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1、高中数学圆锥曲线解题技巧篇一:高中数学圆锥曲线解题技巧总结 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1r2=ed2。 (2)双曲线有两种定义。r1?r2?2a,当r1r2时,注意r2的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为
2、一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用1 韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: xy0x2y2 ?k?0。 (1)2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B
3、,设弦AB中点为M(x0,y0),则有022ababxy0x2y2 ?k?0 (2)2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有022abab (3)y2=2px(p0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42) (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PH?PFP、F三点共线时,距离和最小。 (2)B在抛物线内,如图,作QR?l交于R,则当B、Q、R最小。 2
4、 解:(1)(2,2) 连PF,当A、P、F三点共线时,AP?PH?AP?PF最小,此时y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22),(注:另一交点为( 1 ,?2)2 1 (2)( 1 ,1) 4 过Q作QR?l交于R,当B、Q、R三点共线时,BQ?QF?BQ?QR最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x= 14,?Q(14 ,1) 点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离 ”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 例2、F是椭圆x2y2 4?3 ?1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,(1)?PF的最小值为 (2)?2PF的最小值为 分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一
5、焦半径PF?题。 解:(1)4-5 3 设另一焦点为F?,则F?(-1,0)连AF?,PF? PA?PF?2a?PF?2a?(PF?)?2a?AF?4? 当P是F?A的延长线与椭圆的交点时, ?PF取得最小值为4-。 (2)3 作出右准线l,作PH?l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=12 , ?PF? 1 2 PH,即2PF?PH ?2PF?PH 当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为a2 c ?xA?4?1?3 例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”(如图中的A、M、C共线
6、,B、D、M共线)等于半径”(如图中的MC?MD)。 解:如图,MC?MD, ?AC?MA?MB?DB6?MB?2 ?MB?8(*) 2 x2y2 ?1 ?点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b=15轨迹4 方程为 1615 2 点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出 (x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4,再移项,平方,?相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐 例4、?ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB= 3 sinA,求点A的轨迹方程。 5 分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边
7、乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。 解:sinC-sinB= 33 sinA2RsinC-2RsinB=?2RsinA 553 BC 5 ?AB?AC? 即AB?AC?6 (*) ?点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ?2a=6,2c=10 ?a=3, c=5, b=4 x2y2 ?1 (x3) 所求轨迹方程为 5 916 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。 分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2,X22),又设AB
8、中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。 (2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0) 22 ?(x1?x2)2?(x12?x2)?9? 则? ? ?x1?x2?2x0 ? ?22 x?x?2y120? 由?得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x2?1+(x1+x2)2=9 ? 由?、?得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入?得 (2x0)2-(8x02-4y0)?1+(2x0
9、)2=9 3 2 ?4y0?4x0? 6 9 , 2 1?4x0 2 4y0?4x0? 992 ?(4x?1)?1 022 4x04x0?1 5 4 ?2?1?5, y0? 当4x02+1=3 即 x0? 5225 时,(y0)min?此时M(?,) 4224 法二:如图,2MM2?AA2?BB2?AF?BF?AB?3 ?MM2? 3, 即25 ?MM1?, 当4 ?M到x 点评:用梯形的中位线,转化为F,而且点Mx2y2 ?1(2?m?5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从7 左到右依次变于A、例6、已知椭圆 mm?1 B、C、D、设f(m)=AB?CD,(1)求f(m),(2)求f(
10、m)的最值。 分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B圆上,同样C在椭圆上,Df(m)?(xB?xA)2?(xD?xC)2?2(xB?xA)?(xD? 2(xB?xC)?(xA?xD) 4 ? 2(xB?XC) 此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。 x2y2 ?1中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0) 解:(1)椭圆 mm?1 则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ?(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=- 2
11、m (2?m?5) 2m?1 8 f(m)?AB?CD?2(xB?xA)?(xD?xC)2m ?2(x1?x2)?(xA?xC)?2x1?x2?2? 2m?1 (2)f(m)? 2 2m?1?11 ?2(1?) 2m?12m?1 ?当m=5时,f(m)min? 2 942 3 当m=2时,f(m)max? 点评:此题因最终需求xB?xC,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差,得 x0yxx?1m?0?k?0,将y0=x0+1,k=1代入得0?0?0,?x0?,可见mm?1mm?12m?1 xB?xC? 2m 2m?1 当然,解本题的关键在
