最新高中数学必修知识点+目录优秀名师资料.doc
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1、高中数学必修知识点 目录高一数学必修1知识网络 目录 集合 函数 高中数学必修2知识点 一、直线与方程 ,1,直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此倾斜角的取值范围是0?,180? ,2,直线的斜率 ?定义:倾斜角不是90?的直线它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常k,tan,用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 ,k,0k,0k当时, 当时, 当,90时不存,,,,90,180,0,90在。 y,y21?过两点的直线的斜率公式: k,(x,x)12x,x21注意下面四点:(1)当时
2、,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90?; x,x12(2)k与P、P的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求12得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 ,3,直线方程 ?点斜式:直线斜率k且过点 y,y,k(x,x),x,y1111注意:当直线的斜率为0?时,k=0,直线的方程是y=y。 1当直线的斜率为90?时直线的斜率不存在它的方程不能用点斜式表示(但因l上每一点的横坐标都等于x所以它的方程是x=x。 11?斜截式:直线斜率为k直线在y轴上的截距为b y,kx,byyxx,11,?两点式:,直线两点 xxyy,,x,y,x,y1
3、2121122yyxx,2121xy?截矩式: ,,1abab,ll(,0)a(0,)b其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。 xxyyAx,By,C,0?一般式:,AB不全为0, 12注意:?各式的适用范围 ?特殊的方程如: x,ay,b平行于x轴的直线:,b为常数, 平行于y轴的直线:,a为常数, ,5,直线系方程:即具有某一共同性质的直线 ,一,平行直线系 Ax,By,C,0平行于已知直线,是不全为0的常数,的直线系:A,B00000Ax,By,C,0,C为常数, 00,二,过定点的直线系 ,y,y,kx,x,?,斜率为k的直线系:直线过定点,, x,y0000l:Ax
4、,By,C,0l:Ax,By,C,0,?,过两条直线的交点的直线系方程22221111为 l,为参数,其中直线不在直线系中。 ,,Ax,By,C,,Ax,By,C,02111222,6,两直线平行与垂直 当时 l:y,kx,bl:y,kx,b111222, l/l,k,k,b,bl,l,kk,11212121212注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时要注意斜率的存在与否。 ,7,两条直线的交点 相交 l:Ax,By,C,0l:Ax,By,C,011112222,,0AxByC,111交点坐标即方程组的一组解。 ,Ax,By,C,0222,l方程组无解 , 方程组有无数解与重合 l,l/l,12
5、12,8,两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点 AxyBxy(,),,()112222则 |()()ABxxyy,,,2121Ax,By,C00,9,点到直线距离公式:一点到直线的距离 l:Ax,By,C,0,Px,y100d,22A,B,10,两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆定点为圆心定长为圆的半径。 、圆的方程 2222,a,b,1,标准方程圆心半径为r, ,x,a,y,b,r22,2,一般方程 x,y,Dx,Ey,F,022122DE,D,E,4F,0当时方程表示圆此时
6、圆心为半径为 r,D,E,4F,222,2222D,E,4F,0D,E,4F,0当时表示一个点, 当时方程不表示任何图形。 ,3,求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件若利用圆的标准方程 需求出abr,若利用一般方程需要求出DEF, 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点以此来确定圆心的位臵。 3、直线与圆的位臵关系: 直线与圆的位臵关系有相离相切相交三种情况基本上由下列两种方法判断: 222,1,设直线圆圆心,到l的距离Ca,bl:Ax,By,C,0,C:x,a,y,b,rAa,Bb,Cd,r,l与C相离d,r,l与C相切d,r,l与C相交
7、为则有, d,22A,B222,2,设直线圆先将方程联立消元得到l:Ax,By,C,0,C:x,a,y,b,r,一个一元二次方程之后令其中的判别式为则有 ,0,l与C相切,0,l与C相离,0,l与C相交, 2xx,yy,r注:如果圆心的位臵在原点可使用公式去解直线与圆相切的问题其中00,x,y表示切点坐标r表示半径。 00(3)过圆上一点的切线方程: 22xx,yy,r?圆x+y=r圆上一点为(xy)则过此点的切线方程为 (课本命题)( 2200002222?圆(x-a)+(y-b)=r圆上一点为(xy)则过此点的切线方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)= r 0000(课本命题的
8、推广)( d,之间的大小比较来确定。 4、圆与圆的位臵关系:通过两圆半径的和,差,与圆心距,222222设圆 ,C:x,a,y,b,R,C:x,a,y,b,r111222两圆的位臵关系常通过两圆半径的和,差,与圆心距,d,之间的大小比较来确定。 d,R,r当时两圆外离此时有公切线四条, d,R,r当时两圆外切连心线过切点有外公切线两条内公切线一条, R,r,d,R,r当时两圆相交连心线垂直平分公共弦有两条外公切线, 当时两圆内切连心线经过切点只有一条公切线, d,R,rd,0当时两圆内含, 当时为同心圆。 d,R,r三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 ,1,棱柱:定义:有两个面互相
9、平行其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 用各顶点字母如五棱柱ABCDE,ABCDE或用对角线的端点字母如五棱柱表示: AD几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形,侧面、对角面都是平行四边形,侧棱平行且相等,平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 ,2,棱锥 定义:有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 P,ABCDE表示:用各顶点字母如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形,平
10、行于底面的截面与底面相似其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 ,3,棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 P,ABCDE表示:用各顶点字母如五棱台 几何特征:?上下底面是相似的平行多边形 ?侧面是梯形 ?侧棱交于原棱锥的顶点 ,4,圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:?底面是全等的圆,?母线与轴平行,?轴与底面圆的半径垂直,?侧面展开图是一个矩形。 ,5,圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几
11、何特征:?底面是一个圆,?母线交于圆锥的顶点,?侧面展开图是一个扇形。 ,6,圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥截面和底面之间的部分 几何特征:?上下底面是两个圆,?侧面母线交于原圆锥的顶点,?侧面展开图是一个弓形。 ,7,球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:?球的截面是圆,?球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图,光线从几何体的前面向后面正投影,侧视图,从左向右,、 俯视图,从上向下, 注:正视图反映了物体上下、左右的位臵关系即反映了物体的高度和长度, 俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系即反映了
