最新高中数学必修2空间立体几何大题优秀名师资料.doc
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1、高中数学必修2空间立体几何大题必修2空间立体几何大题 一(解答题(共18小题) 1(如图,在三棱锥V,ABC中,平面VAB?平面ABC,?VAB为等边三角形,AC?BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点( (1)求证:VB?平面MOC;(2)求证:平面MOC?平面VAB(3)求三棱锥V,ABC的体积( 2(如图,三棱锥P,ABC中,PA?平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,?BAC=60?( (1)求三棱锥P,ABC的体积; (2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC?BM,并求的值( 3(如图,长方体ABCD,ABCD中,AB=16,BC=10,AA=8,点E,F分别在AB,
2、DC上,AE=DF=4(过11111111111E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (?)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (?)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值( 4(如图,直三棱柱ABC,ABC的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC的中点, 1111(?)证明:平面AEF?平面BBCC; 11(?)若直线AC与平面AABB所成的角为45?,求三棱锥F,AEC的体积( 1115(如图,在直三棱柱ABC,ABC中,已知AC?BC,BC=CC,设AB的中点为D,BC?BC=E( 1111111求证: (1)DE?平面AACC;(2)BC?AB( 111
3、16(如题图,三棱锥P,ABC中,平面PAC?平面ABC,?ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF?BC( (?)证明:AB?平面PFE(?)若四棱锥P,DFBC的体积为7,求线段BC的长( 7(如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1, (?)若D为线段AC的中点,求证;AC?平面PDO; (?)求三棱锥P,ABC体积的最大值; 8(如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE?平面ABCD( (?)证明:平面AEC?平面BED; (?)若?ABC=120?,AE?EC,
4、三棱锥E,ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积( 9(如图,已知AA?平面ABC,BB?AA,AB=AC=3,BC=2,AA=,BB=2,点E和F分别为BC和11111AC的中点( 1(?)求证:EF?平面ABBA; 11(?)求证:平面AEA?平面BCB;(?)求直线AB与平面BCB所成角的大小( 1111110(如图所示,已知AB?平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点,BC?CD( (1)求证:MN?平面BCD;(2)求证:平面BCD?平面ABC( 11(如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面的圆周上,BF?AE,F是垂足( (1)求证:BF?AC;(2)若CE=1,?CBE=3
5、0?,求三棱锥F,BCE的体积( 12(如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD?BC,CE?BG,且?BCD=?BCE=,平面ABCD?平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2( 求证:(?)EC?CD;(?)求证:AG?平面BDE;(?)求:几何体EG,ABCD的体积( 13(如图,已知三棱锥A,BPC中,AP?PC,AC?BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且?PMB为正三角形( (1)求证:DM?平面APC; (2)若BC=4,AB=20,求三棱锥D,BCM的体积( 14(如图,在四棱锥P,ABCD中,PD?平面ABCD,底面ABCD是菱形,?BAD=60?,A
6、B=2,PD=,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点( (?)证明:平面EAC?平面PBD; (?)若PD?平面EAC,求三棱锥P,EAD的体积( 15(已知正四棱柱ABCD,ABCD,底面边长为,点P、Q、R分别在棱AA、BB、BC上,Q是BB中点,且1111111PQ?AB,CQ?QR 1(1)求证:CQ?平面PQR; 1(2)若CQ=,求四面体CPQR的体积( 1116(如图,直三棱柱ABC,ABC中,D,E分别是AB,BB的中点( 1111(1)证明BC?平面ACD(2)设AA=AC=CB=2,AB=2,求三菱锥C,ADE的体积( 111117(如图甲,?O的直径AB=2,圆上两点C
