最新高中数学知识点总结_2优秀名师资料.doc
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1、高中数学知识点总结_2一分耕耘,一分收获 高中数学知识点总结 第一章集合与简易逻辑 集合知识点归纳 定义:一组对象的全体形成一个集合特征:表示法:列举法1,2,3,、描述法x|P 分类:有限集、无限集数集:自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集关系:属于?、不属于、包含于或、真包含于、集合相等,运算:交运算A?B,x|x?A且x?B; 并运算A?B,x|x?A或x?B; 补运算CUA,且x?U,U为全集 性质:; ; 若,则; A?A,A?A,A; A?,;A?,A; A?B,?B,B; A?CUA,; A?CUA,I;CU( CUA),A; ,(CUA)?(CU方法:
2、韦恩示意图, 数轴分析注意:? 区别?与、与、a与a、与、(1,2)与1,2; ? 时,A有两种情况:A,与A?若集合A中有个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2n,所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集的个数是 ?区分集合中元素的形式:如;2 ; x ?空集是指不含任何元素的集合0、和的区别;0与三者间的关系空集是任何集 1 一分耕耘,一分收获 ?符号是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;符号是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 绝对值不等式知识点归纳 1绝对值不等式 与型不等式与型不等式的解法与解集: 不等式的解集是不等式
3、的解集是或不等式的解集为 不等式的解集为 或解一元一次不等式? ?a 3韦达定理: 方程()的二实根为x1、x2, 则且 ?两个正根,则需满足, ?两个负根,则需满足, ?一正根和一负根,则需满足 42 一分耕耘,一分收获 对于一元二次不等式或,设相应的一元二次方程的两根为x1、x2且,则不等式的解的各种22 情况如下表: 方程的根?函数草图?观察得解,对于的情况可以化为的情况解决注意:含参数的不等式ax2,bx,c>0恒成立问题含参不等式ax2,bx,c>0的解集是R;其解答分a,0(验证bx,c>0是否恒成立)、a?0(a<0且?<0)两种情况简易逻辑知识点归
4、纳命题可以判断真假的语句; 逻辑联结词或、且、非; 简单命题 不含逻辑联结词的命题; 复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式p或q、p且q、非p 真假判断 p或q,同假为假,否则为真; p且q,同真为真, 否则为假; 非p,真假相反 原命题若p则q;逆命题 若q则p;若则;若则; 3 一分耕耘,一分收获 反证法步骤充要条件 条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充分条件, 结论q成立条件p成立,则称条件p是结论q的必要条件, 条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充要条件, 第二章函数 函数定义知识点归纳 1函数的定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对
5、于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x?A,其中x叫做自变量的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合f(x)|x?A叫做函数的值域2两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同3映射的定义:一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元
6、素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A、B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A?由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集4映射的概念中象、原象的理解:(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;(3)A中每一个元素的象唯一1函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系 (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系 2求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求
7、函数的解析式:待定系数法; 4 一分耕耘,一分收获 (2)已知f(x)求fg(x)或已知fg(x)求f(x):换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4)f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解例1(1)已知 (2)已知f(2 ,求f(x); ,求f(x); (3)已知f(x)是一次函数,且满足,求f(x); (4)已知f(x)满足,求f(x)1 解:(1)? , ?(或)(2)令 则(), ,? ,? (3)设, 则 , ?,?(4)?, x1 把?中的x换成1 x,得 3 x
8、13x ?, ?得,?注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法定义域和值域知识点归纳5 一分耕耘,一分收获 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练1求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知f(x)求fg(x)或已知fg(x)求f(x):换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4)f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式
9、常用方法有待定系数法等 2求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义; (3)已知f(x)的定义域求fg(x)的定义域或已知fg(x)的定义域求f(x)的定义域: ?掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ?若已知f(x)的定义域,其复合函数的定义域应由解出 3求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运?直
10、接法:利用常见函数的值域来求 一次函数的定义域为R,值域为R; 反比例函数 的定义域为,值域为; 二次函数的定义域为R, 当a>0时,值域为 当a<0时,值域为 4a22; 6 一分耕耘,一分收获 ?配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式; ?分式转化法(或改为“分离常数法”) ?换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ?三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ?基本不等式法:转化成型如: x利用平均值不等式公式来求值域; , ?单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域 ?数形结合:根据函数的几何
11、图形,利用数型结合的方法来求值域 ?逆求法(反求法):通过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,通过解不等式,得出y的取值范围;常用来解,型如: 单调性知识点归纳函数单调性的定义: 2 证明函数单调性的一般方法: ?定义法:设且;作差(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号(?用导数证明: 若f(x)在某个区间A内有导数,则, 在A内为增函数;,(在A 3 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法 4复合函数在公共定义域上的单调性: ?若f与g的单调性相同,则为增函数; ?若f与g的单调性相反,则为减函数注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集 5
12、 ?奇函数在其对称区间上的单调性相同; ?偶函数在其对称区间上的单调性相反; ?在公共定义域内: 7 一分耕耘,一分收获 增函数增函数g(x)是增函数; 减函数减函数g(x)是减函数; 增函数减函数g(x)是增函数; 减函数增函数g(x)是减函数 ?函数y 在或上单调递增; 在 或上是单调递减 奇偶性知识点归纳 (1)定义域关于原点对称;(2)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 3f(x)为偶函数的定义域包含0,则使定义域不受影响; 6 7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: ,设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇奇=
13、偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 1形式:; 2 30,则f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件; 4y轴对称,因此根据图象的对称性可以判 8 一分耕耘,一分收获 断函数的奇偶性5T,使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域 则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期反函数知识点归纳1反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数; 2定义域、值域:反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若与 互为反函数,函数的定义域为A、值域为B,则,; 3单调性、图象:互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们
14、的图象关于对4求反函数的一般方法: (1)由解出 (2)将,中的x,y互换位置,得(3)求的值域得,(x)的定义域二次函数知识点归纳二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系 1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是 2a,顶点坐标是 用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(一般式),(零点式)和) 3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:令f(x)=ax2+bx+c (a>0) 9 一分耕耘,一分收获 则则则则 (5)若f(x)=0在区间的符号;?
