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1、2017 届高考数学考点突破测试题4专题检测卷(三) 三角函数与解三角形、平面向量 (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 21(2010?中山模拟)在?ABC中,C,120?,tan A,tan B,3,则tan A?tan 3B的值为 11A. B. 4315C. D. 23【解析】 ?C,120? ?tan (A,B),tan (,C),tan C,tan 120?,3. tan A,tan B又?tan(A,B), 1,tan Atan B233?3,. 1,tan Atan B21?
2、1,tan Atan B,tan Atan B,. 33【答案】 B ?2(2010?湖南)在Rt?ABC中,?C,90?,AC,4,则AB?AC等于 A(,16 B(,8 C(8 D(16 ?|AC|?2【解析】 AB?AC,|AB|?|AC|?cos ?A,|AB|?|AC|?,|AC|,16. ?|AB|【答案】 D 743,3(2010?银川模拟)已知cos ,,sin ,,则sin ,的值是 ,6562323A(, B. 5544C(, D. 5543,【解析】 ?cos ,,sin , ,6534334,?sin ,cos ,sin ,,. ,2256574,?sin ,,sin
3、,,. ,665【答案】 C 4(2010?福建龙岩一检)设向量a,(cos 55?,sin 55?),b,(cos 25?,sin 25?),若t是实数,则|a,tb|的最小值为 21A. B. 22C(1 D.2 【解析】 ?|a|,1|b|,1ab,30? 22222?|a,tb|,a,2ta?b,tb,t,3t,1. 312当t,时|a,tb|取到最小值 241?|a,tb|的最小值为. 2【答案】 B sin 3cos 5,32,5(2010?衡水模拟)设函数f(x),x,x,tan ,其中?0,3212则导数f(1)的取值范围是 A(,2,2 B(2,3 C(3,2 D(2,2 2
4、【解析】 由已知得:f(x),sin x,3cos x ,?f(1),sin ,3cos ,2sin , ,353,,又?0?,?. ,123342,?sin ,?1?2?f(1)?2. ,23【答案】 D 6(2010?山东青岛二模)将奇函数f(x),Asin (x,)(A?0,,0,,2,)的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以为 26A(2 B(3 C(4 D(6 【解析】 因为函数f(x),Asin (x,)是奇函数所以,kk?Z. 又因为,所以,0. 22将函数f(x),Asin x(A?0,0)的图象向左平移个单位得到f(x),Asin 6,x, ,6该函数仍是奇函
5、数 所以,k,6kk?Z的值可以为6. 6【答案】 D ?,ABACABAC1?,?7(已知非零向量AB与AC满足,?BC,0,且?,,则?ABC,?2,|AB|AC|,|AB|AC|的形状是 A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形 C(等腰(非等边)三角形 D(等边三角形 ?AB?【解析】 首先我们注意到向量表示的正好是AB方向上的单位向量因?|AB|?ABAC此由向量加法的平行四边形法则容易知道向量,在?BAC的角平分线?|AB|AC|?,ABAC,?上于是由,?BC,0可见?BAC的角平分线与其对边BC垂直由此,?,|AB|AC|,?,ABAC1ABAC,得到三角形必为等腰三角形(再者
6、由?,可得?cos ?BAC,?2?|AB|AC|,|AB|,|AC|,11,?cos ?BAC,?BAC,60? 22所以三角形ABC应为等边三角形( 【答案】 D ?8(2010?辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设OA,a,OB,b,则?OAB的面积等于 222222A.|a|b|,(a?b) B.|a|b|,(a?b) 11222222C.|a|b|,(a?b) D.|a|b|,(a?b) 22a?b【解析】 a?b,|a|b|cos ?cos , |a|b|11a?b1,2222,则S,|a|b|sin ,|a|b| 1, |a|b|,(a?b)选C. ,22|a|b|2【答案】 C
