最新高中数学重要公式和知识点(精品)优秀名师资料.doc
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1、高中数学重要公式和知识点(精品)高中数学重要公式和知识点 1.常用数集 常用数集 非负整数集 正整数集 有理数集 整数集 实数集 记法 N N*/N+ Q Z R 2.集合间的基本关系 (1)子集 A?B (或B?A) A含于B (或B包含A) (2)相等 A=B 集合A=集合B (3)真子集 A B (或B A)A是B的真子集 nnnn3.集合的子集个数共有 个;真子集有1个;非空子集有-1个;非空的真子集有2个. 2222,aaa?12n4.集合的基本运算 (1)并集:A?B=x |x?A或x?B (2)交集:A?B=x |x?A且x?B (3)全集:若A?U,B?U,C?U,则U为全集
2、(4)补集:CA= x |x?U,且x?A U5.求函数的解析式 2(1)配凑法 例题:f(x+1)=x+2x+2,求f(3)及f(x),f(x+3) 222解:f(x+1)=x+2x+2= x+2x+1+1=(x+1)+1 222?f(x)=x+1 f(3)=10 f(x+3)=(x+3)+1= x+6x+10 2(2)换元法 例题:f(x+1)=x+2x+2,求f(x),f(x+3) 解:令t=x+1,则x=t-1 222?f(t)=f(x+1)=(t-1)+2(t-1)+2=t+1 ?f(x)=x+1 22?f(x+3)=(x+3)+1= x+6x+10 2(3)待定系数法 例题:已知f
3、(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x-4x+4,求f(x) 2x)=ax+bx+c (a?0) 解: f(22f(x+1)+f(x-1)=2ax+2bx+2a+2c =2x-4x+4 2二次函数的解析式的三种形式 ?a=1,b=-2,c=1 ?f(x)=x-2x+1 2; (1)一般式fxaxbxca()(0),,,6.证明函数单调性的步骤 2(2)顶点式; fxaxhka()()(0),,,取值?作差?变形(化简)?定号?判断 8.函数的奇偶性 (3)两点式 fxaxxxxa()()()(0),12(1)奇函数f(-x)=-f(x),f(x)的图像关于原点对称 (2)偶函数f
4、(x)= f(-x),f(x)的图像关于y轴对称 9.指数幂的运算性质 rsrs,rsrsrrr (1). (2) . (3) aaaarsQ,(0,)()(0,)aaarsQ,()(0,0,)abababrQ,10.指数函数的图像与性质 0,a,1 a,1 图像 定义域 R 值域 (0,+?) 定点 过定点(0,1),即x=0,y=1 性质 单调性 在R上? 在R上? 11.如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx的图象, 如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系, 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 cd
5、1ab,?cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 12.对数的四则运算法则 若a,0,a?1,M,0,N,0,则 (1); log()loglogMNMN,,aaaM(2) ; logloglog,MNaaaNn(3). loglog()MnMnR,aab13指数式与对数式的互化式 (0,1,0)aaN, .logNbaN,a14. 对数的换底公式 logNm (,且,且,). logN,a,0a,1m,0m,1N,0 alogamnn推论 (,且,且,). loglogbb,mn,0,a,0a,1m,1n,1N,0 maam15.对数函数的图像与性质 0,a,1 a,1
6、 图像 定义域 (0,+?) 值域 R 性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0 在(0,+?)? 在(0,+?)? 拓展:y=logx(0,a,1)底数越大,图像越靠近x轴 ay= logx(a,1)底数越小。图像越靠近x轴 a16.几种常见幂函数的图像与性质 -123解析式 y=xy=x y=x y=x 图像 定义域 R R R x |x?0 值域 R y|y?0 R y|y?0 奇偶性 奇 偶 奇 奇 单调性 ? (-?,0 ? ? (-?,0)? 0,+ ?)? (0,+ ?)? 定点 (0,0)(1,1) (1,1) ? 注意:在第一象限内,幂函数的指数越小,其图像越靠近x轴 17
7、.函数的应用 方程f(x)=0有实数根 ?函数y=f(x)的图像与x轴有交点 ?函数y=f(x)有零点 ?注意:零点是一个数,不是一个点 18.空间几何体的相关公式 32222abc,a?长方体的对角线长= ?边长为a的正三角形面积为 43322a?边长为a的正六边形面积为 ?棱长为a的四面体的表面积为S= 3a222?圆柱的表面积S=2r+2rl ?圆锥的表面积S=r+rl 1?柱体的体积V=Sh ?锥体的体积V= Sh 3432 ?球的体积V= R ?球的表面积S=4r319.空间中两条直线的位置关系:相交,平行,异面 ? 注意:两条异面直线所成的较的范围(0?,90? 20.线线平行,线
