最新高中数学导数知识点归纳优秀名师资料.doc
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1、高中数学导数知识点归纳导数及其应用 一,导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数在处的瞬时变化率是yfx,()xx,0fxxfx()(),,00, lim,x0,x,y|我们称它为函数在处的导数,记作戒, yfx,()xx,fx()xx,000fxxfx()(),,00,即= fx()lim0,x0,xPPT2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时,直线不曲线相切。容易Pnfxfx()(),n0k,P知道,割线的斜率是,当点趋近于时,函数在处的导yfx,()PPPxx,nnn0xx,n0fxfx()(),n0,kfx,lim()数就是切线PT的斜
2、率k,即 0,x0xx,n0,3. 导函数:当x变化时,便是x的一个函数,我们称它为的导函数. 的导函数有fx()fx()yfx,()fxxfx()(),,时也记作,即 yfx()lim,x0,x例一: f,,x,ff,,x,f(1)(1)(1)(1)/若,则= ,= ,f(1),2012limlim,x,0,x,0,x,xf(1),f(1,,x)f,,x,f(12)(1)lim= , = 。 lim,x,0,x,04,x,x二.导数的计算 1,基本初等函数的导数公式: ,1,2 若,则; fxx(),fxx(),3 若,则 fxx()sin,fxx()cos,4 若,则; fxx()cos,
3、fxx()sin,xx,5 若,则 fxa(),fxaa()ln,xx,6 若,则 fxe(),fxe(),1xfx()log,7 若,则 fx(),axaln1,8 若,则 fxx()ln,fx(),x2,导数的运算法则 1,f(x)?g(x),f(x)?g(x); ,2. ()()()()()()fxgxfxgxfxgx,,,fxfxgxfxgx()()()()(),3. ,2gxgx()()3,复合函数求导 xy和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数 yfu,()ugx,()yfgx,(), yfgxgx,()()一、知识自测: 1、几个常用函数的导数: 2,1,f(x)=C,则f
4、(x)=_ ,2,f(x)=x,则f(x)=_ ,3,f(x)=,则f(x)=_ x1,4,f(x)=,则f(x)=_ ,5,f(x)=,则f(x)=_ xx2、基本初等函数的导数公式: a,1,f(x)=C,C为常数,,则f(x)=_ ,2,f(x)=,则f(x)=_ x(a,Q),3,f(x)=sinx,则f(x)=_ ,4,f(x)=cosx,则f(x)=_ xx,5,f(x)=,则f(x)=_ ,6,f(x)=,则f(x)=_ ealnx,7,f(x)=,则f(x)=_ ,8,f(x)=,则f(x)=_ logxa3、导数的运算法则: ,f(x),g(x)已知的导数存在,则:,1, f
5、(x),g(x),_f(x),,2, ,3,_ ,f(x),g(x),_,g(x)二、典型例题 例1、求下列函数的导数15(1)y,x(2)y,5(3)y, x(4)y,lnx(5)y,logx(6)y,cosx21、求下列函数的导数:5(1)y,x1 (2)y,5xx(3)y,55(4)y,e例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数, 3,1, yxx,,2311,2,; y,11,,xx,3,; yxxx,sinlnx,4,; y,x41ln,x,5,, y,1ln,x2x,6,; yxxe,,,(251)sincosxxx,,7, y,cossinxxx,332解
6、:(1), yxxxxx,,,,,(23)()(2)(3)322。 yx,32(1)(1),,xx11(2) ,y,()()22(1)(1),,xx11,,xx11,22xx, 22(1)(1),,xx111,, 222(1)(1)xxx,,221(1)(1),,xx ,2(1),x2x(1),xx ,2xx(1),(1),xx y,2xx(1),(3) yxxxxxx,(sinln)(ln)sin ,,,(ln)sin(ln)(sin)xxxxxx1 ,,,,,(1ln)sin(ln)cosxxxxxxx,,,,,sinlnsinlncosxxxxxx yxxxxxx,,,,,sinlnsi
7、nlncosxxxxxxxxx,4(4)144ln41ln4(4)y,(), xxxx224(4)(4)41ln4,x。 y,x411ln212,xx(5) y,,,()(1)2()2221ln1ln1ln(1ln)(1ln),xxxxxx2 y,2xx(1ln),22xx(6) yxxexxe,,,,,,,(251)(251)()xxx22, ,,,,,(45)(251)(24)xexxexxe2x。 yxxe,(24)sincosxxx,(7) y,()cossinxxx,(sincos)(cossin)(sincos)(cossin)xxxxxxxxxxxx,,,,, 2(cossin)
8、xxx,(coscossin)(cossin)(sincos)(sinsins)xxxxxxxxxxxxxcox,,,,,, ,2(cossin)xxx,xxxxxxxxxcoxsin(cossin)(sincos)s,,, ,2(cossin)xxx,2x, 2(cossin)xxx,lnxxx21、 2、 3、 y,elnxy,2y,3x,xsinxx,12x,2x,3,sin2x2(1) ,2, ,3, y,3y,sin(2x,)y,lnx3122,4, ,5, ,6, y,x1,xy,log(2x,3x,1)y,24(1,3x)四,课堂练习 31、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法
9、则,求函数()=-2+3的导数。 fxxx2、求下列函数的导数: 3 (1)y,x,sinx42 (2)y,x,x,x,332 (3)y,2x,3x,5x,42 (4)y,(2x,3)(3x,2)2x(),5ysinx sinx(),6ycosx三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性不导数: 一般的,函数的单调性不其导数的正负有如下,关系: ,在某个区间内,如果,那么函数在这个区间单调递增; (,)abfx()0,yfx,(),如果,那么函数在这个区间单调递减. fx()0,yfx,()Ps:二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f,x,的导数y,=f,,x
