最新高中数学抛物线_高考经典例题优秀名师资料.docx
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1、高中数学抛物线_高考经典例题1抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线 2抛物线的图形和性质:顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距:FK?p通径:过焦点垂直于轴的弦长为2p。 顶点平分焦点到准线的垂线段:OF?OK?焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准
2、线。3抛物线标准方程的四种形式:y2?2px,y2?2px,x2?2py,x2?2py。4抛物线y2?2px的图像和性质:焦点坐标是:?,0?,准线方程是:x?焦半径公式:若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:PF?x0?x2?x1?x2?p 22焦点弦长公式:过焦点弦长PQ?x1?抛物线y?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt,2pt)或P(x?,y?)其中y?2px?抛物线的定义:例1:点M与点F (4,0)的距离比它到直线l:x6=0的距离4.2,求点M的轨迹方分析:点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定
3、义答案:y=16x例2:斜率为的直线l经过抛物线y=4x的焦点,与抛物线相交于点A、B,求线段A、长分析:这是灵活运用抛物线定义的题目基本思路是:把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和解:如图831,y=4x的焦点为F (1,0),则l的方程为y=x1?y2?4x2由?消去y得x6x+1=0 ?y?x?1设A (x1,y1),B (x2,y2) 则x1+x2=6 又A、B两点到准线的距离为A?,B?,则AA?BB?x1?1?x2?1?x1?x2?2?6?2?8点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y=10x,求它的焦
4、点坐标和准线方程;(2) 已知抛物线的焦点是F (0,3)求它的标准方程;(3) 已知抛物线方程为y=mx(m0)求它的焦点坐标和准线方程; (4) 求经过P (4,2)点的抛物线的标准方程;分析:这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求P值(注意p0)特别是(3)题,要先化为标准形式:x?y,则2p?(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解答案:(1) F?,0?,x?2?511?222y?(2) x=12y (3) F?0,?,;(4) y=x或x=8y ?24m4m?例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
5、(1)过点(3,2);(2)焦点在直线x2y4=0上分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论解:(1)设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py(p0), 过点(3,2),4=2p(3)或9=2p2p=2或p3所求的抛物线方程为y2=491x或x2=y,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是y=323(2)令x=0得y=2,令y=0得x=4, 抛物线的焦点为(4,0)或(0,2当焦点为(4,0)时,=4, 2p=2, 2p=8,此时抛物线方程y2=16x; 焦点为(0,2)时,p=4,此时抛物线方程
6、为x2=8所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y, 对应的准线方程分别是x=4,y=2 常用结论 过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y22px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2p2 设A, B是抛物线y22px上的两点,O为原点, 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)例5:过抛物线y=2px (p0)的顶点O作弦OAOB,与抛物线分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=4p分析:由OAOB,得到OA、OB斜率之积等于1,从而得到x1、x2,y1、y2之间的关系又A、B是抛物线上的
7、点,故(x1,y1)、(x2,y2)满足抛物线方程从这几个关系式可以得到y1、y2的值证:由OAOB,得KOA?KOBy1y2y12y2y12y2,x2?,所以:x1x2?,即?1,即y1y2=x1x2,又x1?x1x22p2p4p2y12y22 而yy1y2?1y20所以y1y2=4p 4p2例1 A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,满足OA?OB(O为坐标原点)(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;(2)直线AB经过一个定点(3)作OM?AB于M,求点M的轨迹方程解:(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4
8、p2x1x2,OA?OB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值(2)直线AB的斜率k=y2?y1y2?y12p=2=, 2x2?x1y2y1y1?y2?2p2py122p直线AB的方程为yy1=(x),y1?y22p即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=直线AB过定点C(2p,0)(x2p),y1?y2(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),y1?y2= 1 (ii) xy1?y2又AB?OM, 故两直线的斜率之积为1, 即由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x?0)解法2: 由OM?AB知点M
9、的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点立即可求出例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=x1?x2y?y2, y=1,又设点A,B,M在准线l:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N, 则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+, 4411111x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)?(|AB|22222等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x?y?k(x?)由?4得1
10、6k2x28(k2+2)x+k2=0?y2?x?1?k2依题意|AB|=?k|x1x2|=?k=3, 228(k2?2)1k=1/2, 此时x=(x1+x2)=22?16k225522M(,), N(,)4242例3A(2, 0)且与抛物线y?x2?2相交于B、C两点,点B、C在x轴上的射影分别为B1,C1, P是线段BC上的点,且适合BB1BP?,求?POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形PCCC1解析: 设B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y)BB1yBP?1?, ?y0?PCCC1y2?y2y22y1y2? y1y1?y21?y?x2?2222由?得
11、y?(k?4k)y?6k?0 ?y?k(x?2)2?6k212k?y0?2? k?4kk?4?k代入式得y0?4x0?4 x0?2?x?x0?3x?2?3由?得? 代入式得:12x?3y?4?0y?3yy?0?y?0由?0得k?4?26或k?4?26, 又由式知y0关于k是减函数且y0?12?12?46?y0?12?4,?y?4?且y?4 33所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): 12x?3y?4?0?y?4?且y?4) 33例4 已知抛物线y?2px,(p?0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF?BF?8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) 求抛物线方程; 求?ABS面积
