)准线方程是2a4a2a4a 4ac,b2,1y .
42、4a 2 103.抛物线的内外部 (1)点P(x0,y0)在抛物线y2 2px(p 0)的内部 y2 2px(p 0). 点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的外部 y 2px(p 0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y ,2px(p 0)的内部y ,2px(p 0). 点P(x0,y0)在抛物线y ,2px(p 0)的外部 y ,2px(p 0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的内部 x 2py(p 0). 点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的外部x 2py(p 0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的内部 x 2py
43、(p 0). 点P(x0,y0)在抛物线x ,2py(p 0)的外部 x ,2py(p 0). 104. 抛物线的切线方程 15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)抛物线y2 2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y p(x,x0). (2)过抛物线y2 2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y p(x,x0). (3)抛物线y2 2px(p 0)与直线Ax,By,C 0相切的条件是pB2 2AC. 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线f1(x,y) 0,f2(x,y) 0的交点的曲线系方程是 f1(x,y), f2(x,y) 0(
44、 为参数). x2y2 ,2 1,其中k maxa2,b2.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2a,kb,k k mina2,b2时,表示椭圆; 当mina2,b2 k maxa2,b2时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB AB |x1,x2 |y1,y2|(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程 y kx,b2 消去y得到ax,bx,c 0, 0, 为直线 F(x,y) 0 AB的倾斜角,k为直线的斜率). 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线F(x,y) 0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0,y) 0. (2)曲线F(x,
45、y) 0关于直线Ax,By,C 0成轴对称的曲线是 F(x,2A(Ax,By,C)2B(Ax,By,C),y,) 0. 2222A,BA,B 2108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线Ax2,Bxy,Cy2,Dx,Ey,F 0,用x0x代x,用y0y代y2,用x0y,xy0x,xy,y代xy,用0代x,用0代y即得方程 222 xy,xy0x,xy,yAx0x,B 0,Cy0y,D 0,E 0,F 0,曲线的切线,切点弦,中点222 弦,弦中点方程均是此方程得到. 109(证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110(证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111(证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112(证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; 16 (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113(证明直线与平面垂直的思考途径
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