最新DOC-高考数学二轮精品复习资料+专题03+数列教师版优秀名师资料.doc
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1、(DOC)-2012年高考数学二轮精品复习资料 专题03 数列(教师版)2012年高考数学二轮精品复习资料 专题03 数列(教师版) 2012届高考数学二轮复习资料 专题三 数列(教师版) 【考纲解读】 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解答简单的问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的问题. 【考点预测】 1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度
2、易、中、难三类皆有. 2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意: 1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如
3、等比数列求和要注意q=1和q?1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如an与Sn的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳. 5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数 1 形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果. 7(数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理】 1.证明数列 an 是等差数列的两种基本方法:(1)定义法:an,1,an d为常数;(
4、2)等差中项法:2an an,1,an,1(n 2). 2.证明数列 an 是等比数列的两种基本方法:(1)定义法: 2 an,1an (2) q(非零常数); 等差中项法:an an,1 an,1(n 2). 3.常用性质:(1)等差数列 an 中,若m,n p,q,则am,an ap,aq; (2)等比数列 an 中,若m,n p,q,则am an ap aq. 4.求和: (1)等差等比数列,用其前n项和求出; (2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前n项和的常用性质. 【考点在线】 考点1 等差等比数列的概念及性质 在等差
5、、等比数列中,已知五个元素a1,an,n,d或q,Sn中的任意三个,运用方程的思想,便可求出其余两个,即“知三求二”。本着化多为少的原则,解题时需抓住首项a1和公差(或公比q)。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 (1)等差数列 an 中,若m,n p,q,则am,an ap,aq;等比数列an 中,若m,n p,q,则aman apaq . (2)等差数列 an 中,Sn,S2n ,Sn,S3n,S2n, Skn,Sk,n,1, 成等差数列。其中Sn S,S,Sn2,SnkS ,nn3 是等差数列的 前n项和;等比数列 an 中(q ,1),S,Sn Sn是等比数列的前n项和; n2
6、kn1, 成等比数列。其中 (3)在等差数列 an 中,项数n成等差的项an也称等差数列. 2 (4)在等差数列 an 中,S2n,1 ,2n,1,an;S2n n,an,an,1, . 在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 例1. (2011年高考重庆卷理科11)在等差数列 an 中,a3,a7 37,则a2,a4,a6,a8 . 【答案】74 【解析】a2,a8 a4,a6 a3,a7 37,故a2,a4,a6,a8 2 37 74 【名师点睛】本题考查等差数列的性质. 【备考提示】:熟练掌握等差等比数列的
7、概念与性质是解答好本类题的关键 . 考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若an,an,1 n,且a1 1;我们可把各个差列出来进行求和,可得到数列 an 的通项. an ,an,an,1,an,1,an,2, ,a2,a1,a1 n,n,1, ,2,1 n,n,1,2 . 再看“逐商法”即an,1 an an an n,1且a1 1,可把各个商列出来求积。 aa n,1 2 a1 n,n,1,n,2, 2 1 n! an,1an,2a1 另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与
8、等比数列的性质解决问题. 例2.(2011年高考四川卷文科9)数列an的前n项和为Sn,若a1=1, an+1 =3Sn(n ?1),则a6=( ) 3 (A)3 4 (B)3 4+1 (C) 4 (D)4+1 【答案】A 【解析】由题意,得a2=3a1=3.当n ?1时,an+1 =3Sn(n ?1) ?,所以an+2 =3Sn+1 ?, ?-?得an+2 = 4an+1 ,故从第二项起数列等比数列,则a6=3 4. 4 4 4 44 【名师点睛】本小题主要考查an与Sn的关系:a n S1 n=1 Sn,Sn,1 n 2 ,数列前n项和Sn和通 项an是数列中两个重要的量,在运用它们的关系
