最新x届高考数学一轮复习学案《基本不等式及其应用》(人教版)优秀名师资料.doc
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1、x届高考数学一轮复习学案基本不等式及其应用(人教版)学案36 基本不等式及其应用 导学目标: 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题( 自主梳理 a,b1(基本不等式ab? 2(1)基本不等式成立的条件:_. (2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号( 2(几个重要的不等式 22(1)a,b?_ (a,b?R)( ba(2),?_(a,b同号)( aba,b2,(3)ab? (a,b?R)( ,222a,bba,2(4)_. ,223(算术平均数与几何平均数 设a0,b0,则a,b的算术平均数为_,几何平均数为_,基本不等式可叙述为:_. 4(利用基本不等式
2、求最值问题 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_时,x,y有最_值是_(简记:积定和最小)( (2)如果和x,y是定值p,那么当且仅当_时,xy有最_值是_(简记:和定积最大)( 自我检测 22a,b1(“ab0”是“ab”的( ) 2A(充分而不必要条件 B(必要而不充分条件 C(充要条件 D(既不充分也不必要条件 a,b1x,2(x?南平月考)已知函数f(x),,a、b?(0,?),A,f,B,f(ab),C,222ab,f,则A、B、C的大小关系是( ) ,a,bA(A?B?C B(A?C?B C(B?C?A D(C?B?A 3(下列函数中,最小值为4的函数是(
3、) 4A(y,x, x4B(y,sin x,(0x) sin xx,xC(y,e,4e D(y,logx,log81 3x14(x?大连月考)设函数f(x),2x,,1(x0,?a恒成立,则a的取值范围为_( 2x,3x,1探究点一 利用基本不等式求最值 19例1 (1)已知x0,y0,且,,1,求x,y的最小值; xy51(2)已知x0,b0,a,b,2,则y,,的最小值是( ) ab7A. B(4 29C. D(5 2探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 11例2 已知a0,b0,a,b,1,求证:(1,)(1,)?9. ab变式迁移2 已知x0,y0,z0. yzxzxy,求证:,?
4、8. ,xxyyzz探究点三 基本不等式的实际应用 例3 (x?镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房(经测算,如果将楼房建为x(x?10)层,则每平方米的平均建筑费用为560,48x(单位:元)( (1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值是多少, 购地总费用(注:平均综合费用,平均建筑费用,平均购地费用,平均购地费用,) 建筑总面积变式迁移3 (x?广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在x年英国伦敦奥运会期间进行一系列
5、促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3,x与t,1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知x年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完( (1)将x年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数( (2)该企业x年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大, (注:利润,销售收入,生产成本,促销费,生产成本,固定费用,生产费用) a,bba22,1(a,b?2ab对a、b?R都成立,?ab
6、成立的条件是ab?R,,?2成2ab立的条件是ab0即ab同号( 2(利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件并且和为定值时积有最大值积为定值时和有最小值( 3(使用基本不等式求最值时若等号不成立应改用单调性法(一般地函数y,ax,b当a0b0时函数在(,?0)(0,?)上是增函数,当a0时函数xbb,,,在(,?0)(0,?)上是减函数,当a0b0时函数在,00 ,,,aabb,上是减函数在上是增函数,当a0b0,b0,若3是3与3的等比中项,则,的最小值为( ) ab1A(8 B(4 C(1 D. 41a,2(x?鞍山月考)已知不等式(x,y),?9对任意正实数x,y恒成立,
7、则正实数a的,xy最小值为( ) A(2 B(4 C(6 D(8 113(已知a0,b0,则,2ab的最小值是( ) abA(2 B(22 C(4 D(5 4(一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长a2,400 km,为了安全,两列车之间的距离不得小于 km,那么这批货物全部运到B市,,20最快需要( ) A(6 h B(8 h C(10 h D(x h 3x,y,6?0,x,y,2?05(x?宁波月考)设x,y满足约束条件,若目标函数z,ax,by (a0,,x?0,y?0,23b0)的最大值为x,则,的最小值为( ) ab25811A. B. C. D
8、(4 633二、填空题(每小题4分,共x分) 6(x?x)若正实数x,y满足2x,y,6,xy,则xy的最小值是_( 27(x?x)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x),的图象交于P,xQ两点,则线段PQ长的最小值是_( 2xx8(已知f(x),3,(k,1)3,2,当x?R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为_( 三、解答题(共38分) 49(x分)(1)已知0x0)( 2v,3v,1 600(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大,最大车流量为多少, (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内, x(14分
9、)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)( (1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值( 学案36 基本不等式及其应用 自主梳理 1(1)a0,b0 (2)a,b 2.(1)2ab (2)2 (4)? a,b3. ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(
