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1、高中数学选修2-1知识点总结高二数学选修2,1知识点 第一章 常用逻辑用语 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. ppqq2、“若,则”形式的命题中的称为命题的条件,称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. ppqq若原命题为“若,则”,它的逆命题为“若,则”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一
2、个称为原命题的否命题. pq,p,q若原命题为“若,则”,则它的否命题为“若,则”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. p,q,pq若原命题为“若,则”,则它的否命题为“若,则”. 6、四种命题的真假性: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系: 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 1,两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系( 2,ppqq7、若,则是的充分
3、条件,是的必要条件( pq,pq若,则是的充要条件(充分必要条件)( pq,ppq,q8、用联结词“且”把命题和命题联结起来,得到一个新命题,记作( pqpq,pq当、都是真命题时,是真命题;当、两个命题中有一个命题是假命题时,pq,是假命题( ppq,q用联结词“或”把命题和命题联结起来,得到一个新命题,记作( ppq,qqp当、两个命题中有一个命题是真命题时,是真命题;当、两个命题都pq,是假命题时,是假命题( p,p对一个命题全盘否定,得到一个新命题,记作( p,pp,p若是真命题,则必是假命题;若是假命题,则必是真命题( ,9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,
4、用“”表示( 含有全称量词的命题称为全称命题( 第 1 页 共 9 页 ,全称命题“对中任意一个,有成立”,记作“,”( xpxpx,x,”表示( 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“含有存在量词的命题称为特称命题( ,,,x特称命题“存在中的一个,使成立”,记作“,”( xpxpx,p,p,,x10、全称命题:,它的否定:,(全称命题的否px,px,x,定是特称命题( 第二章 圆锥曲线与方程 FF11、平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为FF1212椭圆(这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距( 12、椭圆的几何性质: y轴上 焦
5、点在焦点的位置 焦点在轴上 x图形 2222xyyx标准方程 ,,10ab,,10ab ,2222abab,axa且 且 ,byb,aya,bxb范围 、 、 ,a,0,a,0,0,a,0,a,1212顶点 、 、 ,0,b,0,b,b,0,b,0,1212轴长 短轴的长 长轴的长 ,2b,2a、 、 Fc,0Fc,0Fc0,Fc0,,焦点 1212222FFccab,2 焦距 ,12y关于轴、轴、原点对称 x对称性 2cb离心率 ee,101,2aa22aa准线方程 x,y, cc,FdF13、设是椭圆上任一点,点到对应准线的距离为,点到对应准线的距112,FF12d离为,则( ,e2dd1
6、2FF14、平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的FF1212轨迹称为双曲线(这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距( 15、双曲线的几何性质: 第 2 页 共 9 页 y焦点在轴上 焦点的位置 焦点在轴上 x图形 2222xyyx标准方程 ,10,0ab,10,0ab ,2222ababxa,xa,或, 或, yR,ya,ya,xR,范围 、 、 ,a,0,a,0,0,a,0,a,顶点 1212轴长 虚轴的长 实轴的长 ,2b,2a、 、 Fc,0Fc,0Fc0,Fc0,,焦点 1212222FFccab,,2 焦距 ,12y关于轴、轴对称,关于原点中心
7、对称 x对称性 2cb离心率 ee,,,11,2aa22aa准线方程 x,y, ccba yx,yx,渐近线方程 ab16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线( ,FdF17、设是双曲线上任一点,点到对应准线的距离为,点到对应准线的112,FF12d距离为,则( ,e2dd12FF18、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线(定点l称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线( l,19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“通径”,即( ,2p20、焦半径公式: p2F,,Fx若点在抛物线上,焦点为,则; ,xy,ypxp,20,0002p2F
8、若点在抛物线上,焦点为,则,,Fx; ,xy,ypxp,20,0002p2F,,Fy若点在抛物线上,焦点为,则; ,xy,xpyp,20,0002p2F若点在抛物线上,焦点为,则,,Fy( ,xy,xpyp,20,000221、抛物线的几何性质: 第 3 页 共 9 页 2222ypx,2 ypx,2 xpy,2 xpy,2标准方程 p,0p,0p,0p,0,图形 0,0,顶点 y轴 对称轴 轴 xpppp, F,0F0,F,0F0,焦点 ,2222,ppppx,y,x,y, 准线方程 2222离心率 e,1y,0y,0范围 x,0x,0(补充内容)直线与圆锥曲线的位置关系 ,几何角度(主要适
