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1、高中数学必修1集合与函数知识点总结高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 NN表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集. ZR,NQ,(3)集合与元素间的关系 aM,aM,对象与集合M的关系是,或者,两者必居其一. a(4)集合的表示法 ?自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ?列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ?描述法:|具有的性质,其中为集合的代表元素. xxx?图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的
2、分类 ?含有有限个元素的集合叫做有限集.?含有无限个元素的集合叫做无限集.?不含有任何元素的集合,叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 A (1)A,A,B (或A中的任一元素都属,A(2) A(B)子集 BA于B A,BBC,AC,(3)若且,则 B,A)或 A,BBA,AB,(4)若且,则 AB (A为非空子集) (1),A,A,B,且B中至少真子集 BA有一元素不属于A (或BA) (2)若且,则 ,AB,BC,AC, A中的任一元素都属,(1)AB 集合 A(B)于B,B中的任一元素AB, ,(2)BA 相等 都属
3、于A nnnA221,21,(7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,nn(1),n22,它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 AAA:,(1) |,xxA,且AB:A:,(2) 交集 AB ABA:,(3) xB, ABB:, AAA:, (1)|,xxA,或AA:,AB:(2) 并集 BA xB, ABA:,(3) ABB:, AA:(),U 1|,xxUxA,且痧()()()ABAB:, UUUA补集 U 痧ABAB:, ()()()UUUAAU:(), U2 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二
4、次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 |(0)xaa,|xaxa, xxa|,xa,|(0)xaa,或 |xa,axb,看成一个整体,化成,把|,|(0)axbcaxbcc,,,, |(0)xaa,型不等式来求解 (2)一元二次不等式的解法 判别式 ,0,0,02 ,bac4 二次函数2yaxbxca,,,(0)O的图象 2一元二次方程,bbac4x,1,2b22axx,无实根 axbxca,,0(0)122a xx,)的根 12(其中 2axbxca,,0(0)b|xxx,xx,x,R12 或 |x2a 的解集 2axbxca,,0(0)|xxxx,12 的解集 1.2
5、函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 fxABA?设、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中任何一个数,fx()BABA在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应(包括集合,以及到ffAB:,BAB的对应法则)叫做集合到的一个函数,记作( ?函数的三要素:定义域、值域和对应法则( ?只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数( (2)区间的概念及表示法 ab,abab,axb,x?设是两个实数,且,满足的实数的集合叫做闭区间,记做;满(,)abaxb,axb,axb,xx足的实数的集合叫做开区间,记做;满足,或的实数,)ab(,abxaxaxb
6、xb,x的集合叫做半开半闭区间,分别记做,;满足的实数,),(,),(,(,)aabb,,,,的集合分别记做( |xaxb,(,)abba注意:对于集合与区间,前者可以大于或等于,而后者必须 ab,( (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: fx()?是整式时,定义域是全体实数( fx()?是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数( fx()?是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合( ?对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1( ,xkkZ,,,(),yx,tan2?中,( ?零(负)指数幂的底数不能为零( fx()?若是由有限个基
