最新高中数学导数知识点归纳总结优秀名师资料.doc
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1、高中数学导数知识点归纳总结篇一:高中数学导数知识点归纳总结 核心出品 必属精品 免费下载导 数 考试内容: 导数的背影(导数的概念(多项式函数的导数(利用导数研究函数的单调性和极值(函数的最大值和最小值(考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景(2)理解导数的几何意义(3)掌握函数,y=c(c为常数)、y=xn(n?N+)的导数公式,会求多项式函数的导数(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值( 14. 导 数 知识要点 1. 导数(导函数的简称)的定义:设x0
2、是函数y?f(x)定义域的一点,如果自变量x在x0处有增量?x,则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0?x)?f(x0);比值 ?y?xlim 1 ?x?0 ? f(x0?x)?f(x0) ?x ?y?x ?lim ?x?0 称为函数 y?f(x) 在点x0到x0 ?x 之间的平均变化率;如果极限 f(x0?x)?f(x0) ?x 存在,则称函数y ?f(x) 在点x0处可导,并把这个极限叫做 y?f(x)在x0 处的导数,记作 f(x0) ' 或y' 2 |x?x ,即 f(x0) ' = lim ?x?0 ?y?x ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0)
3、?x . 注:?x是增量,我们也称为“改变量”,因为?x可正,可负,但不为零. ?以知函数y ?f(x) 定义域为A,y ?f(x) ' 的定义域为B,则A与B关系为A ?B . 3 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系: ?函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果y?f(x)在点x0处可导,那么y?f(x)点x0处连续. 事实上,令x?x0?x,则x?x0相当于?x?0. 于是 lim x?x0 f(x)?lim ?x?0 f(x0?x)?limf(x?x0)?f(x0)?f(x0) ?x?0 f(x0)?f(x
4、0)?0?f(x0)?f(x0). ' ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x ?f(x)点x0 ?x?f(x0)?lim f(x0?x)?f(x0) ?x ?lim?lim 4 ?x?0 ?x?0 ?x?0 ?如果y例: ?y?x 处连续,那么y ?f(x) 在点x0处可导,是不成立的. ?0 f(x)?|x|在点x0?0处连续,但在点x0 ?1 处不可导,因为 ?y?x ? |?x|?x ,当?x,0时, ?1;当?x,0时, ?y?x ,故 lim ?x?0 ?y?x 5 不存在. 注:?可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ?可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3.
5、 导数的几何意义: 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y也就是说,曲线 ' ?f(x) 在点(x0, f(x) ' 处的切线的斜率,切线方程为 y?f(x) 在点P (x0,f(x) 处的切线的斜率是 f(x0) y?y0?f(x)(x?x0). 4. 求导数的四则运算法则: (u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x) ' ' ' 6 ' ' ' ' ' ' '''' (uv)?vu?vu?(cv
6、)?cv?cv ' ' ' ?cv(c为常数) ' ?u?v? ? vu?vuv 2 (v?0) 注:?u,v必须是可导函数. ?若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如:设 7 f(x)?2sinx? 2x ,g(x)? cosx? 2x ,则 f(x),g(x) 在x ?0 处均不可导,但它们和 f(x)?g(x)?sinx?cosx ?0 在x处均可导. fx(?(x)?f(u)?(x) ' ' ' 5. 复合函数的求导法则:或y'x ?y ' u ?