7、 x,(2010?黄岗模拟)已知函数f(x),Asin 9()(A,0)在x,时取最小值,43,则函数y,f,x是 ,4A(奇函数且在x,时取得最大值 B(偶函数且图象关于点(,0)2对称 1,C(奇函数且在x,时取得最小值 D(偶函数且图象关于点,0,22对称 【解析】 ?f(x),Asin (x,)(A,0)在x,时取最小值 435?,,2k,k?Z即,2k,k?Z 42455,f(x),Asin x,2k,,Asin x, ,44335,?y,f,x,Asin ,x,,Asin (2,x),Asin x. ,444因此该函数为奇函数在x,时取最小值,A(A,0)( 2【答案】 C 12c
8、os 2,10(已知cos ,,?0,则等于 ,4134,sin ,,4197A. B. 65131610C. D. 6513【解析】 ?0,?0,. 44412,又?cos , ,413125,22,?sin , 1,cos, 1, ,441313512,cos 2,sin ,2,sin 2,2sin ,cos ,2,24441313120 16912,,,,,,cos ,,,cos , sin ,,424413120cos 21691201310?,. 121691213,sin ,,413【答案】 D ,11(2010?青岛模拟)设函数f(x),sin 2x,则下列结论正确的是 ,3A(
9、f(x)的图象关于直线x,对称 3,B(f(x)的图象关于点,0对称 ,4C(把f(x)的图象向左平移个单位,得到一个偶函数的图象 12,,D(f(x)的最小正周期为,且在0,上为增函数 ,6【解析】 ?令2x,,k,k?Z 32k即x,,(k?Z)?A选项错误 212k又?令2x,,kk?Z得x,(k?Z) 326?B选项错误 ,又?f(x),sin 2x, ,3,,,,,sin 2x,,cos 2x y,sin ,2x,,,2123?选项C正确( 2,,当x?0时2x,? ,6333,,,?函数f(x),sin 2x,在0上先增后减 ,,36?选项D错误( 【答案】 C 12(2010?全
10、国?)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B?为两切点,那么PA?PB的最小值为 A(,4,2 B(,3,2 C(,4,22 D(,3,22 【解析】 如图设?APO, ?222PA?PB,|PA|?cos 2,|PA|?(1,2sin) 1222,(|OP|,1)(1,2?),|OP|,,3?22,3 22|OP|OP|22当且仅当|OP|, 2|OP|4即|OP|,2时“,”成立 【答案】 D 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共计16分(把答案填在题中的横线上) ,13(2010?东城二检)将函数f(x),2sin 2x,图象上每一个点的横坐标扩大,3为原来的2倍,
11、所得图象所对应的函数解析式为_;若将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m,0),所得函数的图象关于y轴对称,则m的最小值为_( ,【解析】 依题意知f(x),2sin 2x,图象上每点的横坐标扩大为原来的,3,2倍所得图象的解析式为y,2sin x,. ,3,如果f(x)的图象沿x轴向左平移m(m,0)个单位得:y,2sin 2x,2m ,3又?其图象关于y轴对称?,2m,k,(k?Z) 32k?m,,(k?Z)当k,0时m有最小值. 21212,【答案】 y,sin x, ,31214(2010?山东)在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a,2,b,2,sin B,co
