最新高中数学导数知识点归纳总结及例题优秀名师资料.doc
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1、高中数学导数知识点归纳总结及例题导 数 考试内容: 导数的背影(导数的概念(多项式函数的导数(利用导数研究函数的单调性和极 )了解导数概念的某些实际背景(2)理 值(函数的最大值和最小值(考试要求:(1解导数的几何意义(3)掌握函数,y=c(c为常数)、y=xn(n?N+)的导数公式,会求 多项式函数的导数(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导 数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值(5) 会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值( ?14. 导 数 知识要点 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 导 常见函数的导数 数 导数的运算 导数的运算
2、法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 1. 导数(导函数的简称)的定义:设 x0 是函数 y f (x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x0 处有增量 x ,则函数值 y 也引起相应的增量 y f (x0 , x) , f (x0 ) ;比值 y f (x , x) , f (x ) 0 0 称为函数 y f (x) 在点 x 到 x , x 之间的平均变化率;如果极 x x 0 0 y f (x0 , x) , f (x0 ) 限 lim lim 存在,则称函数 y f (x) 在点 x0 处可导,并把这个 x 0 x x 0 x 1极限叫做 y f (x) 在 x 处
3、的导数,记作 f (x ) 或 y | ,即 f (x ) = 0 0 x x0 0 y f (x , x) , f (x ) lim lim 0 0 . x 0 x x 0 x 注:? x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 x 可正,可负,但不为零. ?以知函数 y f (x) 定义域为 A , y f (x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A B . 2. 函数 y f (x) 在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系: ?函数 y f (x) 在点 x0 处连续是 y f (x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果 y f (x) 在点 x0 处可导,那
4、么 y f (x) 点 x0 处连续. 事实上,令 x x0 , x ,则 x x0 相当于 x 0 . 于是 lim f (x) lim f (x0 , x) lim f (x , x0 ) , f (x0 ) , f (x0 ) x x0 x 0 x 0 f (x0 , x) , f (x0 ) f (x0 , x) , f (x0 ) lim x , f (x0 ) lim lim , lim f (x0 ) f (x0 ) 0 , f (x0 ) f (x0 ). x 0 x x 0 x x 0 x 0 ?如果 y f (x) 点 x0 处连续,那么 y f (x) 在点 x0 处可导
5、,是不成立的. y | x | 例: f (x) | x | 在点 x 0 处连续,但在点 x 0 处不可导,因为 ,当 x ,0 0 0 x x y y y 时, 1;当 x ,0时, ,1 ,故 lim 不存在. x x x 0 x 注:?可导的奇函数函数其导函数为偶函数.?可导的偶函数函数其导函数为奇 函数. 3. 导数的几何意义: 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x) 处的切线 的斜率,也就是说,曲线 y f (x) 在点P (x0 , f (x) 处的切线的斜率是 f (x0 ) ,切线方 程为 y , y0 f
6、(x)(x , x0 ). 4. 求导数的四则运算法则: (u v) u v y f1 (x) , f 2 (x) , ., f n (x) y f1 (x) , f 2 (x) , ., f n (x) (uv) vu , v u (cv) c v , cv cv ( c 为常数) 2 u vu , v u (v 0) v v 2 注:? u, v 必须是可导函数. ?若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们 的和、差、积、商不一定不可导. 2 2 例如:设 f (x) 2 sin x , , g(x) cos x , ,则 f (x), g(x) 在 x 0
7、处均不可导,但它们和 x x f (x) , g(x) sin x , cos x 在 x 0 处均可导. 5. 复合函数的求导法则: f x ( (x) f (u) (x) 或 y x y u u x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ?函数单调性的判定方法:设函数 y f (x) 在某个区间内可导,如果 f (x) ,0,则 y f (x) 为增函数;如果 f (x) ,0,则 y f (x) 为减函数. ?常数的判定方法; f (x) 在区间 I 内恒有 f (x) =0,则 y f (x) 为常数. 如果函数 y 3 注:? f (x) 0 是f(x)
8、递增的充分条件,但不是必要条件,如 y 2x 在 (, , ) 上并 不是都有 f (x) 0 ,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样 f (x) 0 是f(x)递减的充分非必要条件. ?一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那 么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法:(极值是在 x0 附近所有的点,都有 f (x) , f (x0 ) ,则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极大值,极小值同理) 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时, ?如果在 x0 附近的左侧 f (x) ,0,右侧 f (x) ,0,那
9、么 f (x0 ) 是极大值; 3 ?如果在 x0 附近的左侧 f (x) ,0,右侧 f (x) ,0,那么 f (x0 ) 是极小值. ? 也就是说 x0 是极值点的充分条件是 x0 点两侧导数异号,而不是 f (x) =0 . 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点?. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比 极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注?: 若点 x0 是可导函数 f (x) 的极值点,则 f (x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为 零. 例如:函数 y f (x
10、) x 3 , x 0 使 f (x) =0,但 x 0 不是极值点. ?例如:函数 y f (x) | x |,在点 x 0 处不可导,但点 x 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函 数值进行比较.注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: 1 I. C 0 ( C 为常数) (sin x) cos x (arcsin x) 1, x 2 n n,1 1 (x ) nx ( n R ) (cos x) , sin x (arccos x) , 1, x 2 1 1 1 II. (ln x) (log x) log
11、e (arctan x) x a x a x 2 ,1 1 (e x ) e x (a x ) a x ln a (arc cot x) , x 2 ,1 III. 求导的常见方法: 1 (x , a1 )(x , a2 ).(x , an ) ?常用结论: (ln | x |) .?形如 y (x , a1 )(x , a2 ).(x , an ) 或 y x (x , b1 )(x , b2 ).(x , bn ) 两边同取自然对数,可转化求代数和形式. 4?无理函数或形如 y x x 这类函数,如 y x x 取自然对数之后可变形为 ln y x ln x , y 1 对两边求导可得 l
12、n x , x y y ln x , y y x x ln x , x x . y x 导数中的切线问题 例题1:已知切点,求曲线的切线方程 曲线 y x3 , 3x2 ,1 在点 (1, ,1) 处的切线方程为( ) 例题2:已知斜率,求曲线的切线方程 与直线 2x , y , 4 0 的平行的抛物线 y x2 的切线方程是( ) 注意:此题所给的曲线是抛物线,故也可利用 法加以解决,即设切线方程 为 y 2x , b ,代入 y x2 ,得 x2 , 2x , b 0 ,又因为 0 ,得 b ,1 ,故选,( 例题3:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先
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