12、物体的长度和宽度, 侧视图反映了物体上下、前后的位臵关系即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法特点:?原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变, ?原来与y轴平行的线段仍然与y平行长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 ,1,几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 h为斜高l为母线, ,2,特殊几何体表面积公式,c为底面周长h为高1S,rlS,chS,2,rh S,ch 圆锥侧面积直棱柱侧面积圆柱侧正棱锥侧面积21 S,(r,R),lS,(c,c)h圆台侧面积12正棱台侧面积222,S,2,rr,l , S,rr,l,S,r,rl,Rl,R
13、圆柱表圆锥表圆台表,3,柱体、锥体、台体的体积公式 2112VSh,VShrh, VSh,V,rh柱圆柱锥圆锥3311122,,,,,VSSSShrrRRh()() VSSSSh,,()圆台台3332434,R,4,球体的表面积和体积公式:V= , S=,R球面球34、空间点、直线、平面的位臵关系 ,1,平面 ? 平面的概念: A.描述性说明, B.平面是无限伸展的, ? 平面的表示:通常用希腊字母、表示如平面,通常写在一个锐角内, 也可以用两个相对顶点的字母来表示如平面BC。 A,A,A,? 点与平面的关系:点A在平面内记作,点不在平面内记作 ,点与直线的关系:点A的直线l上记作:A?l,
14、点A在直线l外记作Al, ,直线与平面的关系:直线l在平面内记作l,直线l不在平面内记作l。 ,2,公理1:如果一条直线的两点在一个平面内那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 ,即直线在平面内或者平面经过直线, 应用:检验桌面是否平, 判断直线是否在平面内 AlBlABl,用符号语言表示公理1: ,3,公理2:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面,两相交直线确定一平面,两平行直线确定一平面。 公理2及其推论作用:?它是空间内确定平面的依据 ?它是证明平面重合的依据 ,4,公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
15、 符号:平面和相交交线是a记作?,a。 PABABlPl,:,符号语言: 公理3的作用: ?它是判定两个平面相交的方法。 ?它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ?它可以判断点在直线上即证若干个点共线的重要依据。 ,5,公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 ,6,空间直线与直线之间的位臵关系 ? 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ? 异面直线性质:既不平行又不相交。 ? 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ? 异面直线所成角:直线a、b是异面直线经过空间任意一点O分别引直线a?ab?b则把直线a和b所成的锐
16、角,或直角,叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线?90?若两条异面直线所成的角是直角我们就说这两条异面直线所成角的范围是,0互相垂直。 说明:,1,判定空间直线是异面直线方法:?根据异面直线的定义,?异面直线的判定定理 ,2,在异面直线所成角定义中空间一点O是任取的而和点O的位臵无关。 ?求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角可固定一条平移另一条或两条同时平移到某个特殊的位臵顶点选在特殊的位臵上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 ,7,等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行那么这两角相等或互补。 ,8,空间直线与平面之间的位臵关系 直线在平面内有无数个公共
17、点( 三种位臵关系的符号表示:a a?,A a? ,9,平面与平面之间的位臵关系:平行没有公共点,? 相交有一条公共直线。?,b 5、空间中的平行问题 ,1,直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行 ,线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行 ,2,平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 ,1,如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面那么这两个平面平行 ,线面平行?面面平行, ,2,如果在两个平面内各有两组相
18、交直线对应平行那么这两个平面平行。 ,线线平行?面面平行, ,3,垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理 ,1,如果两个平面平行那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。,面面平行?线面平行, ,2,如果两个平行平面都和第三个平面相交那么它们的交线平行。,面面平行?线线平行, 7、空间中的垂直问题 ,1,线线、面面、线面垂直的定义 ?两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角就说这两条异面直线互相垂直。 ?线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直就说这条直线和这个平面垂直。 ?平面和平面垂直:如果两个平面相交所成的二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
19、,是直二面角,平面角是直角,就说这两个平面垂直。 ,2,垂直关系的判定和性质定理 ?线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面那么这两条直线平行。 ?面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 ,1,直线与直线所成的角 ,。 ?两平行直线所成的角:规定为0?两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角叫这两条直线所成的角。
20、 ?两条异面直线所成的角:过空间任意一点O分别作与两条异面直线ab平行的直线,a,b形成两条相交直线这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 ,2,直线和平面所成的角 ,090?平面的平行线与平面所成的角:规定为。 ?平面的垂线与平面所成的角:规定为。 ?平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作二证三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线 在解题时注意挖掘题设中两个主要信息:,1,斜线上一点到面的垂线,2,过斜线上的一点
21、或过斜线的平面与已知面垂直由面面垂直性质易得垂线。 ,3,二面角和二面角的平面角 ?二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面。 ?二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点在两个面内分别作垂直于棱的两条射(线这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ?直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角那么这两个平面垂直,反过来如果两个平面垂直那么所成的二面角为直二面角 ?求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂
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