12、s B,2,则角A的大小为_( ,【解析】 ?sin B,cos B,2?sin B,,1. ,4又0,B,?B,. 4221由正弦定理知,?sin A,. sin Asin B2又a,b?A,B?A,. 6【答案】 6215(2010?北京)在?ABC中,若b,1,c,3,?C,,则a,_. 3bc【解析】 由正弦定理, sin Bsin C131即,sin B,.又b,c?B,.?A,.?a,1. sin B2266sin 3【答案】 1 16(2010?南京模拟)如图,正方形ABCD中,已知AB,2,?若N为正方形内(含边界)任意一点,则AB?AN的最大值是_( ?【解析】 设ABAN的
13、夹角为. ?AB?AN,|AB|?|AN|?cos ,2|AN|?cos . ?由图可知|AN|?cos 的最大值即为|AB|. ?AB?AN的最大值为22,4. 【答案】 4 三、解答题(本大题共6小题,共74分(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2x,2,17(12分)(2010?重庆)设函数f(x),cosx,2cos,x?R. ,32(1)求f(x)的值域; (2)记?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若f(B),1,b,1,,3,求a的值( c2213【解析】 (1)f(x),cos xcos,sin xsin,cos x,1,cos x,sin x,3
14、322cos x,1 135,cos x,sin x,1,sinx,1 ,226因此f(x)的值域为0, 2( 5,B,(2)由f(B),1得sin,1,1 ,65,即sinB,,0又因0,B,故B,. ,66222解法一 由余弦定理b,a,c,2accos B 2得a,3a,2,0解得a,1或2. bc解法二 由正弦定理, sin Bsin C32得sin C,C,或.当C,时 233322A,从而a,b,c,2, 22当C,时A,又B, 366从而a,b,1. 故a的值为1或2. 【答案】 (1)0,2 (2)a的值为1或2 18(12分)(2010?安徽)设?ABC是锐角三角形,a,b,
15、c分别是内角A,B,,22,C所对边长,并且sinA,B. sin,Bsin,B,sin,33(1)求角A的值; ?(2)若AB?AC,12,a,27,求b,c(其中b,c)( 2【解析】 (1)因为sinA, 313,31312222,,sinB,cosB,sinB,sinB, cos B,sin Bcos B,sin B,44422223所以sin A,?. 2又A为锐角所以A,. 3?(2)由AB?AC,12可得cbcos A,12.? 由(1)知A,所以cb,24.? 322222由余弦定理知a,c,b,2cbcos A将a,27及?代入得c,b,52? 2?,?2得(c,b),100
16、 所以c,b,10. 2因此cb是一元二次方程t,10t,24,0的两个根( 解此方程并由c,b知c,6b,4. 【答案】 (1)A, (2)c,6,b,4 319(12分)(2010?临沂二检)如图,已知?ABC中,|AC|,1,2?ABC,,?BAC,,记f(),AB?BC. 3(1)求f()关于的表达式; (2)求f()的值域( 【解析】 (1)由正弦定理 |BC|1|AB|sin 23得,?|BC|,sin sin 223,sinsin ,sin ,333,sin ,323,sin ,. |AB|,233sin 341,?,?f(),AB?BC,|AB|?|BC|cos ,sin ?s
17、in ,? ,33323211,31,sin ,sin 2,cos 2, cos ,sin 3,6662211,sin 2,,0,. ,36635(2)由0,得,2,,. 36661111,?,sin 2,?1.?0,sin 2,,? ,2636661,,,即f()的值域为0. ,,6111,,,【答案】 (1)f(),sin 2,,0, (2)0, ,,3663620(12分)(2010?泰州三模)已知向量a,(3sin ,cos ),b,(2sin ,5sin 3,4cos ),?,2,且a?b. ,2(1)求tan 的值; ,(2)求cos ,的值( ,23【解析】 (1)?a?b?a?