7、,D在直径AB的两侧,且?CBA=?DAB=(沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点( 根据图乙解答下列各题: (?)求证:CB?DE; (?)求三棱锥C,BOD的体积; (?)在劣弧上是否存在一点G,使得FG?平面ACD,若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由( 18(如图:是直径为的半圆,O为圆心,C是上一点,且(DF?CD,且DF=2,E为FD的中点,Q为BE的中点,R为FC上一点,且FR=3RC( (?)求证:面BCE?面CDF; (?)求证:QR?平面BCD; (?)求三棱锥F,BCE的体积( 必修2空间立体几何大题 参考答案与
8、试题解析 一(解答题(共18小题) 1(2015北京)如图,在三棱锥V,ABC中,平面VAB?平面ABC,?VAB为等边三角形,AC?BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点( (1)求证:VB?平面MOC; )求证:平面MOC?平面VAB (2(3)求三棱锥V,ABC的体积( 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定( 专题: 综合题;空间位置关系与距离( 分析: (1)利用三角形的中位线得出OM?VB,利用线面平行的判定定理证明VB?平面MOC; (2)证明:OC?平面VAB,即可证明平面MOC?平面VAB (3)利用等体积法求三棱锥V,ABC的体
9、积( 解答: (1)证明:?O,M分别为AB,VA的中点, ?OM?VB, ?VB?平面MOC,OM?平面MOC, ?VB?平面MOC; (2)?AC=BC,O为AB的中点, ?OC?AB, ?平面VAB?平面ABC,OC?平面ABC, ?OC?平面VAB, ?OC?平面MOC, ?平面MOC?平面VAB (3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,?AB=2,OC=1, ?S=, ?VAB?OC?平面VAB, ?V=S=, ,CVAB?VAB?V=V=( ,VABCCVAB点评: 本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是
10、关键( 2(2015安徽)如图,三棱锥P,ABC中,PA?平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,?BAC=60?( (1)求三棱锥P,ABC的体积; (2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC?BM,并求的值( 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;点、线、面间的距离计算( 专题: 综合题;空间位置关系与距离( 分析: (1)利用V=SPA,求三棱锥P,ABC的体积; ,PABC?ABC(2)过B作BN?AC,垂足为N,过N作MN?PA,交PA于点M,连接BM,证明AC?平面MBN,可得AC?BM,利用MN?PA,求的值( 解答: (1)解:由题设,AB=1,AC=2,?BAC=60?, 可得S
11、=( ?ABC因为PA?平面ABC,PA=1, 所以V=SPA=; ,PABC?ABC(2)解:过B作BN?AC,垂足为N,过N作MN?PA,交PC于点M,连接BM, 由PA?平面ABC,知PA?AC,所以MN?AC, 因为BN?MN=N,所以AC?平面MBN( 因为BM?平面MBN,所以AC?BM( 在直角?BAN中,AN=ABcos?BAC=, 从而NC=AC,AN=( 由MN?PA得=( 点评: 本题考查三棱锥P,ABC的体积的计算,考查线面垂直的判定与性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题( 3(2015黑龙江)如图,长方体ABCD,ABCD中,AB=16,BC=10,AA
12、=8,点E,F分别在AB,DC上,111111111AE=DF=4(过E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 11(?)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (?)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值( 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面的基本性质及推论( 专题: 综合题;空间位置关系与距离( 分析: (?)利用平面与平面平行的性质,可在图中画出这个正方形; (?)求出MH=6,AH=10,HB=6,即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值( 解答: 解:(?)交线围成的正方形EFGH如图所示; (?)作EM?AB,垂足为M,则AM=AE=4,EB=12,EM=AA=
13、8( 111因为EFGH为正方形,所以EH=EF=BC=10, 于是MH=6,AH=10,HB=6( 因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱, 所以其体积的比值为( 点评: 本题考查平面与平面平行的性质,考查学生的计算能力,比较基础( 4(2015湖南)如图,直三棱柱ABC,ABC的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC的中点, 1111(?)证明:平面AEF?平面BBCC; 11(?)若直线AC与平面AABB所成的角为45?,求三棱锥F,AEC的体积( 111考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定( 专题: 空间位置关系与距离( 分析: (?)证明AE?BB,AE?