7、u 8 ' x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ?函数单调性的判定方法:设函数y增函数;如果 f(x) ' ?f(x) 在某个区间内可导,如果 f(x) ' ,0,则y ?f(x) 为 ,0,则y ?f(x) 为减函数. ?常数的判定方法; 如果函数y注:?都有 ?f(x) 在区间I内恒有 f(x) ' 9 =0,则y ?f(x) 为常数. ?2x 3 f(x)?0 是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如y f(x)?0 在(?,?)上并不是 f(x)?0 ,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样是f(x)递减的充
8、分非必 要条件. ?一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法:(极值是在x0附近所有的点,都有f(x),f(x0),则f(x0)是函数f(x)的极大值,极小值同理) 当函数f(x)在点x0处连续时, ?如果在x0附近的左侧?如果在x0附近的左侧 f(x) ' 10 ,0,右侧,0,右侧 f(x) ' ,0,那么,0,那么 f(x0)是极大值; f(x0)是极小值. ' f(x) ' f(x) ' 也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号,
9、而不是 ? f(x) =0. 此外,函数不 ? 可导的点也可能是函数的极值点. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注?: 若点x0是可导函数 f(x) 的极值点,则 11 f(x) ' =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数,其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数y ?f(x)?x 3 ,x ?0 使 f(x) ' =0,但x ?0 不是极值点. ?0 ?例如:函数y?f(x)?|x|,在点x?0处不可导,但点x是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是
10、在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: I.C' 12 ?0 (C为常数) (sinx)?cosx ' (arcsinx)? ' 1?x 2 (x)?nx n'n?1 (n?R)(cosx)?sinx (arccos ' x)? ' 1?x 2 II. (lnx)? ' 1x (log a x)? 13 ' 1x log a e(arctan x)? x ' 1 2 ?1 (e x ) ' ?e x (a)?a x'x lna
11、(arccotx)? ' 1x 14 2 ?1 III. 求导的常见方法: ?常用结论:(ln?形如y |x|)? ' 1x . 或y ? (x?a1)(x?a2).(x?an)(x?b1)(x?b2).(x?bn) ?(x?a1)(x?a2).(x?an) 两边同取自然对数,可转化 求代数和形式. ?无理函数或形如y yy ' ?x x 这类函数,如y ' ?x x 取自然对数之后可变形为ln 15 ' x x y?xlnx ,对两边 求导可得 ?lnx?x? 1x ?y?ylnx?y?y?xlnx?x. 篇二:高中数学导数知识点归纳总结及例题 导 数
12、 考试内容: 导数的背影(导数的概念(多项式函数的导数(利用导数研究函数的单调性和极值(函数的最大值和最小值(考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景(2)理解导数的几何意义(3)掌握函数,y=c(c为常数)、y=xn(n?N+)的导数公式,会求多项式函数的导数(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值( 14. 导 数 知识要点 16 1. 导数(导函数的简称)的定义:设x0是函数y?f(x)定义域的一点,如果自变量x在x0处有增量?x,则函数值y也引起相应的增
13、量?y?f(x0?x)?f(x0);比值?yf(x0?x)?f(x0) 称为函数y?f(x)在点x0到x0?x之间的平均变化率;如果极限? ?x?xf(x0?x)?f(x0)?y 存在,则称函数y?f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做?lim ?x?0?x?x?0?xlim y?f(x)在x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x?x0,即f'(x0)=lim f(x0?x)?f(x0)?y . ?lim ?x?0?x?x?0?x 注:?x是增量,我们也称为“改变量”,因为?x可正,可负,但不为零. ?以知函数y?f(x)定义域为A,y?f'(x)的定义域为B
14、,则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系: ?函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果y?f(x)在点x0处可导,那么y?f 17 (x)点x0处连续. 事实上,令x?x0?x,则x?x0相当于?x?0. 于是limf(x)?limf(x0?x)?limf(x?x0)?f(x0)?f(x0) x?x0 ?x?0 ?x?0 f(x0?x)?f(x0)f(x0?x)?f(x0) ?x?f(x0)?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0). ?x?0?x?0?x?0
15、?x?0?x?x?如果y?f(x)点x0处连续,那么y?f(x)在点x0处可导,是不成立的. ?lim 例:f(x)?|x|在点x0?0处连续,但在点x0?0处不可导,因为?y?y?y 不存在. ?1;当?x,0时,?1,故lim ?x?0?x?x?x ?y|?x| ,当?x,0时,? ?x?x 注:?可导的奇函数函数其导函数为偶函数.?可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率,也就是说,曲线y?f(x)在点P(x0,f(x)处的切线的斜率是f'(x0),切线方程为18
16、y?y0?f'(x)(x?x0). 4. 求导数的四则运算法则: (u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?.?fn'(x) (uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'(c为常数) vu'?v'u?u? (v?0) ? v2?v? ' 注:?u,v必须是可导函数. ?若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 2
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