9、用于直线与圆的位置关系),直线与圆锥曲线的位置关系,代数角度(适用于所有直线与圆锥曲线位置关系),1.直线与圆锥曲线,利用一般弦长公式(容易),直线与圆锥曲线相交的弦长问题,利用两点间距离公式(繁琐),2.直线与圆锥曲线的位置关系: ?.从几何角度看:(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个交点。 2?.从代数角度看:设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。 ax,bx,c,0需对a分类讨论: ?.若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线L与双曲线的渐进线平行或重合; 当圆锥曲线是抛物线时,直线L与抛物
10、线的对称轴平行或重合。 第 4 页 共 9 页 2?.若,设 ,b,4aca,0(1).时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。 ,0(2).时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切。 ,0(3).时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离。 ,03.弦长问题: 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是:设而,斜率为k不求,根据根与系数的关系,进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点222,Ax,yBx,y11221,k1,k,时,则= ABx,x,x,x,4xx1212121121,1,y,y,4yy= y,y12121222kk2ypx,2若弦AB经过抛物线(p0)的焦点,则 |AB
11、,|x,x,p12可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和,两根之积的代数式,然后再进行整体带入求解。 4、中点弦问题:求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法: ?.点差法:将弦的两个端点坐标代入曲线方程,两式相减,即可确定弦的斜率,然后由点斜式得出弦的方程; ?.设弦的点斜式方程,将弦的方程与曲线方程联立,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,用根与系数的关系求出中点坐标,从而确定弦的斜率k,然后写出弦的方程; ,x,y,x,y?.设弦的两个端点分别为,则这两点坐标分别满足曲线方程,又1122,xxyy,1212为弦的中点,从而得到四
12、个方程,由这四个方程可以解出两个端点,,22,从而求出弦的方程。 第三章 空间向量与立体几何 22、空间向量的概念: 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量( 1,向量可用一条有向线段来表示(有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方2,第 5 页 共 9 页 向表示向量的方向( ,向量的大小称为向量的模(或长度),记作( ,3,1模(或长度)为的向量称为零向量;模为的向量称为单位向量( 40,与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量,记作( 5aa,a,方向相同且模相等的向量称为相等向量( 6,23、空间向量的加法和减法: 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则(即:在空
13、间以同1,一点为起点的两个已知向量、b为邻边作平行四边形,则以起点的对角,a,C,线就是与b的和,这种求向量和的方法,称,Ca为向量加法的平行四边形法则( 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵2,循三角形法则(即:在空间任取一点,作,a,b,ab,则( 24、实数与空间向量的乘积是一个向量,称为向量的数乘运算(当时,,a,a,0,a与方向相同;当时,与方向相反;当时,为零向量,记为0(a,0,aa,0,a,a的长度是的长度的倍( ,a,b25、设,为实数,是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律( ,a,abab,,,分配律:;结合律:( ,aa,,26、如果表示空间的有向线段所在的
14、直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线( bb,0ab/27、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量,的充要条件是a,ab,存在实数,使( ,28、平行于同一个平面的向量称为共面向量( ,y29、向量共面定理:空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对x,,C第 6 页 共 9 页 ,使;或对空间任一定点,有;或若四点,,,,xyC,,,,,xyC,,共面,则( ,,,,,,,xyzCxyz1C,30、已知两个非零向量和,在空间任取一点,作,则称b,a,ba,,,,ab,,的夹角,记作(两个向量夹角的取值范围是:( 为向量b,,ab,0,a,31