14、BC,BC?BB=B,推出AE?平面BBCC,利用平面1111余平米垂直的判定定理证明平面AEF?平面BBCC; 11(?)取AB的中点G,说明直线AC与平面AABB所成的角为45?,就是?CAG,1111求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积( 解答: (?)证明:?几何体是直棱柱,?BB?底面ABC,AE?底面ABC,?AE?BB, 11?直三棱柱ABC,ABC的底面是边长为2的正三角形,E分别是BC的中点, 111?AE?BC,BC?BB=B,?AE?平面BBCC, 111?AE?平面AEF,?平面AEF?平面BBCC; 11(?)解:取AB的中点G,连结AG,CG,由(?)可知CG
15、?平面AABB, 111直线AC与平面AABB所成的角为45?,就是?CAG,则AG=CG=, 11111?AA=,CF=( 1三棱锥F,AEC的体积:=( 点评: 本题考查几何体的体积的求法,平面与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力( 5(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC,ABC中,已知AC?BC,BC=CC,设AB的中点为D,BC?BC=E( 1111111求证: (1)DE?平面AACC; 11(2)BC?AB( 11考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质( 专题: 证明题;空间位置关系与距离( 分析: (1)根据中位线定理得DE?AC,即证DE?平面
16、AACC; 11(2)先由直三棱柱得出CC?平面ABC,即证AC?CC;再证明AC?平面BCCB,1111即证BC?AC;最后证明BC?平面BAC,即可证出BC?AB( 11111解答: 证明:(1)根据题意,得; E为BC的中点,D为AB的中点,所以DE?AC; 11又因为DE?平面AACC,AC?平面AACC, 1111所以DE?平面AACC; 11(2)因为棱柱ABC,ABC是直三棱柱, 111所以CC?平面ABC, 1因为AC?平面ABC, 所以AC?CC; 1又因为AC?BC, CC?平面BCCB, 111BC?平面BCCB, 11BC?CC=C, 1所以AC?平面BCCB; 11又
17、因为BC?平面BCCB, 111所以BC?AC; 1因为BC=CC,所以矩形BCCB是正方形, 111所以BC?平面BAC; 11又因为AB?平面BAC, 11所以BC?AB( 11点评: 本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目( 6(2015重庆)如题图,三棱锥P,ABC中,平面PAC?平面ABC,?ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF?BC( (?)证明:AB?平面PFE( (?)若四棱锥P,DFBC的体积为7,求线段BC的长( 考点: 直线与平面垂直的判
18、定;棱柱、棱锥、棱台的体积( 专题: 开放型;空间位置关系与距离( 分析: (?)由等腰三角形的性质可证PE?AC,可证PE?AB(又EF?BC,可证AB?EF,从而AB与平面PEF内两条相交直线PE,EF都垂直,可证AB?平面PEF( (?)设BC=x,可求AB,S,由EF?BC可得?AFE?ABC,求得?ABCS=S,由AD=AE,可求S,从而求得四边形DFBC的面积,由(?)?AFE?ABC?AFD知PE为四棱锥P,DFBC的高,求得PE,由体积V=SPE=7,即可解,PDFBCDFBC得线段BC的长( 解答: 解:(?)如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰?PDC中DC边的中点,
19、故PE?AC, 又平面PAC?平面ABC,平面PAC?平面ABC=AC,PE?平面PAC,PE?AC, 所以PE?平面ABC,从而PE?AB( 因为?ABC=,EF?BC, 故AB?EF, 从而AB与平面PEF内两条相交直线PE,EF都垂直, 所以AB?平面PEF( (?)设BC=x,则在直角?ABC中,AB=, 从而S=ABBC=x, ?ABC由EF?BC知,得?AFE?ABC, 2故=()=,即S=S, ?AFE?ABC由AD=AE,S=S=S=x, ?AFD?ABC?ABC从而四边形DFBC的面积为:S=S,S=x,DFBC?ABCAFDx=x( 由(?)知,PE?平面ABC,所以PE为
20、四棱锥P,DFBC的高( 在直角?PEC中,PE=2, 故体积V=SPE=x=7, ,PDFBCDFBC4222故得x,36x+243=0,解得x=9或x=27,由于x,0,可得x=3或x=3( 所以:BC=3或BC=3( 点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力,考查了转化思想,属于中档题( 7(2015福建)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1, (?)若D为线段AC的中点,求证;AC?平面PDO; (?)求三棱锥P,ABC体积的最大值; (?)若BC=,点E在线段P
21、B上,求CE+OE的最小值( 考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积( 专题: 空间位置关系与距离( 分析: (?)由题意可证AC?DO,又PO?AC,即可证明AC?平面PDO( (?)当CO?AB时,C到AB的距离最大且最大值为1,又AB=2,即可求?ABC面积的最大值,又三棱锥P,ABC的高PO=1,即可求得三棱锥P,ABC体积的最大值( (?)可求PB=PC,即有PB=PC=BC,由OP=OB,CP=CB,可证E为PB中点,从而可求OC=OE+EC=,从而得解( 解答: 解:(?)在?AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点, 所以AC?DO, 又PO垂直于圆O所在的平面,
22、 所以PO?AC, 因为DO?PO=O, 所以AC?平面PDO( (?)因为点C在圆O上, 所以当CO?AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1, 又AB=2,所以?ABC面积的最大值为, 又因为三棱锥P,ABC的高PO=1, 故三棱锥P,ABC体积的最大值为:( (?)在?POB中,PO=OB=1,?POB=90?, 所以PB=, 同理PC=,所以PB=PC=BC, 在三棱锥P,ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示, 当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值, 又因为OP=OB,CP=CB, 所以OC垂直平分PB,即E为PB中点( 从而OC=OE+EC
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