12、于对f(m)?AB?CD的认识,通过9 线段在x轴的“投影”发现f(m)?xB?xC是解此题的要点。 【同步练习】 5 篇二:高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 b2x0x2y2 在椭圆2?2?1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=,2; ay0ab b2x0x2y22 在双曲线2?2?1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线y?2px(p?0)中,以 abay0 p P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。 y0 提醒:因为?0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,
13、故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验?0 2(了解下列结论 2222 10 (1)双曲线x?y?1的渐近线方程为x?y?0; a2b2a2b2 2222 b (2)以y?x为渐近线(即与双曲线x?y?1共渐近线)的双曲线方程为x?y?(?为参数,?0)。 2222 aabab 22 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx?ny?1; 2b2b2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛 ac 物线的通径为2p,焦准距为p; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线y?2px(p?0)的焦点
14、弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则?|AB|?x1?x2?p; 2 p2 ,y1y2?p2 ?x1x2?4 11 (7)若OA、OB是过抛物线y?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0) 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: 2 ?1? (1)在?ABC中,给出AD?AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC边的中线; 2 ? (2)在?ABC中,给出?,等于已知O是?ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (3)在?ABC中,给出OA?OB?OC?0,等于已知O是?ABC的重心(三角形的重心是三角形
15、三条中线的交点); (4)在?ABC中,给出?,等于已知O是?ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (5) 给出以下情形之一:?AB/AC;?存在实数?,使B?AC;?若存在实数 222 ? ?,?,且?1,使OC?OA?OB,等于已知A,B,C三点共线. (6) 给出?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给12 出?m?0,等于已知?AMB是钝角, 给出?m?0,等于已知?AMB是锐角, ? ? ?(8) 给出?,等于已知MP是?AMB的平分线/ (9)在平行四边形ABCD中,给出(?)?(?)?0,等于已知ABCD是菱形; ? (10) 在平行四边形ABCD中,给出|A
16、B?AD|?|AB?AD|,等于已知ABCD是矩形; 4.圆锥曲线中线段的最值问题: 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42) (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PH?PF,共线时,距离和最小。 (2)B在抛物线内,如图,作QR?l交于R,则当B、Q、R解:(1)(2,2)(2)( 1 ,1) 4 x2 ?y2?1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1、已知椭圆C1的方程为4 13 的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程; (2) 若直线l:y?kx? 2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交
17、点,且l与C2的两个交点A和B满足 OA?OB?6(其中O为原点),求k的取值范围。 22 解:(?)设双曲线C2的方程为x?y?1,则a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1. 22 ab x2x22 ?y?1.(II)将y?kx?2代入?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?0. 故C2的方程为34 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 1 ?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2? 1)?0,即 k2?. ? 4 x2 将 y?kx?2代入?y2?1得(1?3k 2)x2?62kx?9?0.由直线l与双曲线C 14 2恒有两个不同的交点A,B 3 2 ?1?
18、1?3k?0,22得?即k?且k?1. 222 3?2?(?)?36(1?3k)?36(1?k)?0. ?9 设A(xA ,yA),B(xB,yB),则xA?xB?,x?x?A B 1?3k21?3k2 ? 由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而xA xB?yAyB?xAxB?(kxA?kxB?(k2?1)xAxB?(xA?xB)?2 ?(k?1)? 2 ?9?2 1?3k23k2?7 ?2.3k?1 3k2?715k2?1313122 于是2?6,即?0.解此不等式得k?或k?. ? 2 3k?13k?1153 15 由?、?、?得 1113 ?k2?或?k2?1. 4315 故k 的
19、取值范围为(?1,11?(?)?(? 222.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足MB/OA, MA?AB = MB?BA,M点的轨迹为曲线C。 (?)求C的方程;(?)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。 ? (?)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=(-x,-1-y), MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意得知? (MA+MB)? AB=0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0. 12121'1x-2. (?)设P(x0,y0)为曲线C:y=x-2上一点,因
20、为y=x,所以l的斜率为x0442212 因此直线l的方程为y?y0?x0(x?x0),即x0x?2y?2y0?x?0。 2 所以曲线C的方程式为y= 12 x0?4112?2, 则O点到l 的距离d?.又y0?x0? 2,所以d?422 16 当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2. 2 x2y22 3.设双曲线2?2?1(a,0,b,0)的渐近线与抛物线y=x+1相切,则该双曲线的离心率等于() ab x2y2? 4.过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若?F1PF2?60,则椭圆的 ab 离心率为 x2y2 ?2?1(b?0)的左、