15、、对于两个非零向量和,若,则向量,互相垂直,记作( bbab,,,ab,aa2ababcos,,32、已知两个非零向量和,则称为,的数量积,记作(即bbab,aaababab,,cos,(零向量与任何向量的数量积为( 0babcos,,33、等于的长度与在的方向上的投影的乘积( ab,baaa34、若,b为非零向量,为单位向量,则有; 1eaaeaae,,cos,ae,,abab与同向,2,aaa,abab,0;,aaa,; ab,23,,abab与反向,,,ab,abab,;( cos,,,ab45,ab,ababab,35、向量数乘积的运算律:abba,; 12,abcacbc,,,,(
16、3,jk36、若,是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量,存在有序实数piyjjzkk组,使得,称,为向量p在,上的分量( xyz,xiipxiyjzk,,,b37、空间向量基本定理:若三个向量,不共面,则对空间任一向量,存在pac实数组,使得( xyz,pxaybzc,,,b38、若三个向量,不共面,则所有空间向量组成的集合是 acb(这个集合可看作是由向量,生成的, ppxaybzcxyzR,,,ac,abc,b称为空间的一个基底,称为基向量(空间任意三个不共面的向量都ac,可以构成空间的一个基底( 第 7 页 共 9 页 39、设,为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正
17、交基eee,123y底),以,的公共起点为原点,分别以,的方向为轴,轴,zxeeeeee,123123轴的正方向建立空间直角坐标系(则对于空间任意一个向量,一定可以把它,xyzp,p平移,使它的起点与原点重合,得到向量(存在有序实数组,使得xyz,y(把,称作向量在单位正交基底,下的坐标,zxppxeyeze,,eee123123,记作(此时,向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标p,xyzpxyz,,( xyz,,40、设,则( bxyz,abxxyyzz,,,,axyz,1,222121212111abxxyyzz,( 2,121212( 3,axyz,,111( 4abxxyyzz,,1
18、21212若、b为非零向量,则( 5ababxxyyzz,,,00a,121212若b,0,则( 6ababxxyyzz/,,121212222aaaxyz,,( 7,111ab,xxyyzz,121212( cos,,,ab8,222222abxyzxyz,,,111222222,则( dxxyyzz,,,,,9,xyz,xyz,,,111222212121,41、在空间中,取一定点作为基点,那么空间中任意一点的位置可以用向量来,表示(向量称为点的位置向量( ,42、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定(点是ll,直线上一点,向量表示直线的方向向量,则对于直线上的任意一
19、点,有lall,ta,这样点和向量不仅可以确定直线的位置,还可以具体表示出直线上all的任意一点( 43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定(设这两条相交直线相交,b于点,它们的方向向量分别为,(为平面,上任意一点,存在有序实数对,xy,a,第 8 页 共 9 页 ,,xayb使得,这样点与向量,就确定了平面的位置( b,a44、直线垂直,取直线的方向向量,则向量称为平面的法向量( ,llaa45、若空间不重合两条直线,的方向向量分别为,则 babab/,aba,( abR,ababab,0,46、若直线的方向向量为,平面的法向量为,且,则 a,a,anaa/,,( ,anan0aa
20、anan,/47、若空间不重合的两个平面,的法向量分别为,则 b,/,aba,( ab,abab0,48、设异面直线,的夹角为,方向向量为,其夹角为,则有 bab,aab,( coscos,ab49、设直线的方向向量为,平面的法向量为,与所成的角为,与的夹ll,lnl,nln,角为,则有( sincos,ln50、设,是二面角的两个面,的法向量,则向量,的夹角(或,l,nnnn1122其补角)就是二面角的平面角的大小(若二面角的平面角为,则,l,nn,12( cos,33.123.18加与减(一)3 P13-17nn12第一章 直角三角形边的关系,51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的
21、模计算( 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。,52、在直线上找一点,过定点且垂直于直线的向量为,则定点到直线的llnl(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.(圆心向弦作垂线),n(3)二次函数的图象:是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线,二次函数的图象中,a的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法,并能正确计算;能根据具体问题,估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题,感受加减法与日常生活的密切联系。距离为( dn,,,,,cos,n5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法,逐步提高解答应用题的能力。4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示,即,53、点是平面外一点,是平面内的一定点,为平面的一个法向量,则点,n,ntan1到平面,的距离为( dn,,,,,cos,n(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.(直径添线成直角)第 9 页 共 9 页
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