18、b,0. 而a,(3sin cos )b,(2sin 5sin ,4cos ) 22故a?b,6sin,5sin cos ,4cos,0 226sin,5sin cos ,4cos即,0. 22sin,cos2由于cos ?0?6tan,5tan ,4,0. 41解之得tan ,或tan ,. 3231,?2tan ,0故tan ,(舍去)( ,224?tan ,. 333,(2)?2?. ,22441由tan ,求得tan ,tan ,2(舍去)( 3222525?sin ,cos , 2525,cos ,,cos cos ,sin sin ,2323232515325,15,. 52521
19、0425,15【答案】 (1), (2), 31021(12分)(2010?福州模拟)在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p,(sin A,b,c),q,(a,c,sin C,sin B),满足|p,q|,|p,q|. (1)求角B的大小; 1,(2)设m,sin C,,,n,(2k,cos 2A)(k,1),m?n有最大值为3,求k,32的值( 【解析】 (1)由条件|p,q|,|p,q|两边同时平方得: p?q,0 又p,(sin Ab,c)q,(a,csin C,sin B) 代入得:sin A(a,c),(b,c)(sin C,sin B),0 根据正弦定理可化为a(
20、a,c),(b,c)(c,b),0 222即a,c,b,ac 222又由余弦定理a,c,b,2accos B 1所以cos B,B,60?. 21,(2)m,sin C,,n,(2kcos 2A)(k,1) ,3211,m?n,2ksin C,cos 2A,2ksin (C,B),cos 2A ,3221122,2ksin A,cosA,sinA,2ksin A, 22122,(sin A,k),k,(k,1)( 22而0,A,sin A?(0,1 317故当sin A,1时m?n取最大值为2k,3k,. 247【答案】 (1)60? (2) 422(14分)(2010?江苏)某兴趣小组要测量
21、电视塔AE的高度H(单位:m)(如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h,4 m,仰角?ABE,,?ADE,. (1)该小组已测得一组,的值,tan ,1.24,tan ,1.20,请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精度(若电视塔的实际高度为125 m,试问d为多少时,,最大, HhH【解析】 (1)由AB,BD,AD,及AB,BD,AD得 tan tan tan HhH,, tan tan tan htan 41.24解得H,124. tan ,tan 1.24,1.20因此算出的电视塔的高度H是124
22、m. H(2)由题设知d,AB得tan ,. d(3)圆内接四边形:若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.Hh由AB,AD,BD, tan tan 二特殊角的三角函数值H,h 得tan ,dtan ,tan hh所以tan(,),?. 1,tan tan H(H,h)2H(H,h)d,d弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。H(H,h)当且仅当d, d当a越大,抛物线开口越小;当a越小,抛物线的开口越大。即d,H(H,h),125(125,4),555时上式取等号(所以当d,555时tan(,)最大( (三)实践活动因为0,则0, 222.点与圆的位置关系及其数量特征:
23、所以当d,555时,最大(故所求的d是555 m. 【答案】 (1)124 m (2)555 m 内部资料 对称轴:x=仅供参考 内部资料 仅供参考 顶点坐标:(,)内部资料 23.53.11加与减(一)4 P4-12仅供参考 D1D2D3D4D5D6D7D8LEDLEDLEDLEDLEDLEDLEDLEDP11VCCR11R12R13R14R15R16R17R182GND1K1K1K1K1K1K1K1KVCCU1AU1BU1CU1DU2AU2BU2CU2D1781178144LM324LM324LM324LM324LM324LM324LM324VCCLM11411411411J2J1GNDR
24、192365923659R10111111J40320321KR1R2R3R4R5R6R7R8R9111KJ31K1K1K1K1K1K1K100KGND描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径;以点O为圆心的圆,记作O,读作“圆O”U3LM7805VCCD4D313Vin+5VP11D40074007C4C6NC5C7GD6D51041042470U100u240074007DS1DS2DS3DS4a7a7a7a7aaaab6b6b6b6GNDbbbbaaaac4c4c4c4ccccDSCOM
25、1d2d2d2d2fbfbfbfbddddgggge1e1e1e1eeeeQ1f9f9f9f9ececececffffdddd9012g10g10g10g10ggggdpdpdpdp5555dpdpdpdpDSCOM2GNDGNDGNDGNDQ2VCCDSCOM1DSCOM2DSCOM3DSCOM4383838389012DSCOM3BT1BL23VR2Q309012VCC15D2BLYVCC4007DSCOM4D1C1414810UQ4R3R4BL1abcdefg21439012100100R6R7R8R9R10R11R12R036010KCOM1COM2COMU1GNDLSBL2120RESVCC219RXDP1.7318GNDTXDP1.6321054C24171111911X2P1.5BL130P516U2X1P1.4XTAL16154511COM2COMCOM1FBCEADGINT0P1.3Q512MK1C3714123INT1P1.2901230P813T0P1.1912T1P1.0TIE1011ABCDLBLGNDP3.7P3K289C2051GND7126345R1310KVCCGNDR5510GNDVCCLED2LED1
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