7、本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集( fx(),ab?对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知的定义域为,其复合函数fgx()agxb,()的定义域应由不等式解出( ?对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论( ?由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义( (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的(事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值(因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同(求函数值域
8、与最值的常用方法: ?观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值( ?配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或yyfx,()x最值?判别式法:若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程2xy,ay()0,ayxbyxcy()()()0,,,则在时,由于为实数,故必须有2,byaycy()4()()0,从而确定函数的值域或最值( ?不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值( ?换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题( ?反函数法:利用函数和它的反函数的定义
9、域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值( ?数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值( ?函数的单调性法( 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种( 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系(列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系(图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系( (6)映射的概念 fABAB?设、是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中任何一个元素,在集合中都有唯一fABABAB的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合,以及到的对应法则)叫做集合到的映fAB:,射,记作( aAb
10、B,bbaAB?给定一个集合到集合的映射,且(如果元素和元素对应,那么我们把元素叫baa做元素的象,元素叫做元素的原象( 1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ?定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 如果对于属于定义域I内(1)利用定义 y某个区间上的任意两个(2)利用已知函数y=f(X)f(x )2自变量的值x、x,当x 的单调性 121函数的 x时,都有f(x)f(x),那(3)利用函数图象212f(x )单调性 1么就说f(x)在这个区间上(在某个区间图 o是增函数( 象上升为增) xxx12 (4)利用复合函数 (1)利用定义 如
11、果对于属于定义域I内某(2)利用已知函数的yy=f(X)个区间上的任意两个自变量单调性 f(x )1的值x、x,当xf(x),那么就说12(某个区间图 (f(x)在这个区间上是减函数( ox象下降为减) (xx12 (4)利用复合函数 ?在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数( ?对于复合函数,令,若为增,为增,则yfgx,()ugx,()yfu,()ugx,()yfgx,()为增;若为减,为减,则为增;若为增,yfu,()ugx,()yfgx,()yfu,()ugx,()为减,则为减;若为减,为增,则为减(