8、面平行,绵绵平行 线面平行:a, ,b,,且a?b , a? 面面平行:a,,b,,a?b=P,a?,b? ,? 21.二面角的平面角的取值范围:0?180? 22.线面垂直,面面垂直 线面垂直:a,,b,,a?b=P,l?,l?b,, l? 面面垂直:l?,l, ,? 23.直线的倾斜角的取值范围为0?,180? 24.斜率公式 yy,21(、) Pxy(,)Pxy(,)k,111222xx,2125. 直线的五种方程 lk(1)点斜式 (直线过点,且斜率为)( yykxx,()Pxy(,)11111l(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距). ykxb,,yyxx,11(3)两点式 ()(
9、、 (). yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,1211122212yyxx,2121xyab、ab、,0,,1(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距,) ab(5)一般式 (其中A、B不同时为0). AxByC,,026.点到直线的距离 |AxByC,00l(点Pxy(,),直线:). AxByC,,0d,0022AB,22()()xxyy,,,27. 两点间的距离公式:|PP|= 12121228.两条平行直线间的距离: 29.中点坐标公式: 30. 圆的四种方程 222(1)圆的标准方程 . ()()xaybr,,,2222DEF,,4(2)圆的一般方程 (,0). xyDxEyF,,0
10、xar,,cos,(3)圆的参数方程 . ,ybr,,sin,()()()()0xxxxyyyy,,,Axy(,)Bxy(,)(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、). 1212112231. 点与圆的位置关系 222Pxy(,)点与圆的位置关系有三种 (x,a),(y,b),r0022daxby,,,()()dr,dr,dr,PPP若,则点在圆外;点在圆上;点在圆内. 0032.直线与圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 二元二次方程组 无解 仅有一组解 有两组不同的解 消元后一元 无实数根 有两相等的 有两不相等 二次方程组 (?,0) 实数根(?=0) 实数根(?,0) 圆心到直
11、线的 距离d与圆的 d,r d,r d=r 半径r的关系 图示 33.直线被圆所截弦的问题 直线与圆相交于A,B两点,求弦AB长的方法有两种 (1) 代数法 ? 联立直线与圆的方程,求得A,B两点的坐标,再用两点间的距离公式求弦长 ? 设A(x,y),B(x,y),由根与系数的关系及弦长公式知, 1122222()() 14,,kxxxx? |AB |=|x-x| = 1,k121212(2)几何法 22由弦心距d,半径r,半弦长构成的直角三角形可知,|AB |=2 rd,34.空间两点间的距离公式 222()()()xxyyzz,,,,,d= 12121235.终边在某位置上的角的集合 (1
12、)终边在x轴上|=0?+n?180?,n?Z (2)终边在y轴上|=90?+n?180?,n?Z (3)终边在x轴非负半轴上|=0?+n?360?,n?Z (4)终边在x轴非正半轴上|=180?+n?360?,n?Z (5)终边在y轴非负半轴上|=90?+n?360?,n?Z (6)终边在y轴非正半轴上|=270?+n?360?,n?Z (7)终边在第一象限的角的集合|n?360,90?+n?360?,n?Z (8)终边在第二象限的角的集合|90?+n?360,180?+n?360?,n?Z (9)终边在第三象限的角的集合|180?+n?360,2700?+n?360?,n?Z (10)终边在
13、第四象限的角的集合|270?+n?360,360?+n?360?,n?Z (11)终边在第一,三象限角平分线集合|45?+n?180?,n?Z )终边在第二,四象限角平分线集合|135?+n?180?,n?Z (1236.用弧度制表示扇形的公式 112弧长 l=R 面积 S=R= l R 2237.三角函数的定义域 三角函数 定义域 sin x R cos x R ,tan x x|x? +k,k?Z 238. 同角三角函数的基本关系式 ,sin22平方的关系:, 商的关系: tan,= sincos1,,,cos,39.三角函数值在各个象限的符号 sin x cos x tan x 40.特
14、殊角的三角函数值表 角 0? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? ,弧度 ,2,3,5,0 3466432正弦(sin) 110 1 0 233222 2222余弦(cos) 111 0 -1 - 322322 - - 2222正切(tan) 不 0 1 -1 0 33 33存在 - 3341.三角函数的诱导公式 公式一 公式二 公式三 sin(+k?360?)=sin a sin(+)=,sin sin(,)=,sin cos(+k?360?)=cos a cos(+)=,cos cos(,)=cos tan(+k?360?)=tan a tan(+)=t