12、的最大值解: 设A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点 M(x0,y0)综合类(几何)例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?2解:思路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ/x轴,为此,将方程y?2px,y?k(x?p)联立,2p(k2?1?1)2p(1?k2?1)p(k2?1?1)2p(1?k2?1)P(,),Q(,) kk2k22k2直线OP的方程为y?2k(1?k2?1)(k2?1?1)2?2(1?k2?1)x,即y?x. kp(1?k2?1)p令x?,得M点纵坐标yM?yQ得证
13、2k由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐思路二:利用命题“如果过抛物线y2?2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为y1、y2,那么y1y2?p2”来证设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3),并从y2?2px及y?k(x?p)中消去x,得到ky2?2py?kp2?0,则有结论2 y1y2?p,即y2?y12又直线OP的方程为y?py1py1 x, x?,得y3?22x1x12y因为P(x1,y1)在抛物线上,所以2x1?1 ppy1pp2从而y3?(?py1)?2?y2 2x1y1y1这一证法运算较小2yp思路三:直线MQ的方程为y?yo的充要条件是M(?,
14、y0),Q(0,y0) 22p将直线MO的方程y?2py2y0p和直线QF的方程y?202(x?)联立,它的解(x ,y)就是点P的坐标,消去yo的p2yo?p充要条件是点P在抛物线上,得证这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小说明:本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立例2 已知过抛物线y?2px(p?0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求RAB的最大面积分析:求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以AB为三角形的底,只要确定高的最大值即可 解:设AB所在的直线方程为y?x?2p 2将其
15、代入抛物线方程y2?2px,消去x得y2?2py?p2?0?AB?2y1?y2?2?(y1?y2)2?4y1y2?4p当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,RAB的面积有最大值设直线l方程为y?x?b代入抛物线方程得y2?2py?2pb?0由?4p2?8pb?0,得b?RAB的最大面积为pp2,这时R(,p)它到AB的距离为h?p 2221AB?h?2p2 2例3 直线l1过点M(?1,0),与抛物线y2?4x交于P1、P2两点,P是线段P1P2的中点,直线l2过P和抛物线的焦点F,设直线l1的斜率为k(1)将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k);(2)求出f(k)的定
16、义域及单调区间分析:l2过点P及F,利用两点的斜率公式,可将l2的斜率用k表示出来,从而写出f(k),由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间解:(1)设l1的方程为:y?k(x?1),将它代入方程y2?4x,得k2x2?(2k2?4)x?k2?04?2k22?k2,x?设P 1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y),则x1?x2?22kk2?k22?k222,) 将x?代入y?k(x?1)得:y?,即P点坐标为(kk2k2kk2由y?4x,知焦点F(1,0),直线l2的斜率k2? ?222?k1?k?1k2函数f(k)?1 21?k224(2)l2与抛物线有两上交点,k?0且?(
17、2k?4)?4k?0解得?1?k?0或0?k?1函数f?(k)的定义域为k?1?k?0或0?k?1当k?(?1,0)时,f(k)为增函数例4 如图所示:直线l过抛物线y?2px的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论证法一:假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为02设C、D的坐标分别为(2pt12,2p
18、t1)与(2pt2,2pt2)则kCD?1 t1?t2l的方程为y?(t1?t2)?(x?直线l平分弦CD p) 222CD的中点(p(t1?t2),p(t1?t2)在直线l上, 22即p(t1?t2)?(t1?t2)p(t1?t2)?22由p(t1?t2)?0知t1?t2?p12,化简得:p(t1?t2)(t12?t2?)?0 221?0得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线 2证法二:假设直线l是弦CD的垂直平分线焦点F在直线l上,CF?DF由抛物线定义,C(x1,y1),D(x2,y2)到抛物线的准线x?x1?x2,y1?y2,CD的垂直平分线l:y?0与直线l和抛物线有
19、两上交点矛盾,下略例5 设过抛物线y2?2px(p?0)的顶点O的两弦OA、OB互相垂直,求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程 分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点(x0,y0);待求得x0、y0的关系后再用动点坐标(x,y)来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),2y12?y2则:y?2px1,y?2px2,?x1x2? 24p2122p的距离相等 2?OA?OB,?kOA?kOB?1即x1x2?y1y2?02y12y2?y1y2?0 4p2?y1y2?0,?y1y2?4p2 把N点看作定点,则AB所在的直
20、线方程为:y?y0?2x0(x?x0),显然x0?0 y0yy?(x?y0)222代入y?2px,化简整理得:x0y2?2py0y?2p(x0?y0)?0 ?x?022?2p(x0?y0) ?x0?0,?y1y2?x022?2p(x0?y0)22由、得:?4p?,化简得x0?y0?2px0?0(x0?0) x02用x、y分别表示x0、y0得:x2?y2?2px?0(x?0)解法二:点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设A(2pt2,2pt),则以OA为直径的圆方程为:(x?pt2)2?(y?pt)2?p2(t4?t2)x2?y2?2pt2?2pty?0 设B(2pt1,2p
21、t1),OAOB,则t1t?1?t1?在求以OB为直径的圆方程时以?代t1,可得 21t1t2(x2?y2)?2px?2pty?0 由得:(1?t2)(x2?y2?2px)?0?x2?y2?2px?0(x?0)例6如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点N?l1,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等,若AMN为锐角三角形,AM?7,AN?3,且BN?6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程分析:因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C所满足的抛物线方程解:以l1为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直
22、角坐标系由题意,曲线段C是N为焦点,以l2为准线的抛物线的一的两端点设曲线段C满足的抛物线方程为:段,其中A、B分别为曲线段y2?2px(p?0)(xA?x?xB,y?0),其中xA、xB为A、B的横坐标 令MN?p,则M(?pp,0),N(,0),?AM?,AN?3 22?(x?A由两点间的距离公式,得方程组:?(x?A?p?4?p?2解得?或? x?1x?2?A?AAMN为锐角三角形,p2)?2pxA?172 p2)?2pxA?92p?xA,则p?4,xA?1 2?2P?2p?8?2p(1?p)?0?p?1,当p?11时,S?ABQ取最大值 22例8 已知直线l过原点,抛物线C的顶点在原点
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