12、yfgx,()yfu,()ugx,()yfgx,()y afxxa()(0),,,(2)打“?”函数的图象与性质 x分别在、上为增函数,分别在、上fx(),)a,,0),a(0,a(,a为减函数( (3)最大(小)值定义 o x IM ?一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:(1)对于任意的yfx,()xI,,都有; fxM(),M (2)存在,使得(那么,我们称是函数 的最大值,记xI,fxM(),fx()00作fxM(),( max【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ?定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 如果对于函数f(x)定义域内(1)利用定义(要先任意一个
13、x,都有f(,x)=,判断定义域是否关于(f(x),那么函数f(x)叫做奇函函数的 原点对称) (数( 奇偶性 (2)利用图象(图象(关于原点对称) 如果对于函数f(x)定义域内(1)利用定义(要先任意一个x,都有f(,x)=f(x),判断定义域是否关于(那么函数f(x)叫做偶函数( 原点对称) (2)利用图象(图象关于y轴对称) x,0?若函数为奇函数,且在处有定义,则( fx()f(0)0,?奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反( yy?在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数
14、,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数( 补充知识函数的图象 (1)作图 利用描点法作图: ?确定函数的定义域; ?化解函数解析式; ?讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ?画出函数的图象( 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象( ?平移变换 hh,0,左移个单位yfxyfxh,,()()hh,0,|右移|个单位kk,上移个单位0,yfxyfxk,,()() kk,下移|个单位0,|?伸缩变换 01,伸yfxyfx,()(), ,1,缩,01,A缩yfxyAfx,()() A,1,伸?对称变换
15、 y轴x轴 yfxyfx,()()yfxyfx,()()直线yx,原点,1 yfxyfx,()()yfxyfx,()()去掉轴左边图象yyfxyfx,()(|) 保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象yy保留轴上方图象xyfxyfx,()|()| 将轴下方图象翻折上去x(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系( (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具(要重视数形结合解题的思想方法( 韩非子名言名
16、句大全,韩非子寓言故事,不需要的朋友可以下载后编辑删除 1、千里之堤,毁于蚁穴。韩非子?喻老 2、华而不实,虚而无用。韩非子?难言 3、欲速则不达。韩非子? 外储说左上 4、不吹毛而求小疵。韩非子?大体 5、胜而不骄,败而不怨。商君书?战法 6、民之性,饥而求食,劳而求快,苦则求乐,辱则求荣,生则计利,死则虑名。 7、以子之矛,攻子之盾。韩非子?难一 8、欲成其事,先败其事。 9、道私者乱,道法者治。 10、巧诈不如拙诚,惟诚可得人心。韩非子?说林上 11、塞翁失马,焉知非福。韩非子?说难 12、长袖善舞,多钱善贾。韩非子?五蠹 13、明主之所导制其臣者,二柄而已矣。二柄者,刑德也。何谓刑德,
17、曰:杀戮之谓刑,庆赏之谓德。 14、凡奸臣皆欲顺人主之心,以取亲幸之势也。是以主有所善,臣从而誉之;主有所憎,臣因而毁之。凡人之大体,取舍同者则相是也,取舍异者则相非也。 15、人主之患在于信人。信人,则制于人。 16、故为人臣者,窥觇其君心也无须臾之休,而人主怠傲处其上,此世所以有劫君弑主也。 17、夫妻者,非有骨肉之恩也,爱则亲,不爱则疏。 18、智术之士,必远见而明察,不明察不能烛私;能法之士,必强毅而劲直,不劲直不能矫奸。 19、与死人同病者,不可生也,与亡国同事者,不可存也。 20、主失其神,虎随其后;主上不知,虎将为狗。 21、偏借其权势,则上下易位矣。此言人臣之不可借权势也。 2
18、2、故人行事施予,以利之为心,则越人易和;以害之为心,则父子离且怨。 23、故明主之治国也,明赏,则民劝功;严刑,则民亲法。 24、夫民之性,恶劳而乐佚。佚则荒,荒则不治,不治则乱,而赏刑不行于天下者必塞。 25、故治民无常,唯法为治。法与时转则治,治与世宜则有功。 26、明君无为于上,群臣竦惧乎下。 27、探其怀,夺之威。主上用之,若电若雷。 28、小信成则大信立,故明主积于信。赏罚不信,则禁令不行。 29、以肉去蚁蚁愈多,以鱼驱蝇蝇愈至。 30、爱臣太亲,必危主身;人臣太贵,必易主位。 31、群臣为学,门子好辩,商贾外积,小民右丈者,可亡也。 32、天下之难事,必作于易;天下之大事,必作于