21、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y?x,点P(,y0)在双曲线5.已知双曲线 2b 上.则PF1?PF2,()0 2 6.已知直线y?k?x?2?k?0?与抛物线C:y?8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|?2|FB|,则 k?() 7.设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点。若AB的中点为(2,17 2),则直线l的方程为_. x2y2 ?1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|?4,则|PF2|?F1PF2的大小为 8.椭圆92 篇三:高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结1 (1) 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一
22、定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a,|F1F2|不可忽视。若2a,|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a,|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 ?8表示的曲线是_(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准
23、位置的方程): abab 方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么,(ABC?0,且A,B,C同号,A?B)。 (1)椭圆:焦点在x轴上时 18 x 22 ? y 22 (a?b?0),焦点在y轴上时?1 y 22 ? x 22 ,1(a?b?0)。 若x,y?R,且3x2?2y2?6,则x?y的最大值是_,x2?y2的最小值是_ 2) 。方程?2 =1,焦点在y轴上:2?2,1(a?0,b?0)2 abab 22 。 Ax?By?C表示双曲线的充要条件是什么,(ABC?0,且A,B异号) 如设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e?则C的方程为_(答:x2?y2?6) (
24、3)抛物线:开口向右时y2?2px(p?0),开口向左时19 y2?2px(p?0),开口向上时 x?2py(p?0),开口向下时x?2py(p?0)。 2 2 (2)双曲线:焦点在x轴上: x 2 y 2 y 2 x 2 2的双曲线C过点P(4,?), 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x2,y2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程 x 2 m?1 20 ? y 2 2?m ?1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是_(答: 3 (?,?1)?(1,) 2 (2)双曲线:由x 2 ,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上
25、; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 222222 提醒:在椭圆中,a最大,a?b?c,在双曲线中,c最大,c?a?b。 4.圆锥曲线的几何性质: ?2?1(a?b?0)为例):?范围:?a?x?a,?b?y?b;?焦点:两2ab 个焦点(?c,0);?对称性:两条对称轴x?0,y?0,一个对称21 中心(0,0),四个顶点(?a,0),(0,?b), (1)椭圆(以 x 2 y 2 其中长轴长为2a,短轴长为2b;?准线:两条准线x?e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。 a 2 c ; ?离心率:e? ca ,椭圆?0?e?1, 如(1)若椭圆 x 2 3 (
26、2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为 5 m 22 5 ? y 2 ?1的离心率e? ,则m的值是_(答:3或 25 ); _(答:22) ab 两个焦点(?c,0);?对称性:两条对称轴x?0,y?0,一个对称中心(0,0),两个顶点(?a,0),其 2 2 (2)双曲线(以 x2 ? y2 :?范围:x?a或x?a,y?R;?焦点:?1(a?0,b?0)为例) 中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x?y?k,k?0;?23 准线:两条准线x? 2 2 a 2 c ; ?离心率:e? ca ,
27、双曲线?e?1 bax。 p ?e?e越小,开口越小,e越大,开口越大;?两条渐近线:y? (3)抛物线(以y2?2px(p?0)为例):?范围:x?0,y?R;?焦点:一个焦点( ,0),其中p 2 的几何意义是:焦点到准线的距离;?对称性:一条对称轴y?0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0); ?准线:一条准线x? p2 ; ?离心率:e? 24 ca ,抛物线?e?1。 116a 如设a?0,a?R,则抛物线y?4ax2的焦点坐标为_(答:(0,5、点P(x0,y0)和椭圆 xa 22 ; ) x0a 22 ? yb 22 (1)点P(x0,y0)在椭圆外?1(a?b?0)的关系:x0
28、a 22 ? y0b 2 2 ?1; (2)点P(x0,y0)在椭圆上? ? 25 y0b 2 2 ,1;(3)点P(x0,y0)在椭圆内? x0a 22 ? y0b 2 2 ?1 6(直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:?0?直线与椭圆相交; ?0?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有?0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故?0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;?0?直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有?0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故?0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2
29、)相切:?0?直线与椭圆相切;?0?直线与双曲线相切;?0?直线与抛物线相切; 26 (3)相离:?0?直线与椭圆相离;?0?直线与双曲线相离;?0?直线与抛物线相离。 提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线 x 22 ab 公共点的情况如下:?P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;?P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近
30、线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;?P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;?P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 ? y 22 27 ,1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个 7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题: S?b2tan当|y0|?b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;对于双曲线S? btan 2 ?2 ?c|y0|, ? 。 如 (1)短轴长为5, 28、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(
