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1、北师大版教材高中数学常用公式及知识点记忆检测(必修1必修5及选修2-1)编者:qianshanwancheng时间:2012-2-11,星期六目录必修13必修27必修310必修413必修518选秀2-122后记28必修1 集 合 1.集合的基本运算; 2. .集合的包含关系:; 3.识记重要结论: ;4对常用集合的元素的认识中的元素是方程的解,即方程的解集;中的元素是不等式的解,即不等式的解集;中的元素是函数的函数值,即函数的值域;中的元素是函数的自变量,即函数的定义域;中的元素可看成是关于的方程的解集,也可看成以方程的解为坐标的点,为点的集合,是一条直线。5. 集合的子集个数共有 个;真子集
2、有1个;非空子集有1个;非空的真子集有2个.6.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.7.闭区间上的二次函数的最值问题:二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系。二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:(1)当a0时,若,则;,.(2)当a0和x0和x0上具有相同的单调区间。判断函数奇偶性可用定义的等价形式:或者奇偶函数的图象特征:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
3、那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.4.函数的图象的对称性:函数的图象关于直线对称.5.两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(3)指数函数和的图象关于直线y=x对称.6.若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象;若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象.7互为反函数的两个函数的关系:.8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型(1)正比例函数,.(2)
4、指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数,. 9.对于,的图象,了解它们的变化情况如右下图:10.几个函数方程的周期对时,则的周期为的周期函数或恒成立,则是周期为的周期函数若是偶函数,其图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数若是奇函数,其图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数对时,或,则的周期的周期函数图象11. 函数图像变换12.分数指数幂 :(1)(,且);(2)(,且).13根式的性质:(1);(2)当为奇数时,;当为偶数时,.14有理指数幂的运算性质(1);(2);(3).15.指数式与对数式的互化式: .16.对数的换底公式 : (,且,且, ).推
5、论 (,且,且, ).17对数有关性质:的符号有口诀“同正异负”记忆;对数恒等式:;设函数,记.若的定义域为,则,且;若的值域为,则,且.对于的情形,需要单独检验.;18. 对数函数的图像和性质分析:的符号1xyo1图像定义域值域单调性在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数过定点函数值的分布情况时,;时,时,;时 ,指数函数的图像和性质分析:的符号图像1yxo1o1x1y定义域值域单调性在上是增函数在上是减函数过定点函数值的分布情况时,;时, 时,;时,19. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.必修2 立体几何初步1.常用公理和定理公理1:如
6、果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4:平行于同一条直线的两条直线平行定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行两个平面平行,则任意一个
7、平面与这两个平面相交所得的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直2.三余弦定理(最小角定理:立平斜公式)设AB与平面所成的角为,AC是内的任一条直线,且AC与AB的射影AB/所成的角为,图AB/与AC所成的角为则.如右图。3. 面积射影定理: . (平面多边形及其射影的面积分别是、,它们所在平面所成锐二面角的为).如图。4. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,因此有;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有图。(线线面12)5棱锥的平行截面的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截
8、面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比)6球的半径是R,则其体积,其表面积;球的半径(R),截面圆半径(),球心到截面的距离为()构成直角三角形,因而有关图系:,它们是计算球的关键所在,如图.7.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是
9、正方体的体对角线长. 8柱体、锥体的体积(是柱体的底面积、是柱体的高);(是锥体的底面积、是锥体的高). 解析几何初步1.斜率公式 一般两点斜截距(、);直线的一个方向向量为2.直线的五种方程(1)点斜式 (直线过点,且斜率为)(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距).(3)两点式 ()(、 ().(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距,)(5)一般式 (其中A、B不同时为0).3.两条直线的平行和垂直 (1)若,则有; .(2)若,且A1、A2、B1、B2都不为零,;有谁垂(吹)谁(3)直线:中,若,则垂直于轴;若,则垂直于轴。4四种常用直线系(具有共同特征的一族直线)方程(1)定点直线系方
10、程:经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点的直线系方程为(除),其中是待定的系数(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是(),是参变量(4)垂直直线系方程:与直线 (A0,B0)垂直的直线系方程是,是参变量5.点到直线的距离 (点,直线:).6. 圆的三种方程(1)圆的标准方程 ;(2)圆的一般方程 (0).(3)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).7.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若,则点在圆外;点在圆上;点在圆内.8.直线与圆的位
11、置关系:直线与圆的位置关系有三种:;.其中.9.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,;.10.圆的切线方程:已知圆过圆上的点的切线方程为;11.空间直角坐标系中点的坐标及距离公式:3.设A,B,则.必修三统计1. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它的主要特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常常用于总体个数较多时,它的主要特征就是均衡成若干部分,每一部分只取一个;分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的
12、比相等或相近。即:或者 2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较类 别共同点各自特点联 系适 用范 围简 单随 机抽 样(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等(2)每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少将总体均分成几部 分,按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分样时采用简随机抽样总体个数较多系 统抽 样将总体分成几层,分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成分 层抽 样3.总体分布的估计:用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图.4. 用
