最新高考数学_函数_知识汇总优秀名师资料.docx
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1、第二章 函数2.1 函数有关的概念课标要求1了解函数的含义及要素,了解映射的概念,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,了解分段函数并会简单应用;2会求一些简单函数的定义域;3会求一些简单函数的值域。课标解读突破方法 关于函数的基本概念在应用时应注意把重点放在构成它们的几个要素上,做到概念清楚、思路清晰。知识点一、函数的基本概念、映射 1函数的概念(传统定义、现代定义) 传统定义:设在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地确定唯一的一个y值,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量,其本质是描述变量之间的依赖关系。 现代定义:一般地,设A、B是两个非空数集,如果按
2、照某种确定的对于关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA。其中x叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域;与x值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)xA叫做函数的值域,显然f(x)xAB。 现代定义与传统对应的本质是一样的,只是在不同的知识基础上给出的不同的定义方法,其中现代定义更符合我们的需求。 注意:(1)对于两个非空集合之间的对应是否可以构成函数,关键要看是否满足函数定义中强调的三性:任意性、存在性、唯一性,这是因为函数定义中明确要求是对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素
3、x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应!这三性只要有一个不满足便不能构成函数。(2)判断两个变量之间是否存在函数关系,只要求检验:定义域与对应法则是否确定;对于给定的对应法则,自变量x在其定义域内的每一个值是否只有唯一的一个y值与之对应。2函数的三要素 函数的三要素,即定义域、值域、对应法则;定义域是自变量的取值范围,是构成函数不可或缺的,对应法则是函数关系的本质,是连接函数定义域与值域的桥梁,值域是函数的值的取值范围。由函数的定义域与对应法则是可以确定函数的值域,并且是唯一确定的,但是由定义域和值域求解对应法则或者值域和对应法则求解定义域是不一定唯一的。 函数的三要素
4、是构成函数的基础,所有关于函数的题目都是围绕着这三个要素展开的。3函数的表示方法 函数最常用的表示方法有三种:列表法、图象法、解析法。通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法。列表法具有简单明了、具体易用的特点,缺点是不够全面。用函数的图象表示两个变量之间关系的方法叫做图象法。图象法的优点是能够直观形象地表示出函数的变化情况。缺点是只能近似地表示出自变量的值和函数值。把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子,叫做解析式(又称函数关系式)。如果在函数y=f(x)(xA)中,f(x)是用代数式(或解析式)表达的,那么这种表达函数的方法叫做解析法。解析法的优点有
5、:一是简明、全面地概括了变量间的关系,二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值。 对于函数的三种表示方法,其中列表法是使用最少的,图象法和解析法大多数时候都是结合在一起进行使用的。4映射的概念 设A、B是两个非空集合,如果按照某种确定的对应关系f,对A中任一元素x,在B中有且只有一个元素y与x对应,则称f是集合A到B的映射。这时称y是x在映射f作用下的象,记作f(x),x称作y的原象。映射f也可记作f:A。其中叫做映射的定义域,由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A)。特别地,如果映射f是集合A到集合B的映射,并且对于集合B中的任一元素,在集合A中都有且只有一个原
6、象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。 对比映射和函数的概念,我们不难看出函数是数集到数集的映射,即映射是函数的推广,函数是一种特殊的映射。5映射的特点 对于映射f:AB:1.A中每个元素在B中必有唯一的象;2.对于A中的不同元素,在B中可以有相同的象;3.允许B中的元素没有原象;4.A中元素与B中元素的对应关系可以是:一对一、多对一。但是不能是一对多。6映射个数公式 对于映射f:AB来说,A中有M个元素,B中有N个元素,那么从集合A到集合B可能的映射个数为NM7两个函数成为同一个函数的条件判断两个函数是不是同一个函数即是判断两个函数的
7、定义域和对应法则是否相同。这里需要注意的是函数关系式的未知数不同不能决定两个函数不是同一个函数,即对于函数y=f(x)与函数m=f(n)来说,字母不同不能说它们就不是同一函数。8区间的概念 区间的产生是为了更方便的表示数范围的概念,毕竟对于一些复杂的集合表示起来是很麻烦的。区间的基本原理是数轴上的点与实数是一一对应的,因此可以使用数轴上的点的刻度来表示数集。 设a、b是两个实数,ab,我们规定:1.满足全体实数axb的集合,叫做闭区间,记作a,b;2.满足全体实数axb的集合,叫做开区间,记作(a,b);3.满足全体实数axb的集合,叫做半开半闭区间,记作a,b);4.满足全体实数axb的集合
8、,叫做半开半闭区间,记作(a,b;其实实数a、b叫做相应区间的端点,为了区别开闭的端点,我们规定用实心点表示包括区间在内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。定义名称符号数轴表示xaxb闭区间a,bxaxb开区间(a,b)xaxb前闭后开区间a,b)xa0时,f(x)为增函数;当f(x)0时,f(x)为减函数.若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时,则f(x) 0;当f(x)在该区间上递减时,则f(x)0.总结函数单调性的证明方法是对高考来说的,在同步学习中对于(6)的使用是比较少的,对于不同题目证明方法的选择是根据题目的特点来选取的。3 一些重要函数的单调性(1)函数的单
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