19、细。 33、圣人之治民,先治者强,先战者胜。 34、道在不可见,用在不可知。 35、涵掩其迹,匿其端,下不能原;去其智,绝其能,下不能意。 36、千乘之君无备,必有百乘之臣在其侧,以徙其民而倾其国;万乘之君无备,必有千乘之家在其侧,以徙其民而倾其国。 37、黄帝有言曰:上下一日百战。 38、臣主之利相与异者也。何以明之哉,曰:主利在有能而任官,臣利在无能而得事;主利在有劳而爵禄,臣利在无功而富贵;主利在豪杰使能,臣利在朋党用私。 39、人主之道,静退以为宝。 40、故群臣陈其言,君以其言授其事,事以责其功。功当其事,事当其言,则赏;功不当其事,事不当其言,则诛。 41、自胜谓之强。(能够战胜自
20、己的人才是强者) 42、自见之谓明。(能够认清自己的人才是明智的) 43、是以志之难也,不在胜人,在自胜也。故曰:自胜之谓强。(订下心愿,志向是难的,不在胜别人,而在战胜自己的懒怯疑。) 44、一手独拍,虽疾无声。(一只手击掌,即使再用力也不会有声音) 45、立志难也,不在胜人,在自胜。 46、举世有道,计入有计出。(做事情要有一定的原则,既要算计得道的,也要算计失去的) 47、故去喜去恶,虚心以为道舍。(所以应该将亲近好厌恶等情绪一并抛弃,才能成功地使用权谋之术) 48、君无见其所欲。(君主不应该表露自己的喜好) 49、去好去恶,臣乃见素;去旧去智,臣乃自备。(君主隐藏自己的好恶,才会得见臣
21、下的本来面目;抛去旧有的成见,不显露自己的智慧,才会让臣下各守其职) 50、人主好贤,则群臣饰行以邀君欲,则是群臣之情不效。(君主喜欢任用贤能之士,那么臣下就会自我粉饰迎合来君主)(说明?还是让大家各司其职,别把希望寄托在个别的贤能之士身上,防止权利的偏移) 51、时有满虚,事有利害,物有生死。(时机的盈虚是并存的,世事的利弊是兼有的,事务的生死是一体的)(说明?君主不可因为这些不可避免的得失而怨怒) 52、见而不见,闻而不闻,知而不知。(看见就好像没看见,听到好像没听到,知道好像不知道) 53、世有不可得,事有不可成。(世间总有得不到的东西,也总有办不到的事) 54、法莫如显,而术不欲见。(
22、法一定要让人明了,而术一定不能被人觉察) 55、虚则知实之情,静则知动者正。(置身事外,才会看清真相;保持冷静,才能制定出行动原则) 56、群臣见素,则大君不蔽矣。(群臣本来的面目显现出来,那么君主就不会收到蒙蔽了) 57、是故去智而有明,去贤而有功,去勇而有强。(不用智慧可以明察,不显贤能可以成就大业,不逞勇武依然强大) 58、虚静无事,以暗见疵。(保持虚静无为的状态,往往会从隐蔽的角度得知他人的行为漏洞) 59、制在己曰重,不离位曰静。重则能使轻,静则能使躁。(权柄在手就是所说的重,不离本位就是所说的静。持重者能够控御轻浮者,宁静者能够克制急躁莽撞) 60、事在四方,要在中央。圣人执要,四
23、方来效。(具体事务交由各级负责人去执行,而君主应保证中央权力的巩固。只要君主能在准确把握全局,那么四方的臣民就会效劳)-国家的大权,要集中在君主(“圣人”)一人手里,君主必须有权有势,才能治理天下。 61、烹小鲜而数挠之,则贼其泽;治大国而数变法,则民苦之。(烹调小鱼却屡次翻动,那就会令其破碎不全;治理大国却屡次更改法令,那就会使百姓不看其苦) 62、众人助之以力,近者结之以成,远者欲之以名,尊者载之以势。(众人会全力帮助 他,身边的人乐于结交他,远方的人真心赞誉他,权高位重的人也会推崇他) 63、君人者释其刑徳而使臣用之,则君反制于臣矣。(君主听凭臣下私自施予刑罚与恩德,这样一来就会反为臣下
24、所控制) 64、君见恶,则群臣匿端;君见好,则群臣诬能。(如果是君主所厌恶的,那么群臣就会将其隐匿起来;如果是君主所喜好,那么群臣就会弄虚作假来迎合) 65、倒言反事以尝所疑。(故意正话反说或正事反做,来试探臣下 66、不为小害善,故有大名;不蚤见示,故有大功。(不被小事妨害自己的长处,所以能取得大名;不过早显示自己的才能,所以能成就大业) 67、行贤而去自贤之心,焉往而不美,(做贤德的事情却不以贤德自居,还有什么事是办不好的) 68、去其智,绝其能,下不能意。(君主隐藏智慧,不露才能,臣下就无法猜测他的意图) 69、虚则知实之情,静则知动者正。(置身事外,才会看清真相;保持冷静,才能制定出行
25、动原则 70、爱臣太亲,必威其身;人臣太贵,必易主位。(过于宠信臣下,必然会危及君主自身;臣下权势过重,必然有篡位之心) 71、人主无威而重在左右。(君主维修丧失转而要仰仗臣下了) 72、佯爱人,不得复憎也;佯憎人,不得复爱也。(假装憎恶,就无法对其再加以憎恶;假装憎恶,就无法再对其施以恩惠) 73、树橘柚者,食之则甘,嗅之则香;树枳棘者,成而刺人。故君子慎所树。(种植橘柚,吃起来是甜的,闻起来是香的;而种植荆棘,长大了却会刺伤人。)(说明?栽培人时应个格外谨慎) 74、世有不可得,事有不可成。(世间总有得不到的东西,也总有办不到的事) 75、存亡在虚实,不在于众寡。(一国的存亡要看权柄是否掌