15、an tan(,)=,tan 公式四 公式五 公式六 ,sin(,)=sin sin(,)=cos sin(+)=cos 22,cos(,)=-cos cos(,)= sin cos(+)= -sin 22tan(,)=,tan 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限 42.正弦函数,余弦函数,正切函数的图像与性质 函 yx,cos yx,tan yx,sin数 性 质 图象 ,xxkk, ,,,RR定义域 ,2,1,1,1,1 R,值域 ,时,时, 当当xk,,2k,xkk,2,,2,;当 xk,2y,1,max2xk,,2,;当 y,1最值 既无最大值也无最小值 max时,( k,y,1,min
16、时,( k,y,1,min,2,2,周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 ,,在 2,2kk,,,22,, 在kk,,,上 ? 上? 在k,2,2kkk,,,22,单调性 ,3在上? 2,2kk,,k,,,在 2,2kk,上? k,,,22,k,上? ,对称中心kk,0, ,,, 对称中心kk,0,,k,,, 对称中心,0k,,2,2,对称性 ,xkk,,,对称轴 ,,2xkk,对称轴 ,无对称轴 注意:?yx,tan 无单调递减区间 ?yx,tan 在整个定义域内不单调 yx,,sin,43. 函数 ,2,1,f,x,,振幅:| 周期: 频率: 相位: 初相: ,2,k,,x=?拓展 对称
17、轴方程: (k?z) ,2,k, 对称中心坐标(,0)(k?z) ,44.两角和与差的正弦,余弦,正切公式 coscoscossinsin,,coscoscossinsin,,,; ; ,sinsincoscossin,sinsincoscossin,,,,; ; ,tantan,tan,tantantan1tantan,,,(); ,1tantan,,tantan,,()( tan,,tantantan1tantan,,,,,,1tantan,45.倍角公式 2tan,tan2,sin22sincos,( ,21tan,cos21,,1cos2,222222 (,)( cos2cossin2
18、cos112sin,cos,sin,2246.辅助角公式 ,22,,,,,,sincossin,,其中( tan,,,47. 向量:既有大小,又有方向的量( 数量:只有大小,没有方向的量( 0有向线段的三要素:起点、方向、长度( 零向量:长度为的向量( 单位向量:长度等于个单位的向量( 相等向量:长度相等且方向相同的向量( 1平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量(零向量与任一向量平行( 48.向量加法运算: (1)三角形法则的特点:首尾相连( (2)平行四边形法则的特点:共起点( ,ababab,,,,(3)三角形不等式:( ,abcabc,,,(4)运算性质:?交换律:?结合律:
19、abba,,,,?aaa,,,,00( ,axy,(5)坐标运算:设,则 bxy,abxxyy,,,,,1122121249. 向量减法运算: ?三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量( ,axy,?坐标运算:设,bxy,,则abxxyy,( ,11221212,xy,xy,设、两点的坐标分别为,则,xxyy,( ,,1122121250. 向量数乘运算: ,a,a?实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作( ,aa,?; ,0,aa,0,aa,0,a,0?当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,( ,abab,,,,aa,,,,aaa?运算律:?;?;
20、?( ,,axy,axyxy,?坐标运算:设,则( ,,aa,0bba,51.向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使( ,,abb,0axy,b,0bxy,xyxy,0设,其中,则当且仅当时,向量、共线( ,1112212252. 平面向量的数量积: ,0ababab,cos0,0,0180,?(零向量与任一向量的数量积为( ,,?性质:设a和都是非零向量,则?(?当a与同向时,;当a与反向时,abab,babab,0bb,22aaaa,;或(?( abab,abab,aaa,?运算律:?;?;?( ,ababab,abcacbc,,,,abba,,,?坐标运算:设两个非零向量,
21、则( axy,bxy,abxxyy,,11221212,22222axy,,axy,,若,则,或( axy,,,设,则( axy,bxy,abxxyy,,,0,11221212,,,xxyyab,1212a,a,cos,设、都是非零向量,是与的夹角,则( axy,bb,bxy,,,11222222abxyxy,1122,53. 分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,当时,点的xy,xy,,1122121212xxyy,,1212坐标是. ,11,,CbC,C54. 正弦定理:在,R中,、分别为角、的对边,为的外接圆的半径,则有ac,abc,2R sinsinsin,C正弦定理的变形
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