最新高中数学圆锥曲线综合题专题讲解优秀名师资料.doc
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1、高中数学圆锥曲线综合题专题讲解圆锥曲线综合题 高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整 重难点归纳 解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的 (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问
2、题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域 (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值 典型题例示范讲解 2例1已知圆k过定点A(a,0)(a,0),圆心k在抛物线C y=2ax上运动,MN为圆k在y轴上截得的弦 (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化, (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系, 命题意图 本题考查圆锥曲线科内综
3、合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力 知识依托 弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二次不等式等知识 错解分析 在判断d与R的关系时,x的范围是学生容易忽略的 0a2x,a技巧与方法 对第(2)问,需将目标转化为判断d=x+与R=的大小 0022解 (1)设圆心k(x,y),且y=2ax, 00002222(x,a),y,x,a圆k的半径R=|AK|= 00022222R,x,2x,a,x?|MN|=2=2a(定值) 000?弦MN的长不随圆心k的运动而变化 2222(2)设M(0,y)、N(0,y)在圆k (x,x)+(y,y)=x+a中, 1200022222令x=0,得y,
4、2yy+y,a=0,?yy=y,a 00120?|OA|是|OM|与|ON|的等差中项 ?|OM|+|ON|=|y|+|y|=2|OA|=2a 12又|MN|=|y,y|=2a, ?|y|+|y|=|y,y| 121212a222?yy?0,因此y,a?0,即2ax,a?0 ?0?x? 120002a22x,a圆心k到抛物线准线距离d=x+?a,而圆k半径R=?a 002且上两式不能同时取等号,故圆k必与准线相交 22xy例2如图,已知椭圆=1(2?m?5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准,mm,1y线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=|AB|,DC|CD| (1)求f
5、(m)的解析式; ox(2)求f(m)的最值 BA命题意图 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的科间综合 知识依托 直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值 错解分析 在第(1)问中,要注意验证当2?m?5时,直线与椭圆恒有交点 技巧与方法 第(1)问中,若注意到x,x为一对相反数,则可迅速将|AB|,|CD|化简 第AD(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法 22222解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a=m,b=m,1,c=a,b=1 ?椭圆的焦点为F(,1,0),F(1,0) 122a故
6、直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=?,即x=?m c?A(,m,m+1),D(m,m+1) yx,,1,2222考虑方程组,消去y得 (m,1)x+m(x+1)=m(m,1) ,xy,,1,mm,1,22整理得 (2m,1)x+2mx+2m,m=0 222=4m,4(2m,1)(2m,m)=8m(m,1) ,2m?2?m?5,?,0恒成立,x+x= BC2m,1又?A、B、C、D都在直线y=x+1上 222?|AB|=|x,x|=(x,x)?,|CD|=(x,x) BABADC22?|AB|,|CD|=|x,x+x,x|=|(x+x),(x+x)| BADCBCAD又?x=,m,x
7、=m,?x+x=0 ADAD,2m22m22?|AB|,|CD|=|x+x|?=|?= (2?m?5) BC2m1,2m22m故f(m)=,m?,2,5, 2m22m22(2)由f(m)=,可知f(m)= 12m2,m10242111,又2,?2,?2,,?f(m)?, m932510242故f(m)的最大值为,此时m=2;f(m)的最小值为,此时m=5 93例3舰A在舰B的正东6千米处,舰C在舰B的北偏西30?且与B相距4千米,它们准备捕海洋动物,某时刻A发现动物信号,4秒后B、C同时发现这种信号,A发射麻醉炮弹 设203g舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为1千米/秒,炮弹的速度是千米
8、/秒,其3中g为重力加速度,若不计空气阻力与舰高,问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少, 命题意图 考查圆锥曲线在实际问题中的应用,及将实际问题转化成数学问题的能力 知识依托 线段垂直平分线的性质,双曲线的定义,两点间的距离公式,斜抛运动的曲线方程 错解分析 答好本题,除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上,又在以A、B为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚 技巧与方法 通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解 对y空间物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方P程 C030解 取AB所在直线为x轴,以AB的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系
9、由题意可知,A、B、C舰的坐标oxBA为(3,0)、(,3,0)、(,5,2) 3由于B、C同时发现动物信号,记动物所在位置为P,则|PB|=|PC| 于是P在线段BC的中垂线上,易求得其方程为x,3y+7=0 3322xy又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|,|PA|=4,故知P在双曲线=1,45的右支上 直线与双曲线的交点为(8,5),此即为动物P的位置,利用两点间距离公式,可得|PA|=10 3据已知两点的斜率公式,得k=,所以直线PA的倾斜角为60?,于是舰A发射炮弹的3PA方位角应是北偏东30? ,2v,sin10203g0,设发射炮弹的仰角是,初速度v=,则, 03
10、gv,cos,0103g,?sin2=,?仰角=30? 22v022xy,例4若椭圆=1(a,b,0)与直线l x+y=1在第一象限内有两个不同的交点,求a、22abb所满足的条件,并画出点P(a,b)的存在区域 xy,,1,22解 由方程组消去y,整理得 ,xy,,1,22ab,222222(a+b)x,2ax+a(1,b)=0 ? 则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程?在区间(0,1)内有222222两相异实根,令f(x)=(a+b)x,2ax+a(1,b),则有 ,22222y,4a,4a(a,b)(1,b),0,122,a,b,122f(0),a(1,b),0,b
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