15、对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: ?的图像与x轴无交点无实根0)的解集为或者是R; ?的图像与x轴相切有两个相等的实根的解集为或者是R; 2 ?的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根的解集为或者是指数对数函数知识点归纳1根式的运算性质: ?当n为任意正整数时,(a)n=a?当n为奇数时,a=a;当n为偶数时,?根式的基本性质:,()2分数指数幂的运算性质: 10 一分耕耘,一分收获 am 且 4指数式与对数式的互化:重要公式: ,对数恒等式对数的运算法则 如果有 l 7对数换底公式: ,两个常用的推论: ? , logn ? ( a, b >
16、; 0且均不为19对数函数的性质: 11 一分耕耘,一分收获 与对数函数互为反函数 11指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (定义法) (转化法) 取对数法) 换底法) 函数图象变换知识点归纳1作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:?确定函数的定义域;?化简函数的解析式;?讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);?描点连线,画出函数的图象 2三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 3识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换:(1)水平平移:函数的图像可以把函数的图像沿x轴方向向左或向右平移|a|个单位即可得到; 12
17、 一分耕耘,一分收获 (2)竖直平移:函数的图像可以把函数的图像沿x轴方向向上或向下平移|a|个单位即可得到 左移h右移h ? ? 上移h下移h ?对称变换:(1)函数的图像可以将函数的图像关于y轴对称即可得到; (2)函数的图像可以将函数的图像关于x轴对称即可得到; (3)函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 x轴的图像可以将函数的图像关于直线轴 ? 直线直线 ? 原点? ?翻折变换:(1)函数的图像可以将函数的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留的x轴上方部分即可得到; (2)函数的图像可以将函数的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴
18、左边部分并保留在y轴右边部分即可得到 7伸缩变换:(1)函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩()为原来的a倍得到; (2)函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩()为原来的1 a倍得到 13 一分耕耘,一分收获 ? ? 数列定义知识点归纳 (1)一般形式: (2)通项公式: (3)前n项和:及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系: 等差数列知识点归纳 1等差数列的定义: ?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示2等差数列的判定方法: ?定义法:
19、对于数列,若常数),则数列?等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列3等差数列的通项公式: ?如果等差数列的首项是a1,公差是d,则等差数列的通项为 该公式整理后是关于n的一次函数4等差数列的前n项和: ? 2 ? 2d 对于公式2整理后是关于n5等差中项: ?如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项即: 2或 在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项5等差数列的性质: 如果an是等差数列的第n项,am是等差数列的第m项, 且,公差为d,则有 14 一分耕耘,一分收获 ?
20、,若,则也就是:a1 * ,?若数列是等差数列,那么Sk,Sn是其前n项的和,3k S 6奇数项和与偶数项和的关系: ?设数列是等差数列,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和,则有如下性质: 前n项的和奇偶 当n为偶数时,S偶 奇 n2d ,其中d为公差; , S奇 a中 当n为奇数时,则 SnS奇偶 S奇偶中 , S偶 a中 , S奇S偶 , S奇偶S奇偶 (其中a中是等差数列的中间一项)7前n项和与通项的关系: ?若等差数列的前项的和为,等差数列的前项的和为 ,则 anbn 等比数列知识点归纳 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就
21、叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示() 2等比中项:如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与 b也就是,如果是的等比中项,那么3等比数列的判定方法: Ga bG ,即G 2 ?定义法:对于数列,若 2 ,则数列是等比数列 ?等比中项:对于数列,若,则数列是等比数列 15 一分耕耘,一分收获 4等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是a1,公比是q,则等比数列的通项为 或着 5等比数列的前n项和: 1S? n n ?2Sn 3当时,S? n 当时,前n项和必须具备形式Sn 6等比数列的性质: ?等比数列任意两项间的关系:如果ann项,am是
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