9、式an Sn,Sn,1时,一定要注意条件n 2, 求通项时一定要验证a1是否适合。解决含an与Sn的式子问题时,通常转化为只含an或者转化为只Sn的式子. 【备考提示】:递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点. 练习2.(2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列an满足anan+1=16n,则公比为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 【答案】B 【解析】设公比是q,根据题意a1a2=16 ?,a2a3=162 ?,?,得q=16 .因为a12q=160, 2 a120,则q0,q=4. 考点3 数列的通项公式an与前n项和公式的应用 等差、等比数列的前n项和
10、公式要深刻理解,等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式S n n a1,1,q1,q n , a11,q , a11,q q n (q 1),因此可以改写为 Sn aq,b (a,b 0)是关于n的指数函数,当q 1时,Sn na1. 例3.(2011年高考江苏卷13)设1 a1 a2 a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是 【解析】由题意:1 a1 a2 a1q a2,1 a1q a2,2 a1q, a2 q a2,1,a2,1 q a2,2 2 2 3 4 【答案】A 【解析】通过8a2,a5 0
11、,设公比为q,将该式转化为8a2,a2q3 0,解得q=-2,带入 所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式. 考点4. 数列求和 例4. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科20题) 已知an为等比数列,a1 1,a5 256;Sn为等差数列bn的前n项和,b1 2,5S5 2S8. (1) 求an和bn的通项公式; (2) 设Tn a1b1,a2b2, anbn,求Tn. 【解析】(1) 设an的公比为q,由a5 a1q,得q 4.所以an 4 设bn的公差为d,由5S5 2S8得d 所以bn b1,n,1,d 3n,1. (2) Tn
12、1 2,4 5,4 8 ,4n,14n,1. 32a1 32 2 3, ,3n,1,? n4Tn 4 2,4 5, ,4 22,3n,1,? n,1?-?得:3Tn ,2,3,4,4,.,4,4,3n,1, 2,3n,2, 4nn. 5 所以Tn n, 2 n2 4,. 3 3 【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n项和公式、数列求和等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. 【备考提示】:熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键. 练习4. (2010年高考山东卷文科18) 已知等差数列 an 满足:a3 7,a5,a7 26. an 的前n项和为Sn.
13、(?)求an 及Sn;(?)令bn 1an,1 2 (n N,),求数列 bn 的前n项和Tn. 【解析】(?)设等差数列 an 的公差为d,因为a3 7,a5,a7 26,所以有 考点5 等差、等比数列的综合应用 解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用( 例5(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列an的首项a1 a (a R),设数列的前n项和为Sn,且 1S1 1S2 1S3 1a11Sn 1 a2 1 a4 成等比数列(?)求数列an的通项公式及Sn(?) 1a2 1a22 1a2n 记An ,., ,Bn 1a1
14、 ,., ,当n 2时,试比较An与Bn 的大小. 6 当n 2时,2 Cn,Cn,Cn, ,Cn n,1即1, 所以当a 0时,An Bn;当a 0时,An Bn . 2012n 1n,1 1, 12 n ; 【名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前n项和等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力( 【备考提示】:熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键. 练习5.(2011年高考天津卷文科20) 已知数列 an 与 bn 满足bn,1an,bnan,1 (,2),1,bn n 3,(,1) 2 n,1 ,n N,且a1 2. (?)求a2,a3的值; (?)设