13、样本的数字特征估计总体的数字特征中位数:算出来可避免极端数据,代表着数据总体的中等情况。 ( 如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中间的那个数 ; 如果总数个数是偶数个的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数)众数: 一般来说,一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数。 例如:1,2,3,3,4的众数是3。 但是,如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的,那么这几个数都是这组数据的众数。 例如:1,2,2,3,3,4的众数是2和3。 还有,如果所有数据出现的次数都一样,那么这组数据没有众数。 例如:1,2,3,4,5没有众数。样本平均数:;样本方差:;样本数据x1,x2,
14、 xn的标准差 5. 回归直线必过样本平均点,其中为斜率,如,则变量每增加1个单位时,变量平均减少1个单位;线性回归方程方程为系数公式: , 。算法初步1. i=i+1 画出计算的程序框图,如图; 对图,若输入,则执行程序后输出y的值为:_图图6. 或(其中A、B不同时为0).所表示的平面区域设直线,则或所表示的平面区域是:是0,(0,1)、(1,0)试非0,(0、0)试若,则用原点试,结果适合不等式,表示原点所在的平面区域就是。否则,边界的另一区域才是;若,则用点或者试,方法同上。选修2-1常用逻辑用语1.真值表(表1)非或且真真假真同真为真同假为假真假相对真真假假真假假真真真假假假(5)直
15、角三角形的内切圆半径真同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。假(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.假切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.2.常见结论的否定形式(见表2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.原结论3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识,体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论,是人类文明的结晶,体会数学与人类历史的发展是息息相关。反设词圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.原结论6 确定圆的条件:反设词(三)实践活动是不是至少有一个一个也没有弦和直径: 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径:经过圆心的
16、弦叫做直径。都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有()个小于不小于至多有个至少有()个对所有,成立存在某,不成立或且对任何,不成立存在某,成立且或12.四种命题的相互关系如下图所示否交换位置 同时否定一个命题一种形式两样说法13.充要条件(1)若,则说是的充分条件,同时是的必要条件(2)充要条件:若,且,则是的充要条件.另外:如果条件最终都可化为数字范围,则可转化为集合的包含关系来刻画,二者逻辑关系一目了然。小充分 大必要 等充要设,1 若,则是的充分不必要条件;2 若,则是的必要不充分条件;若,则是的充要条件。 空间向量与立体几何1.空间向量的直角坐标运算律(1)若,; 。夹
17、角:(规定:)模长公式: ,2.若,如下图,则.3.直线的方向向量: 我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量.4.平面的法向量:如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面则称这个向量垂直于平面,记作,如果,那么向量叫做平面的法向量。5.用向量描述空间线面关系:设空间两条直线的方向向量分别为,两个平面的法向量分别为,则由如下结论空间线面关系平 行垂 直与与与6.法向量在求面面角中的应用:原理:一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。7.法向量在求线面角中的应用:原理:设平面的斜线l与平面所的角为1,斜线l与平面的法向量所成角2,则1与2互余或与2的补
18、角互余。8.利用向量求二面角的大小。方法一:转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意:要特别关注两个向量的方向)如图:二面角-l-的大小为,A,Bl,AC,BD, ACl,BDl 则= 方法二:先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离,然后通过解直角三角形求角。如右图:已知二面角-l-,在内取一点P, 过P作PO,及PAl,连AO,则AOl成立,PAO就是二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|,然后解三角形PAO 求出PAO。方法三:转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如右图P为二面角-l-内一点,作PA, PB,则APB与
19、二面角的平面角互补。 圆锥曲线与方程1.椭圆定义:;(即,注意)3 设是椭圆上任意一点,且,则有.下表是椭圆的标准方程及几何性质。标准方程图形xyF1F2OA1A21B21B1F1F2yxOB1范围|x|a,|y|b|x|b,|y|a对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标焦点坐标半长轴长半轴椭长为,短半轴长为焦距焦距为 关系离心率 分母较大者的分子是谁,焦点就在谁轴上(1)椭圆焦半径公式:,;(2)椭圆的的内外部:点在椭圆的内部;点在椭圆的外部;椭圆与直线相切的条件是.2.双曲线定义:,(即,注意,其中为同一象限内的实顶点、虚顶点,为坐标原点。)设是双曲线上任意一点,且,则有
20、设是双曲线上任意一点,有(当且仅当点落在顶点时取到等号。)下表是其标准方程及几何意义。标准方程图形范围或者或者对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标焦点坐标半长轴实半轴长为,虚半轴长为焦距焦距为 关系离心率 渐近线平方项为正者的分子是谁,焦点就在谁轴上(1)双曲线的焦半径公式:,;(2)双曲线的内外部: 点在双曲线的内部;点在双曲线的外部;双曲线与直线相切的条件是.3. 抛物线的焦点弦(过焦点的弦)为,则有如下结论:焦半径公式:;焦点弦长;通径长为;,.抛物线的内外部:1 点在抛物线的内部;点在抛物线的外部;抛物线上的动点可设为P,可简化计算。 抛物线的切线方程:1 抛物线上
21、一点处的切线方程是;抛物线与直线相切的条件是.四大方程 四条规律:一次项是啥,对称轴是啥轴;一次项系数的正负,代表开口方向的上下或右左;焦点坐标一个是0,另一非0,且刚好是 一次项系数的;准线方程的数值刚好是焦点的非0坐标的相反数。.抛物线:平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形方程焦点准线图形4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或(弦端点A,由方程 消去y得到,,为直线的斜率);中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为;处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设A为椭圆上不同两点,是中点,则;对于双曲线,类似可得:;对于抛物线有.5.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线关于点成中心对称的曲线是.(2)曲线关于直线成轴对称的曲线是(其中这里的跟的相同)后记依据本人10多年的一线高中数学教学经历和经验,整理了北师大版教材必修1必修5以及选修2-1的各章节常用公式及知识点,形成该资料。有目录,按章节顺序编排。对于教师上课、出试卷、编排教案、制作课件等工作大有帮助。将会带来很大的方便,以致于节省更多的时间投入科研或家庭生活。对于同学们,也是学习中现成的系统化的好材料,不仅将给学习带来很大的收获,同时为自己节省更多时间,投入数学更多的别的方面的学习时间。由于本人水平有限,失误和错误之处在所难免,恳请读者批评指正,谢谢!未完待续
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