最新高中数学圆锥曲线知识点总结优秀名师资料.doc
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1、高中数学圆锥曲线知识点总结高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y )=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)?0。 两条曲线的交点:若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点
2、P0(x0,y0)是C1,C2的交点? f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的 交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。 二、圆: 1、定义:点集,M,OM,=r,,其中定点O为圆心,定长r为半径. 2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2 (2)一般方程:?当D2+E2-4F,0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为(?(x+ DE ,?)半径是22 D2?E2?4F 2 。配方,将方程x2+y2+
3、Dx+Ey+F=0化为 22D2E )+(y+)2=D?E-4F 224 ?当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(- DE ,-); 22 ?当D2+E2-4F,0时,方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则,MC,r?点M在圆C内,,MC,=r?点M在圆C上,,MC,r?点M在圆C内,其中,MC,=(x0-a)2?(y0-b)2。 (4)直线和圆的位置关系:?直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与 - 1 - 圆相交?有两个公共点;直线与圆相切?有一个公共点;直线与圆相离?没有公共点。 ?直线和圆的位置关系的判定
4、:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d? Aa?Bb?CA?B 2 2 与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义: 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e,0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0,e,1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e,1时,轨迹为双曲线。 - 2 - 【备注1】双曲线: - 3 - ?等轴双曲线:双曲线x2?y2?a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y?x,离心率e?2. ?共
5、轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲 x2y2x2y2 线的共轭双曲线.2?2?与2?2?互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: abab x2a 2 ? y2b 2 ?0. ?共渐近线的双曲线系方程: x2a 2 ? y2b 2 ?(?0)的渐近线方程为 x2a 2 ? y2b 2 ?0如果双曲线的 x2y2xy 渐近线为?0时,它的双曲线方程可设为2?2?(?0). abab 【备注2】抛物线: (1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=- ,开口向右;抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=,
6、开口向左;抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=- ,开口向上; 抛物线x2=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下. (2)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?;抛物线 y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF? p ?x0 2 p2 p2 p2 p2 p2p2 p2 p2p2 p2 (3)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p. (4)已知过抛物线y2=2px(p>0
7、)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长AB=x1?x2+p或AB? p2p 倾斜角),y1y2?p,x1x2?,AF?x1?(AF叫做焦半径). 42 2 p 2 2p (为直线AB的sin2? 五、坐标的变换: - 4 - (1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (3)坐
8、标轴的平移公式: M,xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x Oy中的坐标是(x',y'.O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则 x?x'?hy?y'?k 或 x'?x?hy'?y?k 叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: - 5 - 六、椭圆的常用结论: 1. 点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分?PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直
9、径的圆必与以长轴为直径的圆内切. xxyyx2y2 5. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上,则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1. abab x2y2 6. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外,则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 ab P1P2的直线方程是 x0xy0y ?2?1. a2b x2y2 7. 椭圆2?2?1 (a,b,0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点 ab ?F1PF2?,则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2tan x2y2 8. 椭圆2?2?1(a,b,0)的焦半径公式 ab ? 2 . |MF1|?a?ex0,|MF
10、2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF?NF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF?NF. x2y2b2 11.AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM?kAB?2, aba 即KAB b2x0 ?2。 ay0 x2y2 12.若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内,则被Po所平分的中
11、点弦的方程是 abx0xy0yx02y02 ?2?2?2; 2abab - 6 - 【推论】: x2y2x2y2x0xy0y1、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内,则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2。 abababx2y2 椭圆2?2?1(a,b,o)的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆 abx2y2 于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1. ab x2y2 2、过椭圆2?2?1 (a,0, b,0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交 ab 椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且kBC b2x0 ?2(常数). a
12、y0 x2y2 3、若P为椭圆2?2?1(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ab ?PF1F2?, ?PF2F1?,则 a?c? ?tancot. a?c22 x2y2 4、设椭圆2?2?1(a,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任 ab 意一点,在?PF1F2中,记?F1PF2?, ?PF1F2?,?F1F2P?,则有 sin?c ?e. sin?sin?a x2y2 5、若椭圆2?2?1(a,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0,e ab ?1时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x
13、2y2 6、P为椭圆2?2?1(a,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则 ab 2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立. (x?x0)2(y?y0)2 ?1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7、椭圆a2b2 A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2. x2y2 8、已知椭圆2?2?1(a,b,0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP?OQ. ab4a2b2111122?;(2)|OP|+|OQ|的最大值为22;(3)S?OPQ的最小值(1) a?b|OP|2|OQ|2a2b2a2b2 是22
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