15、cn a2n,1,a2n,1,n N,证明 cn 是等比数列; (?)设Sn为 an 的前n项和,证明 S1a1 ,S2a2 , , S2n,1a2n,1 ,S2na2n n, 13 (n N). , 【解析】(?)由bn 3,(,1) 2 n,1 ,n N,可得 2,n是奇数nbn ,bn,1an,bnan,1 (,2),1, 1,n是偶数 7 当n=1时,a31,2a2 ,1,由a1 2,得a2 ,2 ; 当n=2时,2a2,a3 5,可得a3 8. (?)证明:对任意n N,a2n,1 2n,1,2a2n ,2 ,1-? 2a2n,a2n,1 2 2n ,1-? ?-?得: a2n,1,
16、a2n,1 3 2 2n,1 ,即c,1 n 3 2 2n,于是 cn,1c 4,所以 cn 是等比数列.n (?)证明:a, 1 2,由(?)知,当k N且k 2 时,a2k,1 a1,(a3,a1),(a5,a3), ,(a2k,1,a2k,3) =2+3(2+23 ,25 , ,2 2k,3 )=2+3 2(1,4 k,1 ) ,1 ,故对任意k, 1,4 2 2k N, , 由?得2 2k,1 ,2aa1,1 , 2k ,2 2k,1 ,1,所以2k 2 ,2 2k,k N, 因此,Sak2k (a1,a2),(a3,4), ,(a2k,1,a2k) 2 ,于是 S2k,1 S2k,a
17、2k k,12 ,2 2k,1 , k,1 2k,1 k S,2 2k 故 2k,1a, S2k= k,1,2 2k,1 a 2k 2 2k,1 , 12k,1 2 2k , k2 2k ,1 1, 14 k , k4k (4k , ,1) 2,2 所以 S1a, S2, , S2n,11 a2 a, S2nn N, ). 2n,1 a n, 12n 3 (【易错专区】 问题:已知Sn,求an时,易忽视n 1的情况 例. (2010年高考上海卷文科21) 已知数列 an 的前n项和为Sn,且Sn n,5an,85,n N* (1)证明: an,1 是等比数列; (2)求数列 Sn 的通项公式,
18、并求出使得Sn,1 Sn成立的最小正整数n. 8 【考题回放】 1.(2011年高考安徽卷文科7)若数列 an 的通项公式是an (,)g ,则(n, ) a,a ,La, ( ) (A) 15 (B) 12 (C ) , (D) , 【答案】A 【解析】法一:分别求出前10项相加即可得出结论; 法二:a1,a2 a3,a4 a9,a10 3,故a,a ,La, , .故选A. 2. (2011年高考江西卷文科5)设an为等差数列,公差d = -2,Sn为其前n项和.若 S10 S11,则a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】B 【解析】 S10 S11, a11 0a
19、11 a1,10d, a1 20 . 3. (2011年高考江西卷理科5)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn,Sm Sn,m,且 a1=1(那么a10=( ) A(1 B(9 C.10 D(55 9 【答案】A 【解析】因为Sn,Sm Sn,m,所以令n m 1,可得S2 2S1 2;令n 1,m 2,可得 S3 S1,S2 3;同理可得S4 2S2 4,S5 S2,S3 5,S9 S4,S5 9, S10 2S5 10,所以a10=S10,S9 1,故选A. 4. (2011年高考四川卷理科8)数列 an 的首项为3, bn 为等差数列且 bn an,1,an(n N*) .若则b3 ,2
20、,b10 12,则a8 ( ) (A)0 (B)3 (C)8 (D)11 【答案】B 【解析】由已知知bn 2n,8,an,1,an 2n,8,由叠加法 (a2,a1),(a3,a2), ,(a8,a7) ,6,4,2,0,2,4,6 0 a8 a1 3. 5( 2010年高考全国?卷文科4)已知各项均为正数的等比数列an,a1a2a3=5, a7a8a9=10,则 aaa=( ) (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知a1a2a3 (a1a3) a2 a2 5,a7a8a9 (a7a9) a8 a8 10, 1 3 5 3 1 3 3 3 所以a2a8 503, 所以a4a5a6 (
21、a4a6) a5 a (506) 6(2010年高考全国卷?文科6)如果等差数列 an 中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+,+a7=( ) (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C a1,a2, ,a7 12 7 (a1,a7) 7a4 28 【解析】? a3,a4,a5 12 ,? a4 4 7.(2009年高考安徽卷理科第5题)已知 an 为等差数列,a1+a3+a5=105,a2,a4,a6=99, 以Sn表示 an 的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是 ( ) 10 【解析】设公比为q,由已知得a1q a1q 2,a1q 2 8 4 ,即q 2 2,
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