31、1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则?AMF,?BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA?PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴, 反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。 9、弦长公式:若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB ,1?x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB,? 1k 28 2 y1?y2,若弦AB所在直线 方程设为x?ky?b,则AB 1?y2。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦
32、点弦的弦长的计 算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 抛物线: 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆 xa 22 ? yb 22 ?1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=, bx0ay0 2 2 ; 弦所在直线的方程: 垂直平分线的方程: 222 bx0xy 29 在双曲线2?2?1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线 ay0ab P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=y?2px(p?0中,以) 2 py0 。 提醒:因为?0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要
33、条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别 忘了检验?0 11(了解下列结论 (1)双曲线 xa 22 ? yb 22 ?1的渐近线方程为 xa 2222 ? yb 30 2222 ?0; ?1共渐近线)的双曲线方程为 xa 22 (2)以y?参数,?0)。 ba x为渐近线(即与双曲线 xa yb ? yb 22 ?(? 为 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为离)为 ,抛物线的通径为2p,焦准距为p; c (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线y2?2px(p?0)的焦
34、点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则?|AB|?x1?x2?p;?x1x2? 31 p 2 2ba 2 ,焦准距(焦点到相应准线的距 b 2 4 ,y1y2?p 2 (7)若OA、OB是过抛物线y2?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0) 12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? (1) 给出直线的方向向量u?1,k?或u?m,n?; (2)给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点; ? PM?PN?0(3)给出,等于已知P是MN的中点; ? (5) 给出以下情形之一:?AB/AC;?存在实数?,使AB?AC;?若存在
35、实数 32 ? ?,?,且?1使,OC?OA?OB,等于已知A,B,C三点共线. (4)给出AP?AQ?BP?BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线; ? (6) 给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是钝角, 给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角, ? ? (8) 给出?MP,等于已知MP是?AMB的平分线/ ?(9)在平行四边形ABCD中,给出(AB?AD)?(AB?AD)?0,等于已知ABCD是菱形; ? |AB?AD|?|AB?AD|,等于已知ABCD是矩形; (10) 在平行四边形ABCD中,给出 2 2 2 (
36、11)在?ABC中,给出OA?OB?OC,等于已知O是?ABC的外心(三角形外接圆的圆 33 心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (12) 在?ABC中,给出OA?OB?OC?0,等于已知O是?ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在?ABC中,给出OA?OB?OB?OC?OC?OA,等于已知O是?ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); ?ABAC (14)在?ABC中,给出OP?OA?(?)(?R?)等于已知AP通过?ABC的内 |AB|AC| 心; (15)在?ABC中,给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的内心(三角
37、形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点); ?1? (16) 在?ABC中,给出AD?AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC边的中线; 2 ? 2 (3)已知A,B为抛物线x=2py(p0)上异于原点的两点,OA?OB?0,点C坐标为(0,2p) (1)求证:A,B,C三点34 共线; ? (2)若AM,?BM(?R)且OM?AB?0试求点M的轨迹方程。 22?x1x2 (1)证明:设A(x1,),B(x2,),由OA?OB?0得 2p2p 22222?x1x2x1?x2?x12 x1x2?0,?x1x2?4p,又?AC?(?x1,2p?),AB?(x2?x1,) 2p2p2
38、p2p222?x2?x1x1 ?x1?(2p?)?(x2?x1)?0,?AC/AB,即A,B,C三点共线。 2p2p ? (2)由(1)知直线AB过定点C,又由OM?AB?0及AM,?BM(?R)知OM?AB,垂 222 足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆,除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x+(y-p)=p(x?0,y?0)。 5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。13.圆锥曲线中线段的最值问题: ? 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与
39、到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ 35 (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PH?PF,当A、P、F三点共线时,距离和最小。 (5)直角三角形的内切圆半径(2)B在抛物线内,如图,作QR?l交于R,则当B、Q、R时,距离和最小。 解:(1)(2,2)(2)( x 2 tanA的值越大,梯子越陡,A越大;A越大,梯子越陡,tanA的值越大。14 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.,1) (5)切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.1、已知椭圆C1的方程为 4 ?y 一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习,分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。2 二次方程的两个实数根?1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程; (2) 若直线l:y?kx? 10、做好培优扶差工作,提高数学及格率,力争使及格率达95%。2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A 7、课堂上多设计一些力所能及的问题,让他们回答,并逐步提高要求。36
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