26、握在君主手里,而不应看国家武力的强弱) 76、一手独拍,虽疾无声。(一只手击掌,即使再用力也不会有声音) 77、不以智累心,不以私累己;寄治乱于法术,托是非于赏罚。(不因过度思考使内心疲惫,不因个人私欲而令自身受害;依据法令和权谋来治理国家,通过赏罚来彰显是非。)78、圣人之道,去智去巧。智巧不去,难以为常。(圣人处世,是不需要智虑与机巧的。因为不抛弃智虑机巧,就很难维持长久。) 79、巧为輗,拙为鸢。(做车輗是聪明的,做木鸢却是愚笨的)(说明?考虑成本与实际功效) 80、荡而失水,蝼蚁得意焉。(鱼游到岸边搁浅的是时候,就会被蝼蚁吃掉) 81、事有举之而有败,而贤其毋举之者。(事情有做了却不成
27、功的,但这也胜过不去做的) 82、恬淡有趋舍之义,平安知祸福之计。(恬静淡泊之后才能把握取舍的原则,平稳安闲之后才能察知祸福的端倪)(说明?拒斥外界的诱惑) 83、太山不立好恶,故能成其高;江海不择小助,故能成其富。(泰山不以自己的好恶来选择土石,所以成就了它自身的高大;江海不分大小来容纳河流,所以成就了它的广博) 84、夫物者有所宜,才者有所施,各处其宜,故上下无为。(世间万物都各有特性,不同的才能有不同的施展方向,令有才干者各得其所,所以君主就可以无为而治。) 85、火形严,故人鲜灼;水形懦,人多溺。(火的形态看起来是严酷的,所以很少有人被灼伤;水的形态看起来是柔弱的,所以经常有人淹死)
28、86、故势不便,非所以逞能也。(所以,当形势不便时,是不应该逞强的) 87、使杀生之机,夺予之要在大臣,如是者侵。(生杀予夺之权落在臣下手中,如此一来君主就有失势的危机) 88、爱多者则法不立,威寡者则下侵上。(过于宠溺臣下,法令就难以确立。缺乏威严就会被臣下欺凌) 89、私行胜,则少公功。(营私舞弊之风盛行,臣下就不能尽职为君效力了) 3. 圆的对称性:90、诱道争远,非先则后也,而先后心皆在于臣,上何以调于马,(在路上赛马,不是领先就是落后,而此时还总是关注对手的话,又怎么能得心应手地驾驭自己的马呢, 91、且夫物众而智寡,寡不胜众,智不足以遍知物,故因物以治物。(相对于复杂的世事来说,个
29、人的智慧是很渺小的,个人的渺小智慧难以处理繁杂事务,所以应该利用工具来处理事务)(比如?法律制度及司法人员的设置等) 92、去甚去泰,身乃无害。(行为不过度,才不会危及己身) 3.余弦:93、夫有材而无势,虽贤不能治不肖。故立尺材于高山之上,则临千仞之溪(xi1),材非长也,位高也。(有才干而没有权势,即使是贤人也无法控御不肖之徒。一尺长的木材树立在高山之上,就能俯瞰万丈深渊。这并非是木头长,而是它所处的地位高。) 94、故视强,则目不明;听甚,则耳不聪;思虑过度,则智识乱。(用眼过度,则视力下降;用耳过度,就会听力下降;用脑过度,就会思虑混乱) 函数的取值范围是全体实数;95、利莫长于简,福
30、莫久于安。(最大的利益莫过于简朴,最大的福泽莫过于安稳) 96、因可势,求易道。(根据可以成功的形势,来寻求易于成功的方法) 97、和氏之璧,不饰以五采。(像和氏璧那样的美玉,不必用五色饰物来装饰) 98、凡德者,以无为集,以无欲成,以不思安,以不用固。(凡是德都是因为无为而聚集,因无欲而成就,因不思而安稳,因不用而牢固 点在圆内 dr;韩非子寓言: 自相矛盾 郑人买履 讳疾忌医 杀猪教子 三人成虎 中饱私囊 子罕辞玉 守株待兔 滥竽充数 螳螂捕蝉 老马识途 宋人疑邻 和氏之璧 买椟还珠 揠苗助长 一鸣惊人 有的放矢 恶贯满盈 舍近求远 进退维谷 1、人生来就不是为了被打败的,人能够被毁灭,但
31、是不能够被打败 七、学困生辅导和转化措施2、胜利者一无所获。 3、没有失败,只有战死。 4、对一个作家最好的训练是不快乐的童年。 5、二十世纪的丧钟为人类而鸣 8.直线与圆的位置关系6、最后我觉得他自题的墓志铭也能表现出他的思想和语言特色:恕我不起来啦 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识,体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论,是人类文明的结晶,体会数学与人类历史的发展是息息相关。7、生活与斗牛差不多。不是你战胜牛,就是牛挑死你。 1、开展一帮一活动,让优秀学生带动后进生,促使他们的转化。8、我多希望在我只爱她一个人时就死去。 9、所有的罪恶都始于清白。 10、只要不计较得失,人生便没有什么不能克服的 11、偏执是件古怪的东西。偏执的人必然绝对相信自己是正确的,而克制自己,保持正确思想,正是最能助长这种自以为正确和正直的看法。海明威 12、每一个人都需要有人和他开诚布公地谈心。一个人尽管可以十分英勇,但他也可能十分孤独。海明威 tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A的对边与邻边的比;13、只向老人低头。 53.264.1生活中的数3 P24-2914、每个人都不是一座孤岛,一个人必须是这世界上最坚固的岛屿,然后才能成为大陆的一部分。
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