10、1)x,y 小 2p 22p(2)x,y 大 4自我检测 1(A 2.A 3.C 14(大 ,22,1 5.,?) 5课堂活动区 例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化使用基本不等式求最值时给定的形式不一定能直接适合基本不等式往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)构造出基本不等式的形式再进行求解(基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”“三相等”就是必须验证等号成立的条件( 19解 (1)?x0y0,,1 xy19,?x,y,(x,y), ,xyy9x,,10?6,10,16. xyy9x19当且仅当,时上式等号成立又,,1 xyxy?x,4y,x时(x,
11、y),16. min5(2)?x0. 411,5,4x,y,4x,2,,,3 ,5,4x4x,51?,2 ,5,4x,?,3,1 5,4x1当且仅当5,4x, 5,4x即x,1时上式等号成立故当x,1时y,1. max(3)由2x,8y,xy,0得2x,8y,xy 28?,,1. yx828y2x,?x,y,(x,y),,10, ,xyxy4yx,10,2, ,xy4yx?10,22 ?,18 xy4yx当且仅当,即x,2y时取等号( xy又2x,8y,xy,0?x,xy,6. ?当x,xy,6时x,y取最小值18. a,b变式迁移1 C ?a,b,2?,1. 2a,b141452ab52ab
12、92ab?,,(,)(),,(,)?,2?,(当且仅当,即b,2a时abab22b2a2b2a2b2a149“,”成立)故y,,的最小值为. ab2例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到也会给解决问题提供简捷的方法( 在不等式证明时列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤而且也是检验转化是否有误的一种方法( 证明 方法一 因为a0b0a,b,1 a,b1b所以1,,1,,2,. aaa1a同理1,,2,. bb11ba所以(1,)(1,),(2,)(2,) ababba,5,2(,)?5,4,9. ab111所以(1,)(1,)?9(当且仅当a,b,时等号成立)( ab21111
13、1方法二 (1,)(1,),1, abababa,b12,1,,1, ababab因为ab为正数a,b,1 a,b1122所以ab?(),于是?4?8 24abab111因此(1,)(1,)?1,8,9(当且仅当a,b,时等号成立)( ab2变式迁移2 证明 ?x0y0z0 yz2yz?,?0 xxxxz2xz,?0 yyyyx2xy,?0. zzzyzxzxy,?, ,xxyyzz8yz?xz?xy?,8. xyz当且仅当x,y,z时等号成立( yzxzxy所以(,)(,)(,)?8. xxyyzz例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为: 由题设写变形利用基本求得?结论 出函数
14、转化不等式最值2(在应用基本不等式解决实际问题时要注意以下四点:(1)先理解题意设变量一般把要求最值的变量定为函数,(2)建立相应的函数关系式把实际问题抽象为函数最值问题,(3)在定义域内求函数最值,(4)正确写出答案( (1)依题意得 解2 16010 000y,(560,48x), 2 000x10 800*,560,48x, (x?10x?N)( x10 800(2)?x0?48x, x?24810 800,1 440 10 800当且仅当48x,即x,15时取到“,” x此时平均综合费用的最小值为560,1 440,2 000(元)( 答 当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综
15、合费用最少,最少值为2 000元( k变式迁移3 解 (1)由题意可设3,x, t,12将t,0x,1代入得k,2.?x,3,. t,1当年生产x万件时 ?年生产成本,年生产费用,固定费用 2,3,?年生产成本为32x,3,32,3. ,t,1当销售x(万件)时年销售收入为 21,,,3,150%32,3,t. ,,,t,12由题意生产x万件化妆品正好销完由年利润,年销售收入,年生产成本,促销费2,t,98t,35得年利润y, (t?0)( 2,t,1,2,t,98t,35t,132,(2)y,50,, 2,t,1,,2t,1,t,132?50,2,50,216,42(万元) 2t,1t,13
16、2当且仅当,即t,7时y,42 max2t,1?当促销费投入7万元时企业的年利润最大( 课后练习区 ab1(B 因为3?3,3所以a,b,1 111ba1,,,(a,b),,2, ,abababbaba1?2,2?,4当且仅当,即a,b,时“,”成立( abab21ayax,2(B 不等式(x,y),?9对任意正实数xy恒成立则1,a,?a,2a,xyxy,1?9 ?a?2或a?,4(舍去)( ?正实数a的最小值为4. 1113(C 因为,2ab?2,2ab abab1111,2?4当且仅当,且 ,ab ,ab,ababab即a,b,1时取“,”号( 400a2,4(B x列货车到达B市的时间
17、为 h由于两列货车的间距不得小于 km所,a20a2,16?,4002040016a40016a以第17列货车到达时间为,,,?8当且仅当,即a,100 aaa400a400km/h时成立所以最快需要8 h( 5(A 6(18 解析 由x0y0,2x,y,6,xy得 xy?22xy,6(当且仅当2x,y时取“,”) 2即(xy),22xy,6?0 ?(xy,32)?(xy,2)?0. 又?xy0?xy?32即xy?18. 故xy的最小值为18. 7(4 2解析 过原点的直线与f(x),交于P、Q两点则直线的斜率k0设直线方程为y,xy,kx22,x,x,kk得kx由或 ,2y, ,x,y,2k
18、y,2k2222?P(2k)Q(,2k)或P(,2k)Q(2k)( kkkk2222?|PQ|,,2k,2k, kk1,22k,?4. k8(,?,22,1) 222xxxx解析 由f(x)0得3,(k,1)?3,20解得k,13,而3,?22?k,xx33122k22,1. 49(解 (1)?0x?03x0?ab”类比推出“若a,b?C,则a,b0?ab”(其中类比结论正确的个数是( ) 0 B(1 C(2 D(3 A(3(2009?x)在平面上,若两个正三角形的边长比为1?2,则它们的面积比为1?4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1?2,则它们的体积比为_( 332,3332,
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