10、,仍然是x的函数,则y,=f,,x,的导数叫做函数y=f,x,的二阶导数。 几何意义 ,1,切线斜率变化的速度 ,2,函数的凹凸性,例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧, 2.函数的极值,局部概念,不导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数的极值的方法是: yfx,(),(1) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; fx()0,fx()0,xfx()00,(2) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值; fx()0,fx()0,xfx()00(3) 若f,,x,=0,则在该点函数不增不减,可能为极值,也可能就为一过渡点。 4.函数的最大(小)值不导数 函数极大值不最大值之间的
11、关系. 求函数在上的最大值不最小值的步骤 yfx,(),ab,1, 求函数在内的极值; yfx,()(,)ab,2, 将函数的各极值不端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最yfx,()fa()fb()小的是最小值. 可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数 III. 求导的常见方法: 1(ln|x|),? 常用结论:. x(x,a)(x,a).(x,a)12ny,?形如戒两边同取自然对数,可转化求代数和y,(x,a)(x,a).(x,a)12n(x,b)(x,b).(x,b)12n形式. xx 无理函数戒形如这类函数,如取自然对数之后可变形为,对两边求导可?lny,
12、xlnxy,xy,xy1xx,lnx,x,y,ylnx,y,y,xlnx,x得. yx利用导数研究函数的图象 /f(x)1, f,x,的导函数 的图象如右图所示,则f,x,的图象只可能是, D , ,A, ,B, ,C, ,D, 13y,x,4x,1的图像为32,函数( A ) y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2 2 2 -4 -2 o o 2 4 x o 2 4 x y 2 4 x o x -4 -2 -4 -2 2 4 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 322x,6x,7,0在(0,2)内根的个数为3,方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 专题
13、8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 13,例1. 是的导函数,则的值是 。 fx()f(1),fxxx()21,,32 解析:,所以 ,f,1,1,2,3,fx,x,2答案:3 考点二:导数的几何意义。 1例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是,则yfx,()Mf(1(1),yx,,22, 。 ff(1)(1),,115 解析:因为,所以,由切线过点,可得点M的纵坐标为,所以k,f,1,Mf(1(1),2225f1,,所以 ,f1,f1,32答案:3 32例3.曲线在点处的切线方程是 。 (13),,yxxx,,2422k,3,4,4,5解析:,点处切线的斜率为,所以设切线方程
14、为(13),,?y,3x,4x,4b,2,将点带入切线方程可得,所以,过曲线上点处的切线方程为:y,5x,b(13),,(13),,5x,y,2,0答案: 5x,y,2,0点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 32例4.已知曲线C:,直线,且直线l与曲线C相切于点,求l:y,kx,x,yx,0y,x,3x,2x000l直线的方程及切点坐标。 y320,y,x,3x,2xk,x,0解析:直线过原点,则。由点在曲线C上,则,x,y?0000000x0y202,x,3x,2 。又, 在处曲线C的切线斜率为,x,y?y,3x,6x,20000x0222,k,fx
15、,3x,6x,2x,3x,2,3x,6x,2, ,整理得:,解?2x,3x,00000000003131k,l得:或(舍),此时,。所以,直线的方程为,切点x,y,y,xx,0000284433,坐标是。 ,28,331,l答案:直线的方程为,切点坐标是 y,x,284,点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四:函数的单调性。 32例5.已知在R上是减函数,求的取值范围。 ,fx,ax,3x,x,1a2x,R解析:函数的导数为。对于都有时,为减函数。,fxfx
16、,0fx,fx,3ax,6x,1a,0,2由可得,解得a,3。所以,当a,3时,函数,fx,3ax,6x,1,0x,R,36,12a,0,对x,R为减函数。 318,323313(1) 当a,3时,。 fx,x,x,x,,x,,,39,3由函数a,3x,R在R上的单调性,可知当是,函数对为减函数。 ,fxy,x(2) 当a,3时,函数在R上存在增区间。所以,当a,3时,函数在R上不是单,fxfx调递减函数。 a,3综合(1)(2)(3)可知。 a,3答案: 点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。 考点五:函数的极值。 32x,1x,2例6. 设函数在及时
17、取得极值。 fxxaxbxc()2338,,(1)求a、b的值; 2(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围。 x,03,fxc(),2,x,1x,2解析:(1),因为函数在及取得极值,则有,fx()f(1)0,fxxaxb()663,,6630,,ab,,b,4a,3(即,解得,。 f(2)0,(241230,,ab,322,(2)由(?)可知,。 fxxxxc()29128,,fxxxxx()618126(1)(2),,,x,1当时,;当时,;当时,。所以,当时,x,(01),fx()0,x,(12),fx()0,x,(23),fx()0,x,03,取得极大值,又,。则当时,的最大值为
18、fx()fx()fc(1)58,,fc(0)8,fc(3)98,,,2x,03,。因为对于任意的,有恒成立, fc(3)98,,fxc(),2c,1c,9所以 ,解得 或,因此的取值范围为。 98,,cc(1)(9),,,,:cb,4a,3答案:(1),;(2)。 (1)(9),,,,:点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤:?求导数; ,fxfx?求的根;?将的根在数轴上标出,得出单调区间,由在各区间上取值的,fx,0fx,0fx正负可确定并求出函数的极值。 ,fx考点六:函数的最值。 2例7. 已知为实数,。求导数;(2)若,求在区间,fxf,1,0fx,2,2,afx,
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